数学竞赛辅导系列专题(一)利用轴对称变换求最小值在初中数学竞赛中的应用举例.doc
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数学竞赛辅导系列专题
(一)利用轴对称变换求最小值在初中数学竞赛中的应用举例
新课改下的数学教学要求教师“要创造性地使用教材,积极开发、利用各种教育资源为学生提供丰富多彩的学习素材;关注学生的个性差异,有效地实施差异教学,使每个学生都得到发展”。
“对于学有余力并对数学有浓厚兴趣的学生,教师要为他们提供足够的材料,指导他们阅读,发展他们的数学才能。
”
纵观近几年的全国各级数学竞赛,首先是紧扣教材和竞赛大纲,许多试题虽有一定难度,但难而不怪,灵活性强,高而可攀。
其次是精心设计,题目新型。
而且注重知识的典型性和迁移性,积极引导学生实现由知识到能力的过渡。
因此,教师在教学过程中要努力帮助学生挖掘课本的教育资源,注重知识的延伸和迁移,通过一题多问、一题多解、多题一解等有效手段,培养学生的创新思维能力。
让学生在学与练的过程中去体味奇妙的数学、学习和领略奥妙的数学;从而提高学习数学的兴趣、勤奋地去开垦数学。
本文试图从“利用轴对称性质求最小值”问题入手,在挖掘课本教育资源、注重多题一解、培养学生知识迁移能力方面作一些尝试与探索,与数学同行们交流,抛砖引玉。
(一)、课本原型:
(七年级下册第196页)如图
(1)所示,要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使从A,B到它的距离之和最短?
解:
如图
(2),只要画出A点关于直线L的对称点C,连结BC交直线L于P,则P点就是所求。
这时PA+PB=PC+PB为最小,(因为两点之间线段最短)。
(证明:
如图
(2),在L上任取一点P1,连结P1A,P1B,P1C,因为P1A+P1B=P1C+P1B>BC=PA+PB。
这是根据三角形两边之和大于第三边,所以结论成立。
)
②
①
(二)应用和延伸:
例1、(七年级作业本题)如图(3),∠AOB内有一点P,在OA和OB边上分别找出M、N,使ΔPMN的周长最小。
解:
如图(4),只要画出P点关于OB、OA的对称点P1,P2,连结P1、P2交OB、OA于M、N,此时ΔPMN的周长PM+PN+MN=P1P2为最小。
(证明略)
例2、在图
(1)中,若A到直线L的距离AC是3千米,B到直线L的距离BD是1千米,并且CD的距离4千米,在直线L上找一点P,使PA+PB的值最小。
求这个最小值。
解:
如图
(1)①所示,只要过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H,在Rt△A1BH中,A1H=4千米,BH=4千米,用勾股定理求得A1B的长度为4千米。
即PA+PB的最
小值为4千米。
图
(1)①
(三)、迁移和拓展:
例1、9(温州2003年中考题)如图(5),在菱形ABCD中,AB=4a,E在BC上,EC=2a,∠BAD=1200,点P在BD上,则PE+PC的最小值是()
(A)6a,(B)5a,(C)4a,(D)2a。
解:
如图(6),因为菱形是轴对称图形,所以BC中点E关于对角线BD的对称点E一定落在AB的中点E1,只要连结CE1,CE1即为PC+PE的最小值。
这时三角形CBE1是含有300角的直角三角形,PC+PE=CE1=2a。
所以选(D)。
例2、(2001年全国数学竞赛题)如图(7),在直角坐标系XOY中,X轴上的动点M(X,0)到定点P(5,5)和到Q(2,1)的距离分别为MP和MQ,那么当MP+MQ取最小值时,点M的横坐标X=——————————。
图(7)
图(8)
解:
如图(8),只要画出点Q关于X轴的对称点Q1(2,-1),连结PQ1交X于点M,则M点即为所求。
点M的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式,(Y=2X-5),令Y=0,求得X=5/2。
(也可以用勾股定理和相似三角形求出答案)。
例3、求函数Y=+的最小值。
解:
