正多边形与圆一对一辅导讲义.docx
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课题
正多边形与圆
授课时间:
2016-03-0419:
00——21:
00
备课时间:
2016-03-03
教学目标
1、了解正多边形的概念,探究正多边形与圆的关系;
2、经历探索正多边形与圆的关系,理解正多边形的性质;
重点、难点
1、正多边形及正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念与计算
2、正多边形与圆的关系及正多边形的性质
考点及考试要求
1、正多边形的定义
2、正多边形与圆的关系
3、正多边形的性质
教学内容
第一课时正多边形与圆知识点梳理
课前检测
1.圆的半径扩大一倍,则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比()
A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化
2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为()
A.3∶2∶1B.4∶3∶2C.4∶2∶1D.6∶4∶3
3.正五边形共有__________条对称轴,正六边形共有__________条对称轴.
4.中心角是45°的正多边形的边数是__________.
5.已知△ABC的周长为20,△ABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=__________.
知识梳理
正多边形的定义:
各角相等,各边相等的多边形叫做正多边形.
正多边形的相关概念:
⑴正多边形的中心角;⑵正多边形的中心;⑶正多边形的半径;⑷正多边形的边心距
正多边形的性质:
⑴正边形的半径和边心距把正边形分成个全等的直角三角形;
⑵正多边形都是轴对称图形,正边形共有条通过正边形中心的对称轴;
⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形,也是中心对称图形,其中心就是对称中心.
正多边形的有关计算
⑴正边形的每个内角都等于;
⑵正边形的每一个外角与中心角相等,等于;
⑶设正边形的边长为,半径为,边心距为,周长为,面积为,
则
正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等,因此作相等的圆心角可以等分圆.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正n边形,可以用圆规和直尺作图.
第二课时正多边形与圆典型例题
典型例题一一
题型一、正多边形的概念
例1.填写下列表中的空格
正多边形边数
内角
中心角
半径
边长
边心距
周长
面积
3
2
4
1
6
2
变1.
(1)若正n边形的一个外角是一个内角的时,此时该正n边形有_________条对称轴.
(2)同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是()
A.B.C.D.
例2.已知一个正三角形与一个正六边形的周长相等,求它们的面积的比值.
解:
设正三角形边长为a,则其周长为C1=3a,面积S1=a2,
又设正六边形边长为b,则周长为C2=6b.面积S2=b2,
由C1=C2,知,a=2b,
∴S1∶S2=a2∶b2=b2∶b2=,
故它们的面积的比值为2∶3。
变2.若正三角形、正方形、正六边形和圆的周长都相等,那么____________的面积最大;若它们的面积都相等,那么_____________的周长最大.
题型二、正多边形的性质
例3.下面给出六个命题:
①各角相等的圆内接多边形是正多边形;②各边相等的圆内接多边形是正多边形;
③正多边形是中心对称图形;④各角均为的六边形是正六边形;
⑤边数相同的正边形的面积之比等于它们边长的平方比;⑥各边相等的圆外切多边形是正多边形
其中,错误的命题是_____________.
变3.
(1)正边形内接于半径为的圆,这个边形的面积为,则等于____________.
(2)正八边形每一个外角是多数等于_______.N边形每一个内角等于________.
例4.已知:
如图在△RtABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,分别以各边为直径在AB同侧作半圆,求阴影部分的面积.
解:
在Rt△ABC中,∵AC=3,BC=4,∠ACB=90°,∴AB=5。
则图中阴影部分的面积为S阴=π×()2+π×()2+×3×4-π×()2=+2π+6-=6
故图中阴影部分的面积为S阴=6个(平方单位).
变4.如图,两相交圆的公共弦AB为,在⊙O1中为内接正三角形的一边,在⊙O2中为内接正六边形的一边,求这两圆的面积之比。
题型三、正多边形的证明
例5.如图,△AFG中,AF=AG,∠FAG=108°,点C、D在FG上,且CF=CA,DG=DA,过点A、C、D的⊙O分别交AF、AG于点B、E。
求证:
五边形ABCDE是正五边形。
变5.如图,⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点M,
(1)请你仔细观察图形,并直接写出图中的所有等腰三角形;
(2)求证:
BM2=BE·ME;(3)设BE、ME的长是关于x的一元二次方程x2-2x+k=0的两个根,试求k的值,并求出正五边形ABCDE的边长.
第三课时正多边形与圆课堂检测
课堂检测
1.正六边形的两条平行边之间的距离为1,则它的边长为()
A.B.C.D.
2.已知正多边形的边心距与边长的比为,则此正多边形为()
A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十二边形
3.已知正六边形的半径为3cm,则这个正六边形的周长为__________cm.
4.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度.
5.如图2.6-2,两相交圆的公共弦AB为2,在⊙O1中为内接正三角形的一边,在⊙O2中为内接正六边形的一边,求这两圆的面积之比.
图2.6-2
6.某正多边形的每个内角比其外角大100°,求这个正多边形的边数.
7.如图2.6-3,在桌面上有半径为2cm的三个圆形纸片两两外切,现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖,求这个大圆片的半径最小应为多少?
图2.6-3
8.如图2.6-4,请同学们观察这两个图形是怎么画出来的?
并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).
图2.6-4
9.用等分圆周的方法画出下列图案:
图2.6-5
10.如图2.6-6
(1)、2.6-6
(2)、2.6-6(3)、…、2.6-6(n),M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点,且BM=CN,连结OM、ON.
图2.6-6
(1)求图2.6-6
(1)中∠MON的度数;
(2)图2.6-6
(2)中∠MON的度数是_________,图2.6-6(3)中∠MON的度数是_________;
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
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