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列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征:
确定性、互异性、无序性.
集合的性质:
①任何一个集合是它本身的子集,记为
;
②空集是任何集合的子集,记为
③空集是任何非空集合的真子集;
如果
,同时
,那么A=B.
.
[注]:
①Z={整数}(√)Z={全体整数}(×
)
②已知集合S中A的补集是一个有限集,则集合A也是有限集.(×
)(例:
S=N;
A=
,则CsA={0})
③空集的补集是全集.
④若集合A=集合B,则CBA=
,CAB=
CS(CAB)=D(注:
CAB=
).
3.①{(x,y)|xy=0,x∈R,y∈R}坐标轴上的点集.
②{(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R
二、四象限的点集.
③{(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R}一、三象限的点集.
①对方程组解的集合应是点集.
例:
解的集合{(2,1)}.
②点集与数集的交集是
.(例:
A={(x,y)|y=x+1}B={y|y=x2+1}则A∩B=
4.①n个元素的子集有2n个.②n个元素的真子集有2n-1个.③n个元素的非空真子集有2n-2个.
5.⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真.否命题
逆命题.
②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真.原命题
逆否命题.
①若
应是真命题.
解:
逆否:
a=2且b=3,则a+b=5,成立,所以此命题为真.
②
x+y=3
x=1或y=2.
故
是
的既不是充分,又不是必要条件.
⑵小范围推出大范围;
大范围推不出小范围.
3.例:
若
.
4.集合运算:
交、并、补.
【并集】
在集合论和数学的其他分支中,一组集合的并集是这些集合的所有元素构成的集合,而不包含其他元素。
基本定义:
若A和B是集合,则A和B并集是有所有A的元素和所有B的元素,而没有其他元素的集合。
A和B的并集通常写作"
A∪B"
。
形式上:
x是A∪B的元素,当且仅当x是A的元素,或x是B的元素。
举例:
集合{1,2,3}和{2,3,4}的并集是{1,2,3,4}。
数字9不属于素数集合{2,3,5,7,11,…}和偶数集合{2,4,6,8,10,…}的并集,因为9既不是素数,也不是偶数。
更通常的,多个集合的并集可以这样定义:
例如,A,B和C的并集含有所有A的元素,所有B的元素和所有C的元素,而没有其他元素。
x是A∪B∪C的元素,当且仅当x属于A或x属于B或x属于C。
代数性质:
二元并集(两个集合的并集)是一种结合运算,即A∪(B∪C)=(A∪B)∪C。
事实上,A∪B∪C也等于这两个集合,因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。
相似的,并集运算满足交换率,即集合的顺序任意。
空集是并集运算的单位元。
即{}∪A=A,对任意集合A。
可以将空集当作零个集合的并集。
结合交集和补集运算,并集运算使任意幂集成为布尔代数。
例如,并集和交集相互满足分配律,而且这三种运算满足德·
摩根律。
若将并集运算换成对称差运算,可以获得相应的布尔环。
【交集】
数学上,两个集合A和B的交集是含有所有既属于A又属于B的元素,而没有其他元素的集合。
A和B的交集写作"
A∩B"
x属于A∩B当且仅当x属于A且x属于B。
例如:
集合{1,2,3}和{2,3,4}的交集为{2,3}。
数字9不属于素数集合{2,3,5,7,11}和奇数集合{1,3,5,7,9,11}的交集。
若两个集合A和B的交集为空,就是说他们没有公共元素,则他们不相交。
更一般的,交集运算可以对多个集合同时进行。
例如,集合A,B,C和D的交集为A∩B∩C∩D=A∩(B∩(C∩D))。
交集运算满足结合律,即A∩(B∩C)=(A∩B)∩C。
最抽象的概念是任意非空集合的集合的交集。
若M是一个非空集合,其元素本身也是集合,则x属于M的交集,当且仅当对任意M的元素A,x属于A。
一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)记作CsA.
在集合论和数学的其他分支中,存在补集的两种定义:
相对补集和绝对补集。
补集可以看作两个集合相减,有时也称作差集。
1:
若A,B,C是集合,则下列恒等式成立:
C(A∩B)=(CA)∪(CB)
C(A∪B)=(CA)∩(CB)
C(BA)=(A∩C)∪(CB)
(BA)∩C=(B∩C)A=B∩(CA)
(BA)∪C=(B∪C)(AC)
AA=
A=
A=A
若给定全集U,则A在U中的相对补集称为A的绝对补集(或简称补集),写作AC,即:
AC=UA
与补集有关的运算规律
求补律
A∪CsA=S
A∩CsA=Φ
确定性:
每一个对象都能确定是不是某一集合的元素,没有确定性就不能成为集合,例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。
互异性:
集合中任意两个元素都是不同的对象。
不能写成{1,1,2},应写成{1,2}。
无序性:
{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。
集合有以下性质:
若A包含于B,则A∩B=A,A∪B=B
集合的表示方法:
常用的有列举法和描述法。
1.列举法:
常用于表示有限集合,把集合中的所有元素一一列举出来,写在大括号内,这种表示集合的方法叫做列举法。
{1,2,3,……}
2.描述法:
常用于表示无限集合,把集合中元素的公共属性用文字,符号或式子等描述出来,写在大括号内,这种表示集合的方法叫做描述法。
{x|P}(x为该集合的元素的一般形式,P为这个集合的元素的共同属性)如:
小于π的正实数组成的集合表示为:
{x|0<
x<
π}
3.图式法:
为了形象表示集合,我们常常画一条封闭的曲线(或者说圆圈),用它的内部表示一个集合。
常用数集的符号:
(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集),记作N
(2)非负整数集内排除0的集,也称正整数集,记作N+(或N*)
(3)全体整数的集合通常称作整数集,记作Z
(4)全体有理数的集合通常简称有理数集,记作Q
(5)全体实数的集合通常简称实数集,记作R
(6)复数集合计作C
5.主要性质和运算律
(1)包含关系:
(2)等价关系:
(3)集合的运算律:
1.交换律
A∩B=B∩A
A∪B=B∪A
2.结合律
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
3.分配律
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
2德.摩根律
Cs(A∩B)=CsA∪CsB
Cs(A∪B)=CsA∩CsB
列举法和描述法是表示集合的常用方式。
吸收律
A∪(A∩B)=A
A∩(A∪B)=A
A∩CsA=Φ
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式的解法
根轴法(零点分段法)
①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>
0(<
0)形式,并将各因式x的系数化“+”;
(为了统一方便)
②求根,并在数轴上表示出来;
③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么);
④若不等式(x的系数化“+”后)是“>
0”,则找“线”在x轴上方的区间;
若不等式是“<
0”,则找“线”在x轴下方的区间.
(自右向左正负相间)
则不等式
的解可以根据各区间的符号确定.
特例①一元一次不等式ax>
b解的讨论;
②一元二次不等式ax2+box>
0(a>
0)解的讨论.
二次函数
(
)的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
2.分式不等式的解法
(1)标准化:
移项通分化为
>
0(或
<
0);
≥0(或
≤0)的形式,
(2)转化为整式不等式(组)
3.含绝对值不等式的解法
(1)公式法:
与
型的不等式的解法.
(2)定义法:
用“零点分区间法”分类讨论.
(3)几何法:
根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4.一元二次方程根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
(1)根的“零分布”:
根据判别式和韦达定理分析列式解之.
(2)根的“非零分布”:
作二次函数图象,用数形结合思想分析列式解之.
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