有理数的加减法(提高)知识讲解.doc
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有理数的加减法(提高)知识讲解.doc
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有理数的加减法(提高)
撰稿:
孙景艳审稿:
赵炜
【学习目标】
1.掌握有理数加法的意义,法则及运算律,并会使用运算律简算;
2.掌握有理数减法的法则和运算技巧,认识减法与加法的内在联系,体会其中蕴含的转化的思想;
3.熟练地将加减混合运算统一成加法运算,理解运算符号和性质符号的意义,运用加法运算律合理简 算,并且会解决简单的实际问题.
【要点梳理】
要点一、有理数的加法
1.定义:
把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法.
2.法则:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
(2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0;
(3)一个数同0相加,仍得这个数.
要点诠释:
利用法则进行加法运算的步骤:
(1)判断两个加数的符号是同号、异号,还是有一个加数为零,以此来选择用哪条法则.
(2)确定和的符号(是“+”还是“-”).
(3)求各加数的绝对值,并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减).
3.运算律:
有理数加法运算律
加法交换律]
文字语言
两个数相加,交换加数的位置,和不变
符号语言
a+b=b+a
加法结合律
文字语言
三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变
符号语言
(a+b)+c=a+(b+c)
要点诠释:
交换加数的位置时,不要忘记符号.
要点二、有理数的减法
1.定义:
已知两个数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算,叫做减法,例如:
(-5)+?
=7,求?
,减法是加法的逆运算.
要点诠释:
(1)任意两个数都可以进行减法运算.
(2)几个有理数相减,差仍为有理数,差由两部分组成:
①性质符号;②数字即数的绝对值.
2.法则:
减去一个数,等于加这个数的相反数,即有:
.
要点诠释:
将减法转化为加法时,注意同时进行的两变,一变是减法变加法;二变是把减数变为它的相反数”.如:
要点三、有理数加减混合运算
将加减法统一成加法运算,适当应用加法运算律简化计算.
【典型例题】
类型一、有理数的加法运算
1.计算:
(1)
(2)
(3)(4)(5)
【思路点拨】
(1)
(2)属于同一类型,用的是加法法则的第一条:
;(3)(5)属于同一类,用的是加法法则的第二条;(4)用的是法则的第三条.
【答案与解析】
(1);
(2)
(3)
(4)
(5)
【总结升华】绝对值不等的异号两数相加,是有理数加法的难点,在应用法则时,一定要先确定符号,再计算绝对值.
举一反三:
【高清课堂:
有理数的加减法382681有理数的加法例2】
【变式1】计算:
(1)-7+10;
(2)(-)+(-7.3);(3)1+(-2);(4)7+(-3.8)+(-7.2)
【答案】
(1)原式=;
(2)原式=;(3)原式=;
(4)原式=
【变式2】计算:
【答案】
【变式3】计算:
.
【答案】解法一:
→同号的数一起先加
.
解法二:
→同分母,互为相反数的数,或几个数可以凑整的数分别结合相加
.
类型二、有理数的减法运算
2.
(1)2-(-3);
(2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4);(3).
【思路点拨】此题是有理数的减法运算,先按照减法法则将减法转化为加法,再按照有理数的加法进行计算.
【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算.
(1)2-(-3)=2+3=5
(2)原式=0+3.72+(-2.72)+4=(0+4)+(3.72-2.72)=4+1=5
(3)原式=
【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算,也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.
类型三、有理数的加减混合运算
3.计算:
(1)-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72;
(2)11-12+13-15+16-18+17;(3)
(4)
(5);(6)
【答案与解析】
(1)观察各个加数,可以发现-3.72与3.72互为相反数,把它们分为一组;
4.18、-2.93与-1.25的和为0,把它们分为一组可使计算简便.
解:
-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72
=(-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.23
=0+0-1.23=-1.23
(2)把正数和负数分别分为一组.
解:
11-12+13-15+16-18+17
=(11+13+16+17)+(-12-15-18)
=57+(-45)=12
(3)仔细观察各个加数,可以发现两个小数的和是-1,两个整数的和是29,三个分数通分后也不难算.故把整数、分数、小数分别分为一组.
解:
(4)3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组;-3.87与3.37的和为-0.5,把它们分为一组;与易于通分,把它们分为一组;与同分母,把它们分为一组.
解:
(5)先把整数分离后再分组.
解:
注:
带分数中的整数与分数分离时,如果这个数是负数,那么分离得到的整数与分数都是负数,例如.
(6)如果按小数、整数分组,效果似乎不是很好.可先将小数和分数统一后再考虑分组.
解:
【总结升华】计算多个有理数相加时,必须先审题,分析特点,寻找规律,然后再去计算.注意在交换加数的位置时,要连同符号一起交换.
举一反三:
【变式】
(1)
(2)
【答案】
(1)
=
(2)
类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用
【高清课堂:
有理数的加减法382681有理数加减的应用】
4.某检修小组乘汽车沿公路检修线路,约定前进为正,后退为负,某天自A地出发到收工时所走路线(单位:
千米)为:
+10,-3,+4,+2,-8,+13,-2,+12,+8,+5.
(1)问收工时距A地多远?
(2)若每千米路程耗油0.2升,问从A地出发到收工时共耗油多少升?
【答案与解析】
(1)求收工时距A地多远,应求出已知10个有理数的和,若和为正数,则在A地前面,若和为负数,则在A地后面;距A地的路程均为和的绝对值.
解:
(1)(+10)+(-3)+(+4)+(+2)+(-8)+(+13)+(-2)+(+12)+(+8)+(+5)
=[+2+(-2)]+[(-8)+(+8)]+(+10+4+13+12+5)+(-3)
=0+0+44+(-3)=41(千米);
(2)要求耗油量,需求出汽车共行走的路程,即求各数的绝对值之和,然后乘以0.2升即可.
(|+10|+|-3|+|+4|+|+2|+|-8|+|+13|+|-21|+|+12|+|+8|+|+5|)×0.2=67×0.2=13.4(升).
答:
收工时在A地前面41千米,从A地出发到收工时共耗油13.4升.
【总结升华】利用有理数的加减混合运算可以解决很多现实生活中的实际问题,这就需要我们认真观察、大胆分析和设想.
举一反三:
【变式】某产粮专业户出售粮食8袋,每袋重量(单位:
千克)如下:
197,202,197,203,200,196,201,198.
计算出售的粮食总共多少千克?
【答案】法一:
以200(千克)为基准,超过的千克数记作正数,不足的千克数记作负数,则这8个数的差的累计是:
(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)=-6
200×8+(-6)=1594(千克)
答:
出售的粮食共1594千克.
法二:
197+202+197+203+200+196+201+198=1594(千克)
答:
出售的粮食共1594千克.
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