度八年级上册经典几何题分类训练.doc
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八年级上册经典几何题分类训练
常见辅助线的作法有以下几种:
遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”.
遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.
遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.
过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
特殊方法:
在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.
一、以等边三角形为基础
1.已知:
如图1,点C为线段AB上一点,△ACM,△CBN都是等边三角形,AN交MC于点E,BM交CN于点F.
(1)求证:
AN=BM;
(2)求证:
△CEF为等边三角形;
(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90O,其他条件不变,在图2中补出符合要求的图形,并判断第
(1)、
(2)两小题的结论是否仍然成立(不要求证明).
D
E
C
P
O
B
A
2.如图,△ABC为等边三角形,AB=6cm,O为AB上的任意一点(与B点不重合),OD⊥BC于D;DE⊥AC于E;EP⊥AB于P。
问:
当OB的长等于多少时,点P与点O重合?
二、以等腰直角三角形为基础
3.如图1图2图3,△AOB,△COD均是等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90º,
(1)在图1中,AC与BD相等吗,有怎样的位置关系?
请说明理由。
(2)若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后,到达图2的位置,请问AC与BD还相等吗,还具有那种位置关系吗?
为什么?
(3)若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后,到达图3的位置,请问AC与BD还相等吗?
还具有上问中的位置关系吗?
为什么?
4.如图,两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起,∠DEA=∠ACB=90°,∠DAE=∠ABC=30°,E、A、C三点在一条直线上,连接BD,取BD中点M,连接ME、MC,试判断△EMC的形状,并说明理由.
5.已知:
在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角△ADE,解答下列各题:
如果AB=AC,∠BAC=90°.
(i)当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图甲,线段BD,CE之间的关系为______________
(ii)当点D在线段BC的延长线上时,如图乙,i)中的结论是否还成立?
为什么?
6.如图:
在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连结AD、AG。
求证:
(1)AD=AG,
(2)AD与AG的位置关系如何?
7.在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点.写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系,并说明理由.
(1)若点M、N分别是AB、AC上的点,且BM=AN,试判断△OMN形状,并证明你的结论.
(2)、、又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
8.如图,已知在△ABC中,∠BAC为直角,AB=AC,D为AC上一点,CE⊥BD于E.
(1)若BD平分∠ABC,求证:
(i)CE=BD;(ii)BC=AB+AD;
(2)若D为AC上一动点,∠AED如何变化,若变化,求它的变化范围;若不变,求出它的度数,并说明理由。
三、以角平分线为基础
9.如图所示,已知在△AEC中,∠E=90°,AD平分∠EAC,DF⊥AC,垂足为F,DB=DC.
A
B
F
C
D
E
求证:
BE=CF.
10.如图,过线段AB的两个端点作射线AM、BN,使AM∥BN,按下列要求画图并回答:
画∠MAB、∠NBA的平分线交于E。
(1)∠AEB是什么角?
(2)过点E作一直线交AM于D,交BN于C,观察线段DE、CE,你有何发现?
(3)无论DC的两端点在AM、BN如何移动,只要DC经过点E,①AD+BC=AB;②AD+BC=CD谁成立?
并说明理由。
四、利用面积一定解题
11、如图所示,已知D是等腰△ABC底边BC上的一点,它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF,CM⊥AB,垂足为M,请你探索一下线段DE、DF、CM三者之间的数量关系,并给予证明.
12.如图,在△ABC中,∠A=90°,D是AC上的一点,BD=DC,P是BC上的任一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E、F为垂足.求证:
PE+PF=AB.
五、综合变式,类比法是关键
13.已知四边形中,,,,,,绕点旋转,它的两边分别交(或它们的延长线)于.
当绕点旋转到时(如图1),易证.
(图1)
(图2)
(图3)
当绕点旋转到时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,线段,又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
14.如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边∆ABC边AB、BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s,
(1)连接AQ、CP交于点M,则在P、Q运动的过程中,∠CMQ变化吗?
若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;
(2)何时∆PBQ是直角三角形?
(3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则∠CMQ变化吗?
若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;
A
P
B
Q
C
M
第14题图1
A
P
B
Q
C
M
第14题图2
15.如图,在△ABC和△DCB中,AB=DC,AC=DB,AC与DB交于点M.
BC
AD
M
N
求证:
△ABC≌△DCB;
(2)过点C作CN∥BD,过点B作BN∥AC,CN与BN交于点N,试判断线段BN与CN的数量关系,并证明你的结论.
16.已知:
如图E在△ABC的边AC上,且∠AEB=∠ABC。
求证:
∠ABE=∠C;
若∠BAE的平分线AF交BE于F,FD∥BC交AC于D,设AB=5,AC=8,求DC的长。
17.已知:
如图,是等边三角形,过边上的点作,交于点,在的延长线上取点,使,连接.
(1)求证:
;
(2)过点作,交于点,请你连接,并判断是怎样的三角形,试证明你的结论.
18.已知:
△ABC边BC上的高AD所在的直线与AC上的高BE所在的直线相交于点F
(1)如图①,若△ABC为锐角三角形且∠ABC=45°过点F做FG∥BC,交直线AB于点G,试探究线段FG,DC,AD三者之间满足怎样的数量关系?
并说明理由
(2)如图②,若∠ABC=135°,其他的条件不变,试探究
(1)中三条线段之间满足怎样的数量关系?
并说明理由
19.如图,已知E是正方形ABCD的边CD的中点,点F在BC上,且∠DAE=∠FAE.
A
B
F
C
E
D
求证:
AF=AD+CF
20.已知:
∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:
EF=AC
B
A
C
D
F
2
1
E
21.
(1)如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连结AE、DE、DC.
①求证:
△ABE≌△CBD;
②若∠CAE=30°,求∠EDC的度数.
22.
(1)如图
(1),已知:
在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:
DE=BD+CE.
(2)如图
(2),将
(1)中的条件改为:
在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?
如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(第22题图)
A
B
C
E
D
m
(图1)
(图2)
(图3)
m
A
B
C
D
E
A
D
E
B
F
C
m
(3)拓展与应用:
如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.
23.【提出问题】
(1)如图1,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等边△AMN,连结CN.求证:
∠ABC=∠ACN.
【类比探究】
(2)如图2,在等边△ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,
(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?
请说明理由.
截长补短法
图1-1
人教八年级上册课本中,在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质,这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法,在无法进行直接证明的情形下,利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.
例1.已知,如图1-1,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC.
求证:
∠BAD+∠BCD=180°.
分析:
因为平角等于180°,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长补短法”来实现.
证明:
过点D作DE垂直BA的延长线于点E,作DF⊥BC于点F,如图1-2
图1-2
∵BD平分∠ABC,∴DE=DF,
在Rt△ADE与Rt△CDF中,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.
图2-1
又∠BAD+∠DAE=180°,∴∠BAD+∠DCF=180°,
即∠BAD+∠BCD=180°
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