方法(Ⅰ)、把原函数转化为Y=+,因此可以理解为在X轴上找一个点,使它到点(3,1)和(-3,5)的距离之和最小。
(解法同上一题)。
方法(Ⅱ),如图(9),分别以PM=(3-X)、AM=1为边和以PN=(X+3)、BN=5为边构建使(3-X)和(X+3)在同一直线上的两个直角△PAM、△PNB,两条斜边的长就是PA=和PB=,因此,求Y的最小值就是求PA+PB的最小值,只要利用轴对称性质求出BA1的长,就是Y的最小值。
(6)。
(四)、思考与练习:
1、(2002湖北黄岗竞赛题)如图(10),∠AOB=450,角内有一点P,PO=10,在角两边上有两点Q、R(均不同于点O),则△PQR的周长最小值是————————。
(提示:
画点P关于OA的对称点P1,点P关于OB的对称点P2,∵∠AOB=450,∴ΔP1OP2是等腰直角三角形,P1P2=10)。
又问当ΔPQR周长最小时,∠QPR的度数=—————。
(1000)。
2、已知点A(-2,1),点B(3,4)。
在X轴上求一点P,使得PA+PB的值最小。
这个最小值是————————。
(同例2)
3、(北京市竞赛题)如图(11),在矩形ABCD中,AB=20㎝,BC=10㎝,若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN的值最小,求这个最小值。
(提示:
要使BM+MN的值最小,应设法把折线BM+MN拉直,从而想到用轴对称性质来做。
画出点B关于直线AC的对称点B1,则B1N的长就是最小值;又因为N也是动点,所以,当B1N⊥AB时这个值最小,利用勾股定理和三角形面积公式可以求得这个最小值为16。
初三的同学也可以用射影定理和面积公式求解。
)
4、(希望杯2001初二数学邀请赛试题),如图(12)在菱形ABCD中,∠DAB=1200,点E平分BC,点P在BD上,且PE+PC=1,那么边长AB的最大值是————————。
(因为当PE+PC最小时,AB=CD达到最大,这个最大值是)。
5、(美国中学生竞赛题)如图(13),一个牧童在小河南4英里处牧马,河水向正东方流去,而他正位于他的小屋西8英里北7英里处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家,他能够完成这件事所走的最短距离是()(提示:
画点A关于小河岸的对称点A1,连结A1B即为最短距离。
)
(A)4+英里(B)16英里(C)17英里(D)18英里
6、(新蕾杯竞赛题)如图(14),正方形ABCD的边长为3,E在BC上,且BE=2,P在BD上,求PE+PC的最小值。
(与知识拓展例1类似,因为点C和点A关于直线BD对称,所以AE是PC+PE的最小值,这个值为)。
7、如图(15),在河湾处M点有一个观察站,观察员要从M点出发,先到AB岸,再到CD岸然后返回M点,则该船应该走的最短路线是————————(先画图,再用字母表示)。
(提示:
,同知识迁移题)
8、(温州2001年中考题)如图(16),AB是☉O的直径,AB=2,OC是☉O的半径,OC⊥AB,点D在AC(⌒)上,AD(⌒)=2CD(⌒),点P是半径OC上一个动点,那么AP+PD的最小值是————————。
(只要找出点D关于半径OC的对称点D1,AD1的长就是AP+PD的最小值。
因为ΔABD1是含有趣300角的直角三角形,所以这个值是)。
9、求代数式+的最小值。
()
10、(2000年湖北省选拔赛试题)在直角坐标系中,有四个点A(-8,3)、B(-4,5)、C(0,n)、D(m,0),当四边形ABCD的周长最短时,的值为——————-——。
(因为A、B是定点且长度不变,只要使其它的三条线段的和最小,所以考虑用轴对称的方法将BC、CD、AD这三条折线拉直。
画点A关于X轴的对称点A1,点B关于Y轴的对称点B1,只要求出直线A1B1的函数解析式就可以求出点C和点D的坐标。
)
(浙江、海盐、西塘中学杨孝华)
2004、11、15.
5
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