中考数学二轮复习重难题型突破类型三二次函数与图形面积问题Word文档格式.docx
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(2)∵OA=OB=OC=
∴BAC=ACO=BCO=
∵AP∥CB,
∴PAB=
过点P作PE
轴于E,则APE为等腰直角三角形
令OE=,则PE=
∴P
∵点P在抛物线上∴
解得,(不合题意,舍去)
∴PE=
∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE=
(3).假设存在
∵PAB=BAC=
∴PAAC
∵MG
轴于点G,
∴MGA=PAC=
在Rt△AOC中,OA=OC=
∴AC=
在Rt△PAE中,AE=PE=
∴AP=
设M点的横坐标为,则M
①点M在轴左侧时,则
(ⅰ)当AMG
PCA时,有=
∵AG=,MG=即
解得(舍去)
(舍去)
(ⅱ)当MAG
PCA时有=
即
解得:
(舍去)
∴M
②点M在轴右侧时,则
∵AG=,MG=
∴
解得(舍去)
∴M
PCA时有=
∴M
∴存在点M,使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似
M点的坐标为,,
例2、如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线经过A,B两点,抛物线的顶点为D.
(1)求b,c的值;
(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标;
(3)在
(2)的条件下:
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积;
②在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?
若存在,求出所有点P的坐标;
若不存在,说明理由.
(1)由已知得:
A(-1,0)
B(4,5)
∵二次函数的图像经过点A(-1,0)B(4,5)
∴
b=-2
c=-3
(2)如26题图:
∵直线AB经过点A(-1,0)
B(4,5)
∴直线AB的解析式为:
y=x+1
∵二次函数
∴设点E(t,t+1),则F(t,)
∴EF=
=
∴当时,EF的最大值=
∴点E的坐标为(,)
(3)①如26题图:
顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD.
可求出点F的坐标(,),点D的坐标为(1,-4)
S = S + S
=
=
②如26题备用图:
ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,)
则有:
解得:
∴,
ⅱ)过点F作b⊥EF交抛物线于,设(n,)
解得:
,(与点F重合,舍去)
∴
综上所述:
所有点P的坐标:
,
(.
能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形.
例3、如图,已知二次函数的图象与轴交于A、B两点,与轴交于点P,顶点为C(1,-2).
(1)求此函数的关系式;
(2)作点C关于轴的对称点D,顺次连接A、C、B、D.若在抛物线上存在点E,使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形,求点E的坐标;
(3)在
(2)的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形?
若存在,求出点F的坐标及△PEF的面积;
若不存在,请说明理由.
[解析]
(1)∵的顶点为C(1,-2),
∴,.
(2)设直线PE对应的函数关系式为
由题意,四边形ACBD是菱形.
故直线PE必过菱形ACBD的对称中心M.
由P(0,-1),M(1,0),得.从而,
设E(,),代入,得.
解之得,,根据题意,得点E(3,2)
(3)假设存在这样的点F,可设F(,).
过点F作FG⊥轴,垂足为点G.
在Rt△POM和Rt△FGP中,∵∠OMP+∠OPM=90°
,∠FPG+∠OPM=90°
,
∴∠OMP=∠FPG,又∠POM=∠PGF,∴△POM∽△FGP.
∴.又OM=1,OP=1,∴GP=GF,即.
解得,,根据题意,得F(1,-2).
故点F(1,-2)即为所求.
.
例4、如图,已知抛物线的顶点坐标为Q,且与轴交于点C,与轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),点P是该抛物线上一动点,从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合),过点P作PD∥轴,交AC于点D.
(1)求该抛物线的函数关系式;
(2)当△ADP是直角三角形时,求点P的坐标;
(3)在问题
(2)的结论下,若点E在轴上,点F在抛物线上,问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形?
若存在,求点F的坐标;
若不存在,请说明理由.
(1)∵抛物线的顶点为Q(2,-1)∴设
将C(0,3)代入上式,得
∴,即
(2)分两种情况:
①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)
令=0,
得
解之得,
∵点A在点B的右边,
∴B(1,0),A(3,0)∴P1(1,0)
②解:
当点A为△APD2的直角顶点是(如图)
∵OA=OC,
∠AOC=,
∴∠OAD2=
当∠D2AP2=时,∠OAP2=,
∴AO平分∠D2AP2
又∵P2D2∥轴,
∴P2D2⊥AO,
∴P2、D2关于轴对称
设直线AC的函数关系式为
将A(3,0),C(0,3)代入上式得
∴∴
∵D2在上,P2在上,
∴设D2(,),P2(,)∴()+()=0
∴,
(舍)∴当=2时,
==-1∴P2的坐标为P2(2,-1)(即为抛物线顶点)
∴P点坐标为P1(1,0),
P2(2,-1)
(3)解:
由题
(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形
当点P的坐标为P2(2,-1)(即顶点Q)时,
平移直线AP(如图)交轴于点E,交抛物线于点F.
当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形
∵P(2,-1),
∴可令F(,1)∴
解之得:
∴F点有两点,
即F1(,1),F2(,1)
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