矩阵与变换Word文档下载推荐.docx
- 文档编号:17249360
- 上传时间:2022-11-29
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:430.03KB
矩阵与变换Word文档下载推荐.docx
《矩阵与变换Word文档下载推荐.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《矩阵与变换Word文档下载推荐.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
_an1
an2
ann
注:
在n阶方阵中,一条从左上角到右下角的由元素an,a12,,,ann构成的对角线称为主对角线,一条从左
记为En,或简记为E
(5)行矩阵与列矩阵:
这样只有一列的矩阵称为列矩阵.
像[a11,a12]这样只有一行的矩阵称为行矩阵.,像|
少1一
并用希腊字母a,3,,来表示•
平面上向量a=(x,y)和平面上的点P(x,y)都可以看做是行矩阵Xy〕,也可以看做是列矩阵X.因此,
:
yj_
我们常将Xy1称为行向量,而将
I"
称为列向量.习惯上,我们把平面向量(x,y)的坐标写成列向量|"
一y一y
一一对应
形式•又因为P(x,y)«
-一对应t平面向量OP,因此,「丨既可以表示点(x,y),也可以表示以0(0,0)为起
点、以P(x,y)为终点的向量X.故在不引起混淆的情况下,对它们不加以区别
(6):
矩阵相等:
对于两个矩阵A和B,只有当A,B的行数与列数分别相等,并且对应位置的元素也分别相等时,A和B才相等,此时记作A=B.
2.矩阵的乘法
(2)二阶矩阵与平面列向量的乘法:
占1
「弘冷+a12y°
]
=
£
1
a22-
70.
a21x^+a22y0
(3)二阶矩阵的乘法:
b12
a〔1b〔1+a〔2b?
a11b12
+a12b22|
』21a22-b21
b22
321^11+322匕21
a21bi2
+a22b22
(4)矩阵乘法的简单性质:
1矩阵的乘法满足结合律:
(AB)C=A(BC)
2矩阵的乘法不满足交换律:
一般地,ABMBA
3矩阵的乘法不满足消去律:
一般地,AB=AC时,不一定有B=C
矩阵乘法的MN的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换(先Tn后Tm)的复合变换.当连续对向量实
施n(n1,且门,NJ次变换Tm时,对应的记Mn=MMM.
n个M
3•变换的概念:
一般地,对于平面上的任意一个点(向量)
(x,y),按照对应法则T,总能对应惟一的一个平面点(向量)(x:
yj,则称T为一个变换,简记为T:
(x,y)T(x:
y),或T:
|X1t]X1.
]y」乂
,那么,根据二阶矩阵与列向量的乘
对于平面向量的变换T,如果变换规则为T:
:
xLFL严+by]
[y」Si[cx+dy」
法规则可以改写为T:
[xLFL[ab][X]的矩阵形式,反之亦然(a,b,c,d^R).
[y」Yi:
cd」[y」
4•几种常见的平面变换
(1)恒等变换
①恒等变换定义:
将一个图形F变为关于定直线或定点对称的图形对称的变换称为轴反射变换;
关于定点对称的变换称为反射点.
(4)旋转变换
①旋转变换定义:
把将一个图形F绕某个定点0旋转角度B所得图形F•的变换称为旋转变换,其中点0
②旋转变换矩阵:
称为旋转中心,角度B称为旋转角.
⑶绕定点作旋转
(5)投影变换
①投影变换定义:
⑴旋转变换只改变几何图形的相对位置,不会改变几何图形的形状
⑵旋转中心在旋转过程中保持不变,图形的旋转由旋转中心和旋转的角度所决定
把将平面图形投影到某条直线(或点)的变换称为投影变换.
投影变换虽是映射,但不是一一映射•以『0I为例,它将平面中的所有点垂直投影到x轴上,当y取R
:
00一
中不同值时,(x,y)—;
(x,0)•
(6)切变变换
①切变变换定义:
把保持图形的面积大小不变而点间距离和线间夹角可以改变,且点沿坐标轴运动的变换
称为切变变换.
