数学复习要点.doc
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数学复习要点:
强调的重点问题
1.函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法:
1任取x1,x2∈D,且x1 (B)图象法(从图象上看升降)_ 2.证明函数的奇偶性: 切记: 在判断奇偶性之前要先看定义域,说明是否关于原点对称。 奇函数只需证明f(-x)=-f(x) 偶函数只需证明f(-x)=f(x)。 3.解不等式的格式: 把右端全部变为0,分两种格式 “>0”与“<0”型, 分解左端因式,或者用求根公式求出对应方程的根,利用结论写出解,最后再把不等式的解集表示成集合的形式。 尤其是对数不等式,一定要先考虑定义域,如我们刚考试的试卷上第17题,这种题目,开头一定要是一个大括号,把所有条件都列出,再解不等式组,最后画数轴求出交集。 确定最终的不等式解集。 4.定义域和值域一定是区间或者集合的形式,一定不能写个不等式放那不管了。 5.求集合的交、并、补,如果是不等式,一定要借助数轴分析,尤其是端点,一定带入验证看是否可以。 6.复合函数的单调性,记住一道题目的步骤。 另外求最值时一般是复合函数,要有整体代换的思想,然后转化为一元二次函数在闭区间求最值,画图分析是最快又不容易错的方法。 详细知识点: 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义: 某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性 3、集合的表示: 1.用拉丁字母表示集合: A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法: 列举法与描述法。 ①语言描述法: 例: {不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法: 例: 不等式x-3>2的解集是{xÎR|x-3>2}或{x|x-3>2} 4、集合的分类: 1.有限集含有有限个元素的集合 2.无限集含有无限个元素的集合 3.空集不含任何元素的集合 例: {x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5) 实例: 设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同” ①任何一个集合是它本身的子集。 AÍA ②真子集: 3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1.交集的定义: 一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集. 即A∩B={x|x∈A,且x∈B}. 2、并集的定义: 一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。 即A∪B={x|x∈A,或x∈B}. 3、交集与并集的性质: A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A, A∪φ=A,A∪B=B∪A. 4、全集与补集 (1)补集: 设S是一个集合,A是S的一个子集(即),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集) 记作: CSA即CSA={x|xÎS且xÏA} S CsA A (2)全集: 如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。 通常用U来表示。 (3)性质: ⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U 二、函数的有关概念 1.函数的概念: 设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 注意: 2如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意: 求出不等式组的解集即为函数的定义域。 ) 构成函数的三要素: 定义域、对应关系和值域 再注意: (1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数) (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。 相同函数的判断方法: ①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. 3.函数图象知识归纳 (1)定义: 在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象. C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A} 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2)画法 A、描点法: 根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法(请参考必修4三角函数) 常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用: 1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。 提高解题的速度。 发现解题中的错误。 4.了解区间的概念 (1)区间的分类: 开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间;(3)区间的数轴表示. 5.什么叫做映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f: AB为从集合A到集合B的一个映射。 记作“f: AB” 给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象 说明: 函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f: A→B来说,则应满足: (Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 常用的函数表示法及各自的优点: 1函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2解析法: 必须注明函数的定义域;3图象法: 描点法作图要注意: 确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;4列表法: 选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 注意啊: 解析法: 便于算出函数值。 列表法: 便于查出函数值。 图象法: 便于量出函数值 补充一: 分段函数(参见课本P24-25) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况. (1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数; (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 补充二: 复合函数 如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x),(x∈A)称为f、g的复合函数。 7.函数单调性 (1).增函数 设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1 区间D称为y=f(x)的单调增区间。 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 注意: 1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1 (2)图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
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- 数学 复习 要点