最大利润问题.doc
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最大利润问题.doc
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例6:
某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销路,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.
(1)某商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
(2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?
例13:
某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,可全部租出,若每床每晚收费提高2元时,则减少10张床位租出;以每次提高2元这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚应提高多少元?
每床每晚应提高6元时,获得的利润最大,最大利润为1120元.
例14:
某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:
每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出18件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
此题也是实际生活中常遇到的问题,但是题中出现了两种情况,一是涨价,二是降价.所以考虑解决方法要全,不能漏此题体现了分类讨论思想.
解:
调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况:
(1)每件涨价x元,
所以,当定价为65元时,利润最大,最大利润为6250元..
可以看出,这个函数的图象是一条抛物线的一部分,这条抛物线的顶点是函数图象的最高点,也就是说当x取顶点坐标的横坐标时,这个函数有最大值.
在降价的情况下
解:
设降价x元时利润最大,则每星期可多卖18x件,实际卖出(300+18x)件,
销售额为(60−x)(300+18x)元,买进商品需付40(300—10x)元,
因此,得利润
所以选择涨价.
1.某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部,共有190名售货
员,计划全商场日营业额(指每天卖出商品所收到的总金额)为60万元,由于营业性质不同,分配到三个部的售货员的人数也就不等,根据经验,各类商品每1万元营业额所需售货员人数如表
(1),每1万元营业额所得利润情况如表
(2)。
商场将计划日营业额分配给三个经营部,设分配给百货部,服装部和家电部的营业额分别为x,y和z(单位:
万元,x、y、z都是整数)。
(1)请用含x的代数式分别表示y和z;
(2)若商场预计每日的总利润为C(万元),且C满足19≤C≤19.7。
问商场应如何分配营业额给三个经营部?
各应分别安排多少名售货员?
2.某宾馆有50个房间供游客居住。
当每个房间定价为每天180元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲。
如果游客居住房间,宾馆每天对每个房间需支出20元的各种费用。
房价为多少时,宾馆利润最大?
3.心理学家研究发现,一般情况下,学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的注意力初步增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态,随后学生的注意力开始分散,经过实验分析可知,学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系(04黄冈)
(1)讲课开始后第5分钟与讲课开始第25分钟比较,何时学生的注意力更集中?
(2)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?
能持续多少分钟?
(3)一道数学题,需要讲解24分钟,为了效果较好,要求学生的注意力达到180,那么经过适当安排,老师能否在注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?
4.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养最多只能存活两天,如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去。
假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。
现有一经销商,按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内,此时的市场价为每千克30元。
据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是,放养一天需各种费用支出400元,且平均每天还有10千克蟹死去,假定死蟹均于当天全部售出,售价都是每千克20元。
(1)设x天后每千克活蟹的市场价为P元,写出P关于x的函数关系式;
(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售,并记1000千克蟹的销售总额为Q元,写出Q与x的函数关系式;
(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)?
增大利润是多少?
1、某商场购进一批单价为16元的日用品,经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件,若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件,假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数.
(1)试求y与x之间的关系式;
(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润?
每月的最大利润是多少?
2.某商店经营一种小商品,进价为2.5元,据市场调查,销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件,而销售单价每降低1元,平均每天就可以多售出100件.
(1)假设每件商品降低x元,商店每天销售这种小商品的利润是y元,请你写出y与x的之间的函数关系式,并注明x的取值范围;
(2)每件小商品销售价是多少元时,商店每天销售这种小商品的利润最大?
最大利润是多少?
(注:
销售利润=销售收入-购进成本)
3、已知某商品的进价为每件40元,售价是每件60元,每星期可卖出300件。
市场调查反映:
如调整价格 ,每涨价一元,每星期要少卖出10件。
该商品应定价为多少元时,商场能获得最大利润?
4、某商场以每件42元的价钱购进一种服装,根据试销得知:
这种服装每天的销售量(件),与每件的销售价 (元/件)可看成是一次函数关系:
(1).写出商场卖这种服装每天的销售利润 与每件的销售价之间的函数关系式(每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差);
(2).通过对所得函数关系式进行配方,指出:
商场要想每天获得最大的销售利润,每件的销售价定为多少最为合适;最大销售利润为多少?
5.某公司试销某种“上海世博会”纪念品,每件按30元销售,可获利50%,设每件纪念品的成本为a 元。
(1)试求a 的值;
(2)公司在试销过程中进行了市场调查,发现试销量y(件)与每件售价x(元)满足关系式y=–10x+800.设每天销售利润为W(元),求每天销售利润W(元),求每天销售利润W(元) 与每件售价x(元)之间的函数关系式; 当每件售价为多少时,每天获得的利润最大?
最大利润是多少?
6.(本题满分10分) 某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?
最大的月利润是多少元?
(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为2200元?
根据以上结论,请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于2200元?
7. (2010•包头)某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y=kx+b,且x=65时,y=55;x=75时,y=45.
(1)求一次函数y=kx+b的表达式;
(2)若该商场获得利润为W元,试写出利润W与销售单价x之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?
(3)若该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价x的范围.
8.(本小题12分)石家庄国际汽车城销售广汽丰田的凯美瑞汽车,每辆进价为25万元,市场调研表明:
当销售价为29万元时,平均每周能售出8辆,而当销售价每降低0.5万元时,平均每周能多售出4辆.如果设每辆汽车降价x万元,每辆汽车的销售利润为y万元.(销售利润=销售价-进货价)
(1)求y与x的函数关系式;在保证商家不亏本的前提下,写出x的取值范围;
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元,试写出z与x之间的函数关系式; (3)当每辆汽车的定价为多少万元时,平均每周的销售利润最大?
最大利润是多少?
(4)丰田公司受“召回门”的影响,每辆车实际最高仅能售到26万元,求平均每周销售的最大利润是多少?
☆类型二、利用二次函数解决利润最值问题(利润优化问题)
1、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.
(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
(2)每件衬衫降低多少元时,商场平均每天盈利最多?
利润最多为多少元?
2、(讨论)某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:
在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:
销售单价是多少时,可以获利最多?
最大利润为多少?
3、某种粮大户去年种植优质水稻360亩,今年计划增加承租x(100≤x≤150)亩。
预计,原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元,新增地今年每亩的收益为(440-2x)元,试问:
该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻,才能使收益最大?
最大收益是多少?
4、某商场以每件42元的价格购进一批服装,由试销知,每天的销售量t(件)与每件的销售价x(元/件)之间的 函数关系是t=-3x+204.
(1)写出商场每天销售这种服装的毛利润y(元)与每件的销售价x(元)的函数关系式(每件服装销售的毛利润是指每件服装的销售价与进货价的差)
(2)商场要想每天获得最大销售毛利润,每件的销售价应定为多少元?
最大销售毛利润为多少元?
5、(2008年南宁市)随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润与投资量成正比例关系,如图12-①所示;种植花卉的利润与投资量成二次函数关系,如图12-②所示(注:
利润与投资量的单位:
万元)
(1)分别求出利润与关于投资量的函数关系式;
(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得多少利润?
他能获取的最大利润是多少?
6.(2010山东青岛)某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数:
10500yx=-+.
(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2000元,那么他每月的成本最少需要多少元?
(总成本=进价×销售量)
7.(2010 河北)某公司销售一种新型节能产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售. 若只在国内销售,销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为y
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