新版北师大数学八年级上册知识点总结全面.doc
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北师大版《数学》(八年级上册)知识点总结
第一章勾股定理
1、勾股定理
直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a,b,c有关系,那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数:
满足的三个正整数,称为勾股数。
4、常用勾股数:
3、4、56、8、109、12、1515、20、257、24、255、12、138、15、179、40、41
5、解立体图形上两点之间的最短距离问题
(1)将立体图形展成平面图形
(2)根据“两点之间线段最短”确定最短路线
(3)最后以上面的最短路线为边构造直角三角形,利用勾股定理解决
圆柱表面蚂蚁吃面包:
勾股定理:
圆柱高的平方+地面周长一半的平方=最短距离的平方
6、直角三角形斜边上的高=两直角边乘积/斜边
7、折叠问题的常用方法:
折叠前后的图形全等。
然后一边是x另一边是关于x的代数式
第二章实数
1、实数的分类
正有理数
有理数零有限小数和无限循环小数
实数负有理数
正无理数
无理数无限不循环小数
负无理数
2、无理数:
(1)无限不循环小数;
(2)开方开不尽的数,如等
(3)π,或化简后含有π的数,如+8等;(4)有特定结构的数,如0.1010010001…(5)某些三角函数值,如sin60o等
3、算数平方根平方根立方根
X=aX=aX=a
(x一个值,取正)(x两个值,一正一负)(x一个值,可正可负)
记做X=x=x=
平方根性质:
一个正数有两个平方根,它们互为相反数;
零的平方根是零;
负数没有平方根。
立方根性质:
一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;
零的立方根是零。
4、二次根号下有意义的条件:
根号下是非负数,即≥0
5、开平方:
求一个数a的平方根的运算叫开平方,求一个数a的立方根的运算叫做开立方。
a叫做被开方数。
6、实数的倒数、相反数和绝对值与有理数的意义是一致的
7、实数大小的比较
1、实数比较大小:
正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法
(1)数轴比较:
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较:
设a、b是实数,
(2)求商比较法设a、b是两正实数,
(4)绝对值比较法:
设a、b是两负实数,则。
(5)平方法:
设a、b是两负实数,则。
8、算术平方根有关计算(二次根式)
1、含有二次根号“”;被开方数a必须是非负数。
2、性质:
(1)()
(2)()
9、最简二次根式:
运算结果若含有“”形式,必须满足:
(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
10、非负数的情况:
根号下,平方,绝对值。
例如
11、常用的平方与立方
11²=121,12²=144,13²=169,14²=196,15²=225,16²=256,17²=289,18²=324,19²=361,20²=400,21²=441,25²=625
2的立方83的立方274的立方645的立方1256的立方216
12、常用的开二次根式(自己填好)
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第三章位置与坐标
1、在平面内,确定物体的位置一般需要两个数据。
2、平面直角坐标系
在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴,组成平面直角坐标系。
其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;x轴和y轴统称坐标轴。
它们的公共原点O称为直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。
3、象限:
为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意:
x轴和y轴上的点(坐标轴上的点),不属于任何一个象限。
4、点的坐标的概念
对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线,垂足在上x轴、y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点P的坐标。
点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对,当时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
5、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)第一象限(++)点P(x,y)第二象限(-+)
点P(x,y)第三象限(--)点P(x,y)第四象限(+-)
6、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上(x轴上的点纵坐标为0)
点P(x,y)在y轴上(y轴上的点横坐标为0)
点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上x,y同时为零,即点P坐标为(0,0)即原点
7、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等(直线y=x)
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数(直线y=-x)
8、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
