期末汇编一次函数综合题.docx
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2015-2016期末汇编——一次函数综合题
1.在同一坐标系中画出了三个一次函数的图象:
y=1-x,y=x+1和y=3x-1
(1)求y=1-x和y=3x-1的交点A的坐标;
(2)根据图象填空:
①当x时3x-1>x+1;
②当x时1-x>x+1;
(3)对于三个实数a,b,c,用max表示
这三个数中最大的数,如max=3,
max,
请观察三个函数的图象,直接写出max的最小值.
25..解:
(1)…………1分
解得∴y=1-x和y=3x-1的交点A的坐标为(,)2分
(2)①当x>1时3x-1>x+1………3分
②当x<0时1-x>1+x…………4分
(3)max的最小值是1.…………………5分
2.小东根据学习一次函数的经验,对函数y的图象和性质进行了探究.下面是小东的探究过程,请补充完成:
(1)函数y的自变量x的取值范围是;
(2)已知:
①当时,0;②当x>时,
③当x<时,;显然,②和③均为某个一次函数的一部分.
(3)由
(2)的分析,取5个点可画出此函数的图象,请你帮小东确定下表中第5个点的坐标(m,n),其中m=;n=;:
x
…
-2
0
1
m
…
y
…
5
1
0
1
n
…
(4)在平面直角坐标系中,做出函数y的图象:
(5)根据函数的图象,写出函数y的一条性质0.
26.
(1)函数y的自变量x的取值范围是全体实数;…………………1分
(3)m、n的取值不唯一,符合即可.…………………2分
(4)图象略;(要求描点、连线正确)…………………4分
(5)答案不唯一,符合函数y的性质均可.…………………5分
29.阅读材料:
通过一次函数的学习,小明知道:
当已知直线上两个点的坐标时,可以用待定系数法,求出这个一次函数的表达式.
有这样一个问题:
直线l1的表达式为y=-2x+4,若直线l2与直线l1关于y轴对称,求直线l2的表达式.
下面是小明的解题思路,请补充完整.
第一步:
求出直线l1与x轴的交点A的坐标,与y轴的交点B的坐标;
第二步:
在平面直角坐标系中,作出直线l1;
第三步:
求点A关于y轴的对称点C的坐标;
第四步:
由点B,点C的坐标,利用待定系数法,即可求出直线l2的表达式.
小明求出的直线l2的表达式是_________________.
请你参考小明的解题思路,继续解决下面的问题:
(1)若直线l3与直线l1关于直线y=x对称,则直线l3的表达式是_________________;
(2)若点M(m,3)在直线l1上,将直线l1绕点M顺时针旋转90。
得到直线l4,求直线l4的表达式.
29.y=2x+4…………………………………1分
(1)……………………2分
(2)解:
过M点作直线l4⊥l1,l4交y轴于点D.
作MN⊥y轴于点N.
∵点M(m,3)在直线l1上
∴-2m+4=3
∴m=
∴MN=,BN=1
∴BM=…………………………………3分
设ND=a,则MN=,BN=1,BD=a+1
由勾股定理得:
解得:
a=
∴D(0,)…………………………………………4分
设直线l4的表达式y=kx+
把M(,3)代入得:
k=
∴直线l4的表达式y=x+…………………………………………5分
(本题还有其它方法,请酌情给分)
3.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,3)、B(6,3),连接AB.如果对于平面内一点P,线段AB上都存在点Q,使得PQ≤1,那么称点P是线段AB的“附近点”.
(1)请判断点D(4.5,2.5)是否是线段AB的“附近点”;
(2)如果点H(m,n)在一次函数的图象上,且是线段AB的“附近点”,求m的取值范围;
(3)如果一次函数的图象上至少存在一个“附近点”,请直接写出b的取值范围.
26.解:
(1)是;………………………………………1分
(2)∵点H(m,n)是线段AB的“附近点”,点H(m,n)在直线上,
∴;
方法一:
直线与线段AB交于.
①当时,有≥3,
又AB∥x轴,∴此时点H(m,n)到线段AB的距离是n-3,
∴0≤n-3≤1,∴.…………………2分
②当时,有≤3,
又AB∥x轴,∴此时点H(m,n)到线段AB的距离是3-n,
∴0≤3-n≤1,∴,……………3分
综上所述,.…………………………4分
方法二:
线段AB的“附近点”所在的区域是图中虚线及其内部,
由图可知,当时,,即M;…………………2分
当时,,即N(5,4).………………………3分
∴.…………………………4分
(3).…………………6分
4.直线与四边形的关系我们给出如下定义:
如图1,当一条直线与一个四边形没有公共点时,我们称这条直线和这个四边形相离.如图2,当一条直线与一个四边形有唯一公共点时,我们称这条直线和这个四边形相切.如图3,当一条直线与一个四边形有两个公共点时,我们称这条直线和这个四边形相交.