5.逆变换与逆矩阵
(1)逆变换:
有的变换能够“找到回家的路”,我们称它为原变换的逆变换•
2)逆矩阵:
对于二阶矩阵A,B,若有AB=BA=E,则称A是可逆的,B称为A的逆矩阵,记作B=A注:
逆矩阵对应逆变换,并非所有矩阵都存在逆矩阵,但若存在,则是惟一的
ab
,当ad-be=0时,矩阵A存在逆矩阵
(3)逆矩阵存在条件:
对于二阶矩阵A=I
[cd一
映射时,它才是可逆的•此时,逆矩阵就是对
当一个矩阵表示的是平面上点(向量)到点(向量)的
原先变换实施的逆变换所对应的矩阵•特殊地,零矩阵对应的变换不是一一映射,故不存在逆矩阵
(4)逆矩阵计算公式:
(6)矩阵乘法满足消去律的条件:
已知A,B,C为二阶矩阵,且AB=AC,若矩阵A存在逆矩阵,则B=C.
6.二兀一次方程组
Dx
A=*:
(ad-bc=O)对应的变换作用后得到的向量,则可将其记为矩阵方程
7.特征值与特征向量
(1)特征值与特征向量:
设A是一个二阶矩阵,如果对于实数人存在一个非零.向量a,使得Aa=入a,那么入
称为A的一个特征值,而a称为A的属于特征值泊勺一个特征向量.
从几何上看,特征向量经过矩阵A对应的变换作用后,与原向量保持在同一条直线上,这时特征向量或者
方向不变(40),或者方向相反(X0);
特别地,当Q0时,特征向量就被变换成了O向量•
(2)特征多项式:
设A=是一个二阶矩阵,…R,
]cd」
&
—a—b2
我们把行列式f(^)==九2-(a+d)九+ad-be称为A的特征多项式•
—e丸—d
①如果雇二阶矩阵A的特征值,那么L定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根,即f(为=0.此时,将"
弋入二元一次方程组丿(儿一a)x-by=0,就可以得到一组非零解|Xol.于是,非零向量即为人的属于的一
、—cx+(兀一d)y=0y-y」
个特征向量.
②一个特征值对应多个特征向量,只有有了特征值的一个特征向量,就可以表示出属于这个特征值的共线
的所有特征向量.
、基础检测
【答案】16
d-bI
-31I
A:
_ad-bead-be
88
-ca
75
-ad—bead—bc-
-88一
5.矩阵AJ5"
的逆矩阵为
73一
【解析】
-3_11
【答案】88
_211
6.矩阵A=|的特征值为
]30一
-2i
【解析】f(财==2?
—2扎—3=0二扎=—1和?
吃=3
一3九
【答案】—1和3三、探究典例
题型1矩阵运算与变换
例1•求使等式!
|24[=F0'
mI10I成立的矩阵M
35_]01_]0-1_
例3.已知曲线C:
xy=1
(1)将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45后,求得到的曲线C■的方程;
(2)求曲线C的焦点坐标和渐近线方程
即曲线C的焦点坐标是(-・.2,-.2),(,2,2).而把直线x_y=0要原点顺时针旋转45恰为y轴与x轴,因此曲线C的渐近线方程为x=0和y=0.
例4.已知变换A:
平面上的点P(2,-1)、Q(—1,2)分别变换成点P1(3,-4)、Q*0,5)
(1)求变换矩阵A;
(2)
判断变换A是否可逆,如果可逆,求矩阵A的逆矩阵A-1;
如不可逆,说明理由.
「2_1[
(2)寫2x2—(—1)心=5式0,A"
*=|55
12
〕55」
题型2特征值与特征向量
例5.设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸压变换,
(1)求矩阵M的特征值及相应的特征向量;
22
(2)求逆矩阵
_4xy_j
M以及椭圆1在M作用下的新曲线的方程。
49
201_
扎_20
1c
,f@)=
03一
0人—3
解:
⑴M=
=('
;
_2)(‘;
_3)=0二,*=2和2=3
刁1-01
特征值为2和3,对应的特征向量分别为|I及|,
KI1」
I01
⑵M」=21,椭圆在矩阵M二的作用下对应得新曲线方程为X2+y2=1.
P3一
一1时
•••矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为
当"
3时,二元一次方程Fj)X+y"
=2x+y=0
、4x+(k-1)y=0
•矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为
-2
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 矩阵 变换