9、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
关于x轴对称横坐标相等,纵坐标互为相反数,即点P(x,y)关于x轴的对称点为P’(x,-y)
关于y轴对称纵坐标相等,横坐标互为相反数,即点P(x,y)关于y轴的对称点为P’(-x,y)
总述,关于哪个轴对称哪个坐标不变,另一个坐标互为相反数
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数,即点P(x,y)关于原点的对称点为P’(-x,-y)
10、点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:
(1)点P(x,y)到x轴的距离等于
(2)点P(x,y)到y轴的距离等于
(3)点P(x,y)到原点的距离等于
11、坐标变化与图形变化的规律:
坐标(x,y)的变化
图形的变化
x×a或y×a
被横向或纵向拉长(压缩)为原来的a倍
x×a,y×a
放大(缩小)为原来的a倍
x×(-1)或y×(-1)
关于y轴或x轴对称
x×(-1),y×(-1)
关于原点成中心对称
x+a或y+a
沿x轴或y轴平移a个单位
x+a,y+a
沿x轴平移a个单位,再沿y轴平移a个单
第四章一次函数
1/函数:
一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。
2、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。
一般从整式(取全体实数),分式(分母不为0)、二次根式(被开方数为非负数)、实际意义几方面考虑。
3、由函数关系式画其图像的一般步骤
(1)列表:
列表给出自变量与函数的一些对应值
(2)描点:
以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点
(3)连线:
按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。
4、正比例函数和一次函数
(1)一次函数的形式(k,b为常数,k0),
正比例函数的形式(k为常数,k0)正比例函数是特殊的一次函数
(2)、一次函数、正比例函数图像的主要特征:
一次函数的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数的图像是经过原点(0,0)的直线。
5、一次函数的性质和正比例函数的性质
(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大;
(2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。
/k/的决定直线的倾斜程度,/k/越大直线越陡,/k/越小直线越缓
b代表与y轴交点的纵坐标。
当b>0直线交y轴正半轴b<0直线交y轴负半轴
6、一次函数与y轴的交点坐标为(0,b);一次函数与x轴的交点坐标,另y等于0,求出x的值.即(—,0)
7、一次函数与坐标轴围成的三角形面积:
×/与x轴的交点横坐标/×/与y轴的交点纵坐标/
8、两个一次函数k=k,b≠b两直线平行
k≠k,b=b两直线相交于y轴上的点(0,b)
k×k=-1.两直线垂直
9、直线y=2x向上平移三个单位得到y=2x+3,向下平移三个单位得到y=2x-3
10、在实际问题的图像常取在第一象限,读图时注意x轴y轴代表的信息,若图中有两条直线应标注各个直线的名称。
11、一次函数与一元一次方程的关系:
由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0(k、b为常数,k≠0)的形式.所以解一元一次方程可以转化为:
当一次函数值为0时,求相应x的值.
从图象上看,这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值.
第五章二元一次方程组
1、二元一次方程(1-5都为理解内容)
含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组。
4二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法
(1)代入(消元)法
(2)加减(消元)法
6、一次函数与二元一次方程(组)的关系:
(1)一次函数与二元一次方程的关系:
直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx-y+b=0的解
(2)一次函数与二元一次方程组的关系:
二元一次方程组的解可看作两个一次函数的图象的交点坐标。
当函数图象有交点时,说明相应的二元一次方程组有解;当函数图象(直线)平行即无交点时,说明相应的二元一次方程组无解。
7、个位数字为x十位数字为y的两位数为10y+x
较大的两位数为x较小的两位数y,将较大的写在左边的四位数是100x+y
第六章数据的分析
1、刻画数据的集中趋势(平均水平)的量:
平均数、众数、中位数
2、平均数
(1)平均数:
=。
(2)加权平均数:
=(xf+xf+…….+xf)
3、众数
一组数据中出现次数最多的那个数据叫众数。
注意:
(1)众数可能不止一个
(2)众数是出现次数最多的那个数据而不是次数
4、中位数
(1)先排列
(2)中间一个数据或最中间两个数据的平均数
注意:
奇数个数的中位数,可以把数字加1,再除以2.这个位置就是中位数。
如101个数字,是101+1为102除以2.第51位的数字,就是
偶数个,直接除以2的那位,和它后一位数字的平均数。
如100个数字,就是100除以2为50,和51位上数字的平均数
5、中位数,众数,平均数如数据有单位那么要加单位。
6、刻画数据离散程度的量:
极差,方差,标准
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