江干区初中数学小能手竞赛试卷.doc
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2004年江干区初中数学小能手竞赛试卷
初三试题卷
(满分:
120分,时间:
120分钟)
一、选择题(本题有6小题,每小题5分,共30分)
每小题都只有一个答案是正确的,多选不给分
1.一架天平因为两臂的长不相等,所以称得物体质量不准.要是把某物体放在天平的左盘,称得质量是克,把这一物体放在天平的右盘,称得质量是克,
那么这个物体的准确质量(单位:
克)是
(A)(B)(C)(D)
2.函数图象的大致位置如右图所示,则
等代
数式的值中,正数有
(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个(第2题)
3.某工厂实行计时工资制,每个工人工作1小时的报酬是6元,一天工作8小时.但是用于计时的那口钟不准:
每69分钟才使分针与时针重合一次,因此工厂每天少付给每个工人的工资是
(A)2.20元(B)2.40元(C)2.60元(D)2.80元
4.2条相交的弦把圆分成4部分,3条两两相交的弦最多能把圆分成7部分,如果两两相交的k条弦最多能把圆分成n部分,那么两两相
交的k+1条弦最多能把圆分成几部分?
答:
(A)n+1(B)2n(C)n+k(D)n+k+1
5.把正三角形ABC翻折,使顶点A与BC上的点D重合,
EF是折痕,若BD △CDE∽△BFD, △CDE∽△AEF,△CDE∽△DEF,△AEF≌△DEF,(第5题) 正确的判断有 (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 6.某种饮料由牛奶和橙汁按一定的质量比配置而成,牛奶和橙汁的市场价的比为 1: 6,由此确定价格.今年尽管牛奶价格下降15%,橙汁价格上升10%,但这 种饮料的成本不变,由此可知这种饮料中橙汁的质量占 (A)20%(B)25%(C)30%(D)35% 二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分) 7.如图,⊙O的直径AB与弦EF相交于点P,交角为 45°,若=8,则AB等于▲.(第7题) 8.直线与直线L成轴对称,对称轴是直线,请写出直线L的函 数解析式: ▲. 9.根据锐角三角函数的定义,我们知道,对于任何锐角,都有. 如果关于x的方程有 实数根,那么锐角的取值范围是▲. 10.如图,在□ABCD中,∠B=60°,AE⊥BC, AF⊥CD,E,F为垂足.设□ABCD的面积为(第10题) S,则△AEF的面积为▲. 11.如图,AD是Rt△ABC的斜边BC上的高线,要使 △ACD的面积是△ABC和△ABD面积的比例中项, 请你添加一个适当的条件: ▲. 12.满足a+b+c=0,abc=8的三个实数a,b,c中,最(第11题) 大的一个实数至少等于▲. 三、解答题(本题有4小题,共60分) 要求有解答过程,书写规范 13.(12分)如图,P为正方形ABCD内的一点,画 □PAHD,□PBEA,□PCFB,□PDGC,请证明: 以E,F,G,H为顶点的四边形是正方形. 14.(12分)把自然数按下图的次序排在直角坐标系中, 每个自然数就对应着一个坐标.例如1的对应点是(第13题) 原点(0,0),3的对应点是(1,1),16的对应点是(-1,2).那么,2004的对应点的坐标是什么? (第14题) 15.(18分)如图,矩形ABCD中,E是AD的中点, EF⊥EC,交AB于点F,连结CF. (1)图中的哪些三角形相似? 请证明你的判断; (2)当矩形ABCD满足什么条件时,图中所有的 三角形都两两相似? 请说明理由. (第15题) 16.(18分)设a,b,c都是正整数,关于x的方程有两个小于1 的不等正数根. (1)求证: 中一个小于,另一个大于; (2)求出a的最小值. 2004年江干区初中数学小能手竞赛试卷 初三答题卷 (满分: 120分,时间: 120分钟) 题号 一 二 三 总分 1~6 7~12 13 14 15 16 得分 一、选择题(本题有6小题,每小题5分,共30分) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 得分 阅卷人 二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分) 题号 7 8 9 10 11 12 答案 得分 阅卷人 三、解答题(本题有4小题,共60分) 13.(12分) 14.(12分) 得分 阅卷人 得分 阅卷人 15.