数学奥林匹克初中训练题10.doc

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数学奥林匹克初中训练题10

第一试

一、选择题（每小题7分，共42分）

1.如图，已知在Rt△ABC中，AB=35，一个边长为12的正方形CDEF内接于△ABC.则△ABC的周长为（）.

（A）35（B）40（C）81（D）84

2.设n=9+99+…+99…9（99个9）.则n的十进制表示中，数码1有（）个.

（A）50（B）90（C）99（D）100

3.已知f（x）=x2+6ax-a，y=f（x）的图像与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），且=8a-3.则a的值是（）.

（A）1（B）2（C）0或（D）

4.若不等式ax2+7x-1>2x+5对-1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是（）.

（A）2≤x≤3（B）2

5.在Rt△ABC中，∠B=60°，∠C=90°，AB=1，分别以AB、BC、CA为边长向△ABC外作等边△ABR、等边△BCP、等边△CAQ，联结QR交AB于点T.则△PRT的面积等于（）.

（A）（B）（C）（D）

6.在3×5的棋盘上，一枚棋子每次可以沿水平或者垂直方向移动一小格，但不可以沿任何斜对角线移动.从某些待定的格子开始，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不必回到原来出发的小方格上.在这15个小方格中，有（）个可以是这枚棋子出发的小方格.

（A）6（B）8（C）9（D）10

二、填空题（每小题7分，共28分）

1.正方形ABCD的边长为5，E为边BC上一点，使得BE=3，P是对角线BD上的一点，使得PE+PC的值最小.则PB=.

2.设a、b、c为整数，且对一切实数x，（x-a）（x-8）+1=（x-b）（x-c）恒成立.则a+b+c的值

为.

3.如图，在以O为圆心的两个同心圆图2中，MN为大圆的直径，交小圆于点P、Q，大圆的弦MC交小圆于点A、B.若OM=2，OP=1，MA=AB=BC，则△MBQ的面积为.

4.从1，2，…，2006中，至少要取出个奇数，才能保证其中必定存在两个数，它们的和为2008.

第二试

一、（20分）实数x、y、z、w满足x≥y≥z≥w≥0，且5x+4y+3z+6w=100.求x+y+z+w的最大值和最小值.

二、（25分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F，联结AD与内切圆相交于另一点P，联结PC、PE、PF.已知PC⊥PF.求证:

（1）EP/DE=PD/DC;

（2）△EPD是等腰三角形.

三、（25分）在中，有多少个不同的整数（其中，[x]表示不大于x的最大整数）?

数学奥林匹克初中训练题10参考答案

第一试

一、1.D.

设BC=a，AC=b.则

a2+b2=352=1225.①又Rt△AFE∽Rt△ACB，则FE/CB=AF/AC，.

故12（a+b）=ab.

由式①、②得（a+b）2=1225+24（a+b）.解得a+b=49（a+b=-25舍去）.所以，周长为84.

2.C.

因为n=（10-1）+（100-1）+…+（100…0（99个0）-1）=11…1（99个1）0-99=11…1（97个1）011，

所以，n的十进制表示中，数码1有97+2=99（个）.

3.D.

由Δ=36a2+4a>0，得a>0或a<-1/9.由题意可设f（x）=x2+6ax-a=（x-x1）（x-x2）.

则（1+x1）（1+x2）=f（-1）=1-7a，

（1-6a-x1）（1-6a-x2）=f（1-6a）=1-7a.

所以，=8a-3.

解得a=1/2或a=0（舍去）.

4.B.

由题意知，不等式ax2+7x-1>2x+对-1≤a≤1恒成立，即关于a的不等x2a+5x-6>0对-1≤a≤1恒成立.令g（a）=x2a+5x-6.则g（-1）=-x2+5x-6>0，g

（1）=x2+5x-6>0.解得2

5.A.

如图，联结PQ.由题设得BC=1/2，AC=/2，∠QAT=90°，

∠QCP=150°，P、B、R三点共线.

因为S△AQT=AT·AQ=AT·AC=AT，

而S△ART/S△ARB=AT/AB，所以，S△ART=AT=S△AQT.从而，QT=RT.

于是，S△PRT=S△PQR=（S△ABC+S△ABR+S△BCP+S△CAQ+S△CPQ-S△AQR）=.

6.B.

如图5，将3×5的棋盘黑白染色.图5中有8个黑色小方格和7个白色小方格，棋子每次移动都是黑白交替的，则7个白格不能作为出点.另一方面，如图6的8个黑格中的任一个都可以作为出发点.

二、1.15/8.因为PE+PC=PE+PA，所以，当A、P、E三点共线时，PE+PA最小.

如图，建立直角坐标系，设B为坐标原点，BA为x轴.则lBD:

y=x，

lAE:

3x+5y=15.所以，P（15/8，15/8）.故PB=15/8.

2.20或28.

因x2-（8+a）x+8a+1=x2-（b+c）x+bc恒成立，所以，8+a=b+c，8a+1=bc.

消去a可得bc-8（b+c）=-63，即（b-8）（c-8）=1.

因为b、c都是整数，所以，b-8=c-8=1或b-8=c-8=-1.

从而，a+b+c=20或28.

3.3/8.

设MA=x.

由MA·MB=MP·MQ，得x·2x=1×3.解得x=.

联结CN.在Rt△MCN中，MC=3x=3，MN=4.

所以，NC=，S△MCN=.

又S△MQB/S△MCN=1/2，则S△MQB=.

4.503.

从1，2，…，2006中选出两个奇数，和为2008的共有如下501组:

3+2005，5+2003，…，1003+1005.

由于1与其中的任意一个奇数的和都不会等于2008，因此，至少要取出503个奇数，才能保证其中一定有两个数，它们的和为2008.

第二试

一、设z=w+a，y=w+a+b，x=w+a+b+c.则a、b、c≥0，且x+y+z+w=4w+3a+2b+c.

故100=5（w+a+b+c）+4（w+a+b）+3（w+a）+6w=18w+12a+9b+5c=4（4w+3a+2b+c）+（2w+b+c）

≥4（x+y+z+w）.

因此，x+y+z+w≤25.

当x=y=z=25/3，w=0时，上式等号成立.故x+y+z+w的最大值为25.

又100=18w+12a+9b+5c=5（4w+3a+2b+c）-（2w+3a+b）≤5（x+y+z+w），

则x+y+z+w≥20.

当x=20，y=z=w=0时，上式等号成立.故x+y+z+w的最小值为20.

二、

（1）如图，联结DF.则△BDF是等腰直角三角形.于是，∠FPD=∠FDB=45°.故∠DPC=45°.

又因为∠PDC=∠PFD，所以，△PFD∽△PDC.

从而，PF/FD=PD/DC.①

由∠AFP=∠ADF，∠AEP=∠ADE，

得△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE.

于是，EP/DE=AP/AE=AP/AF=FP/DF.

故由式①得EP/DE=PD/DC.

（2）因为∠EPD=∠EDC，结合式②得△EPD’∽△EDC.所以，△EPD也是等腰三角形.

三、设f（n）=.

当n=2，3，…，1004时，有f（n）-f（n-1）=<1.

而f

（1）=0，f（1004）=10042/2008=502，

以，从0到502的整数都能取到.当n=1005，1006，…，2008时，有f（n）-f（n-1）=>1.

而f（1005）=10052/2008=（1004+1）2/2008=502+1+1/2008>503，

故是互不同的整数.从而，在中，共有503+1004=1507个不同的整数.