江苏省南京市鼓楼区2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题.doc
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江苏省南京市鼓楼区2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题.doc
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高一(下)期中考试
数学试卷
注意事项:
1.本试卷共4页,包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.满分为160分,考试时间为120分钟.
2.答题前,考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上.试题的答案写在答题卡的对应区域内.考试结束后,交回答题卡.
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.cos75°= .
2.sin14°cos16°+cos14°sin16°= .
3.在平面直角坐标系内,若角α的终边经过点P(1,-2),则sin2α= .
4.在△ABC中,若AC=,∠A=45°,∠C=75°,则BC= .
5.在△ABC中,若sinA︰sinB︰sinC=3︰2︰4,则cosC= .
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6= .
7.若等比数列{an}满足a1+a3=5,a3+a5=20,则a5+a7= .
8.若关于x的不等式ax2+x+b>0的解集是(-1,2),则a+b= .
9.若关于x的不等式1+≤0的解集是[-2,1),则k= .
10.若数列{an}满足a11=,-=5(n∈N*),则a1= .
11.已知正数a,b满足+=2,则a+b的最小值是 .
12.下列四个数中,正数的个数是 .
①-,a>b>0,m>0;
②(+)-(+),n∈N*;
③2(a2+b2)-(a+b)2,a,b∈R;
④-2,x∈R.
13.在斜三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若+=1,则= .
14.若数列{an}的前n项和Sn=2n,则a1+2a2+3a3+…+nan= .
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题满分14分)
设f(x)=x2-(t+1)x+t(t,x∈R).
(1)当t=3时,求不等式f(x)>0的解集;
(2)已知f(x)≥0对一切实数x成立,求t的值.
16.(本题满分14分)
设函数f(x)=2cos2x+2sinxcosx(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)在0<x≤的条件下,求f(x)的取值范围.
17.(本题满分14分)
在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且cos(B-C)-2sinBsinC=-.
(1)求角A的大小;
(2)当a=5,b=4时,求△ABC的面积.
18.(本题满分16分)
已知{an}是等差数列,且a1,a2,a5成等比数列,a3+a4=12.
(1)求a1+a2+a3+a4+a5;
(2)设bn=10-an,数列{bn}的前n项和为Sn,若b1≠b2,则n为何值时,Sn最大?
Sn最大值是多少?
19.(本题满分16分)
如图,扇形AOB是某个旅游景点的平面示意图,圆心角AOB的大小等于,半径OA=200m,点M在半径OA上,点N在AB弧上,且MN∥OB,求观光道路OM与MN长度之和的最大值.
20.(本题满分16分)
设正项数列{an}满足:
a1=,an+1=,n∈N*.
(1)证明:
若an<,则an+1>;
(2)回答下列问题并说明理由:
是否存在正整数N,当n≥N时|an-|+|an+1-|<0.001恒成立?
高一(下)期中考试数学参考答案
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.2.3.-4.5.-6.127.808.19.310.
11.(3+2)12.213.314.(n-1)2n+2
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.
15.
(1)当t=3时,不等式f(x)>0与不等式x2-4x+3>0同解,
得(x-1)(x-3)>0,………………………………………........................3分
不等式f(x)>0的解集是(-∞,1)∪(3.+∞);……........................6分
(2)不等式f(x)≥0对一切实数x成立等价于△=(t+1)2-4t≤0,........................10分
即(t-1)2≤0,即t=1.........................14分
16.
(1)f(x)=2sin(2x+)+1,……........................6分
所以,函数f(x)的最小正周期为π;........................8分
(2)0<x≤时,<2x+≤,…........................10分
函数y=sinx在区间[,]是增函数,在区间[,]是增函数,
f(x)的值域是[2sin+1,2sin+1],即[2,3].........................14分
17.
(1)由cos(B-C)-2sinBsinC=-得cos(B+C)=-,........................4分
∴cosA=-,∵0<A<π,∴A=;........................7分
(2)由c2+42-2×c×4cos=52及c>0得c=2+,........................11分
△ABC的面积S△ABC=×4×(2+)×sin=2+..........................14分
18.
(1)设{an}的公差为d,∵a1,a2,a5成等比数列,
∴(a1+d)2=a1(a1+4d),∴d=0,或d=2a1,........................4分
当d=0时,∵a3+a4=12,∴a1=a3=6,
∴a1+a2+a3+a4+a5=30,........................6分
当d≠0时,∵a3+a4=12,∴a1=1,d=2,.........................8分
∴a1+a2+a3+a4+a5=25;
(2)∵b1≠b2,bn=10-an,∴a1≠a2,∴d≠0,
∴bn=10-an=10-(2n-1)=11-2n,........................12分
当n≤5时,bn>0,当n≥6时,bn<0,
当n=5时,Sn最大,
Sn最大值是9+7+5+3+1=25.........................16分
19.连ON,设∠MON=θ,0<θ<,
在△MON中,ON=200,∠OMN=,
==,........................4分
∴MN=sinθ,OM=sin(-θ),........................8分
MN+OM=[sinθ+sin(-θ)]
=(sinθ+cosθ-sinθ)=sin(+θ),........................13分
∵0<θ<,∴<+θ<,
∴当θ=时,sin(+θ)最大,
MN+OM最大,最大值是m.........................16分
20.
(1)若0<an<,则0<1+an<1+,
则an+1=>=;........................4分
(2)仿
(1)可得,若an>,则an+1<,........................6分
则n≥2时|an-|+|an+1-|=|an+1-an|
=|-|=,
∵an>0,∴an+1=<1(n∈N*),
∴n≥2时,an=>,又a1=,
∴n≥2时,(1+an)(1+an-1)=(1+)(1+an-1)=2+an-1≥,...................8分
∴|an+1-an|=≤|an-an-1|≤()2|an-1-an-2|
≤…≤()n-1|a2-a1|=×()n-1,........................12分
数列{×()n-1}递减,×()7-1<0.001,
只要N≥7,当n≥N时必有|an+1-an|<0.001,
即|an-|+|an+1-|<0.001成立.........................16分
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- 江苏省 南京市 鼓楼 2015 2016 学年 一下 学期 期中考试 数学试题