(1)如图4,矩形AOBC在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴上,点B在y轴上,OA=3,OB=2,直线y=x+2与矩形AOBC的关系为.
(2)在
(1)的条件下,直线y=x+2经过平移得到直线y=x+b,
当直线y=x+b,与矩形AOBC相离时,b的取值范围是;
当直线y=x+b,与矩形AOBC相交时,b的取值范围是.
(3)已知P(m,m+2),Q(3,m+2),M(3,1),N(m,1),当直线y=x+2与四边形PQMN相切且线段QN最小时,利用图5求直线QN的函数表达式.
29题
(1)相切………………………………1分
(2)①b>2或b〈-3,②-3
(3)∵P(m,m+2),Q(3,m+2),M(3,1),N(m,1)
∴PQ∥MN,PN∥QM,PN⊥x轴
∴四边形PQMN是矩形
∴PM=QN
∵直线y=x+2与矩形PQMN相切
∴y=x+2必过P点
∵线段QN最短,
∴只需线段PM最短,
根据点到直线的距离,垂线段最短得MP垂直直线时最短……………………6分
∵y=x+2
∵E(-2,0),H(0,2)
∴OE=OH
∴∠OEH=45°
∵FN∥x轴
∴∠2=45°
当∠NMP=45°时,∠MPE=90°,MP⊥EH,此时最短………………………7分
∵∠NMP=45°
∴∠NPM=45°
∴PN=MN
∴矩形PQMN是正方形时线段QN最短
∵PN=m+1,MN=3-m
∴m+1=3-m
∴m=1
∴Q(3,3)N(1,1)
∴直线QN的函数表达式:
y=x…………………………………8分
5.已知菱形OABC在坐标系中的位置如图所示,O是坐标原点,点C,点A在x轴上.
点M(0,2).
(1)点P是直线OB上的动点,求PM+PC最小值.
(2)将直线向上平移,得到直线.
①当直线y=kx+b与线段OC有公共点时,结合图象,直接写出b的取值范围.
②当直线y=kx+b将四边形OABC分成面积相等的两部分时,求k,b.
(只需写出解题的主要思路,不用写出计算结果).
备用图1
备用图2
28.
(1)
由已知,OA=OC=
连接AC、OB,设AC与OB交于点D.
∵四边形OABC是菱形
∴AC⊥OB,CD=DA.
∴PC+PM≤PM+PA≤AM.
即PC+PM≤………………………………………………….3分
(2)①0≤b≤3.……………………………………5分
②
第一步:
由OC=OA点A在x轴上,可求点A的坐标;
第二步:
由CB//OA,CB=OA,可求点B的坐标;
第三步:
利用待定系数法求出直线OB、直线AC的表达式;
第四步:
求出直线AC、直线OB的交点D的坐标;
第五步:
因为直线是由平移得到,可得;由直线经过点D,可求b值.
……………………………………………………………………..8分.
6.对于平面直角坐标系中的任意点,点P到x,y轴的距离分别为d1,d2我们把d1+d2称为点P的直角距离.记作,即.直线y=-2x+4分别与x,y轴交于点A,B,点P在直线上.
(1)当P为线段AB的中点时,d=________;
(2)当d=3时,求点P的坐标;
(3)若在线段AB上存在无数个P点,使d1+ad2=4(a为常数),求a的值.
29.解:
(1)3; 1
(2)设P(m,-2m+4),
∴d=d1+d2=|m|+|-2m+4|.
当0≤m≤2时,d=d1+d2=m-2m+4=4-m=3,
解得:
m=1,此时P1(1,2). 2
当m>2时,d=d1+d2=m+2m-4=3,
解得:
m=,此时P(,). 3
当m<0时,d=d1+d2=-m-2m+4=3,
解得:
m=,因为m<0,所以此时不存在点P.
综上,P的坐标为(1,2)或(,). 4
(3)设P(m,-2m+4),
∴d1=|-2m+4|,d2=|m|. 5
∵P在线段AB上,
∴0≤m≤2.
∴d1=-2m+4,d2=m.
∵d1+ad2=4,
∴-2m+4+am=4,即(a-2)m=0. 6
∵有无数个点,
∴a=2. 7
7.在平面直角坐标系xOy中,过象限内一点分别作坐标
轴的垂线,若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等,
则这个点叫做“和谐点”.如右图,过点H(-3,6)分
别作x轴,y轴的垂线,与坐标轴围成的矩形OAHB
的周长与面积相等,则点H(3,6)是“和谐点”.
(1)H1(1,2),H2(4,-4),H3(-2,5)这三个点中的“和谐点”为;
(2)点C(-1,4)与点P(m,n)都在直线上,且点P是“和谐点”.
若m>0,求点P的坐标.
26.
(1)H2⋯⋯⋯⋯⋯1分
(2)解:
∵点C(-1,4)在直线上
∴∴
∴⋯⋯⋯⋯⋯2分
∴与x轴,y轴的交点为N(3
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