正方形讲义.doc
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正方形的性质与判断
一.目标
1.经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证的能力。
2.能运用综合法证明矩形的判定定理。
3.感悟在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法。
二.学习重点
掌握正方行的性质和判定以及证明方法。
三.知识回顾
1.平行四边形定义:
两组对边,叫平行四边形。
2.平行四边形性质:
,,
.
3.平行四边形判定:
,,。
4菱形的性质:
,。
5.菱形的判定:
,,。
6.矩形的性质:
,。
7.矩形形的判定:
,,。
四.课程重点
知识点二:
正方形
1.定义:
有一组邻边,且有一个的叫做正方形。
菱形,矩形,正方形和平行四边形的关系?
2.性质:
定理:
正方形ABCD中,四个角和四条边的关系,两条对角线关系?
性质1:
正方形的四个角都是,四条边都。
性质2:
正方形的对角线且。
【经典例题】
A
D
E
C
B
F
1:
、如图,在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E,使CE=AC,
连结AE交CD于F,则∠E=.
2:
如图,四边形ABCD是正方形,以CD为边作等边三角形CDE,BE与AC相交于点M,则∠AMD的度数是
3:
ABCD是边长为1的正方形,△BPC是等边三角形,则△BPD的面积为( )
A、 B、
C、 D、
4:
如图,正方形ABCD的边长为8,点F在DC上,且DF=2,E是AC上的一动点,求DE+EF的最小值。
重点:
有两个定点和一个动点,求两线段和最短,找一个定点的对称点
3.正方形判定:
例题:
如图,菱形ABCD中,①有∠BAC=90°,证明四边形ABCD是正方形;②对角线A
C=BD,求证四边形ABCD是正方形。
判定1:
有一个角的是正方形
判定2:
对角线的是正方形
例题:
如图,矩形ABCD中,AC⊥BD,求证四边形ABCD是正方形。
判定3:
对角线的是正方形
【经典例题】
1:
已知:
如图,△ABC中,∠ABC=90°,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.求证:
四边形DEBF是正方形.
2:
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE.
(1)求证:
CE=AD;
(2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?
说明你的理由;
(3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?
请说明你的理由.
3:
如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)探究:
线段OE与OF的数量关系并加以证明;
(2)当点O运动到何处时,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?
(3)当点O在边AC上运动时,四边形BCFE _________ 是菱形吗?
(填“可能”或“不可能”)
【课堂小结】
正方形的性质
一、填空题
1、如图,E是正方形ABCD的对角线BD上一点,且BE=BC,则∠ACE=°.
2、如图,四边形ABDC是正方形,延长CD到点E,使CE=CB,则∠AEC=°.
3、如图,正方形ABCD中,点E在BC的延长线上,AE平分∠DAC,则下列结论:
①∠E=
22.5°;②∠AFC=112.5°;③∠ACE=135°;④AC=CE;⑤AD∶CE=1∶.其中正确的有个.
第1题图第2题图第3题图第4题图
4、如图,等边△EDC在正方形ABCD内,连结EA、EB,则∠AEB=°;∠ACE=°.
5、已知正方形ABCD,以CD为边作等边△CDE,则∠AED的度数是°.
6、如图,四边形ABCD是正方形,E是边CD上一点,若△AFB经过逆时针旋转角θ(0°<θ<180°)后,与△AED重合,则θ值为°
第6题图第7题图第8题图第9题图
7、已知正方形ABCD中,点E在边DC上,DE=2,EC=1,把线段AE绕点A旋转,使点E落在直线BC上的点F处,则F、C两点的距离为___________.
8、如图,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为.
9、如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的处,点A对应点为,且=3,则CN=;AM的长是.
10、正方形的面积是,则其对角线长是________.
第11题图第12题图第13题图第14题图
11、如图,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1、O2是其中两个正方形的中心,则阴影部分的面积是.
12、如图,将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放,点A1、A2、…、An分别是正方形的中心,则n个这样的正方形重叠部分的面积和为.
13、边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′,两图叠成一个“蝶形风筝”(如图所示重叠部分),则这个风筝的面积是.
14、如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形
AB′C′D′,边B′C′与DC交于点O,则四边形AB′OD的周长是.
15、如右图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.
将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连结AG、CF.
下列结论:
①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④S△FGC=3.
其中正确的结论是.(填序号)
16、如右图,四边形ABCD为正方形,以AB为边向正方形
外作等边△ABE,CE与DB相交于点F,则=。
二、解答题
17、如图,正方形ABCD中,E、F、G分别是AD、AB、BC上的点,且AE=FB=GC.
试判断△EFG的形状,并说明理由.
18、E为正方形ABCD内一点,且△EBC是等边三角形,求∠EAD的度数.
19、如图,在正方形ABCD中,F是CD的中点,E是BC边上一点,且AF平分∠DAE,求证:
AE=EC+CD.
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