(16分) 得分 阅卷人 16.(18分) 2004年江干区初中数学小能手竞赛试卷 初三参考解答和评分标准 一、选择题(每小题5分,共30分) 1.B 设物体的准确质量为x,左右两臂长分别为a,b,则. 两式相乘,约去正数ab,得. 2.A 显然,由,得,所以; 由a-b+c<0得; 由a+b+c>0得a+b>-c>0,因此. 综上所述,仅有为正数. 3.C 正常的时钟,分针与时针重合一次的时间为分,因此,工人一天实 际工作时间为(小时),超过(小时). 少付工资元 4.D 第k+1条直线与前面的k条直线都相交,且不经过原有的任何一个交点,因此 把前k条直线为边界的(k+1)个区域一分为二,增加了(k+1)个区域,结 果区域总数成为n+k+1. 5.B 只有两个判断正确: △CDE∽△BFD,△AEF≌△DEF. 6.A 不妨认为牛奶价格为1,橙汁价格为6,调价后,牛奶价格为85%,橙汁价格为 110%.设这种饮料是由x单位的牛奶与y单位的橙汁配置而成,则 , 化简得,即橙汁占20%. 二、填空题(每小题5分,共30分) 7.4 作E关于AB的对称点G,则PG=PE,PG⊥PE, . 但FG所对的圆周角为45°,所以FG所对的圆心角为90°,圆的半径为2. 8. 直线经过点(0,-3)和(1,-1),因此L经过点(-3,0)和 (-1,1) 9.30° 由得 . 但. 10. 由△ABE∽△ADF得,即, 易证∠B=∠EAF,可知△AEF∽△ABC,相似比为. 但△ABC的面积为,所以△AEF的面积为. 11.有多种答案,如①AB=CD;②AC2=AB.BC;③AD2=BD.AB④CD2=AC.AD; ⑤AB2=AD.AC;⑥CD2=BC.BD等等 12. 由条件知a,b,c三个数必有一正两负,不妨认为c>0,则c是最大数.把条件 化为,则a,b是方程的实数根,于是 . 三、解答题(共60分) 13.(12分) 如图,PH,PG分别与AD,CD相交于M,N, 根据平行四边形的性质,M平分AD和PH,N 平分CD和PG,因此MN是△PHG的中位线. 所以HG∥MN,HG=2MN.(6分) 顺次连接正方形ABCD各边中点得正方形MNLK, 同理可证: GF∥NL,GF=2NL;FE∥LK,FE=2LK;EH∥KM,EH=2KM. 所以E,F,G,H是正方形的四个顶点.(6分) 14.(12分) 观察图的结构,发现所有奇数的平 方数都在第四象限的角平分线上. (4分) , 由得n=23, 所以2025的坐标为(45,-45). (4分) 图中纵坐标为-45的数共有46个,2004=2025-21,45-21=24, 所以2004的坐标是(24,-45).(4分) 15.(18分) (1)图中△AEF,△ECF和△DCE两两相似.(4分) 设FE与CD的延长线交于G,因为E是AD的中点, CE⊥EF,所以 △AEF≌△DEG,△CEF≌△CEG.(4分) Rt△CEG中ED⊥CG, 所以△CED,△EGD都与△CGE相似, 所以判断△AEF,△ECF和△DCE两两相似为真.(4分) (2)要使图中三角形全部相似,根据 (1),只要使△ECF∽△FCB, 但这两个直角三角形有公共斜边,所以△ECF≌△ECB, 又因为AB与CE不平行,所以∠2=∠3,但∠2=∠1,所以∠1=30°.(3分) ∴ED: CD=1: . 要使图中三角形全部相似的条件是AD: CD=2: .(3分) 16.(18分) (1)根据韦达定理,, ,(2分) ∵ ∴, 而a,b,c都是正整数,∴,∴, 即.(4分) 但b,c是正整数,4c-2b是偶数,∴. 又∵, 一个小于,另一个大于.(4分) (2)解法一: ∵∴,但是正整数的平方数, ∴.∵(2分) 当b=3时,只有方程有实数根,但根x=1不小于1,∴b>3; (1分) 当b=4时,a>2,只有方程有实数根,但根x=1不小于1, ∴b>4;(1分) 当b=5时,a>2,只有方程, 有实数根,但前三个方程都有一根不小于1,如第一个方程的 根第二、三个方程的根x=1, 但是方程的两根都符合条件.(2分) 当b=6,7时,a>3,有实数根的方程有 它们各有一根 不小于1,而当b=8时,a>4. ∴a的最小值为5.(2分) 解法二: ∵,∴,且, ,同理. .(2分) 于是,根据韦达定理,. ∵a是正整数,∴, ∵当x=1时,是正整数的完全平方, ∴,猜测a的最小值是5.(4分) 事实上,当a=5时,发现方程的根确是小于1的正数,因此可以判断a的最小值等于5.(2分) 初三竞赛试卷第14页(共14页)
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