等腰三角形名师点拨Word文档下载推荐.docx
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①当x=1cm时,10-2x=8(cm);
②当x=2cm时,10-2x=6(cm);
③当x=3cm时,10-2x=4(cm);
④当x=4cm时,10-2x=2(cm).
又由三角形三边关系可知,①②不满足三角形三边关系.
∴这个三角形的三边有两种;
3cm,3cm,4cm或4cm,4cm,2cm.
答案:
3cm,3cm,4cm或4cm,4cm,2cm
综合应用题
例6如图14-65所示,在△ABC中,AB=AC=CD,AD=DB,求∠BAC的度数.
(分
学生做一做
(1)如图14-66所示,已知AB=AC,BC=CD=AD,求∠B的度数;
(1)如图14-67所示,已知BD=CD=AC,∠B=18°
,求∠ACB的度数.
老师评一评
(1)
(2)题中都有几个等腰三角形,有许多相等的角,可设其中某一个角,再把其余的角表示出来.
(1)∵AB=AC,BC=CD=AD,
∴∠B=∠ACB,∠2=∠B,∠1=∠A.
设∠1=∠A=α,则∠2=∠B=2a,∠3=∠B-∠1=a.
在△BCD中,∠B+∠2+∠3=180°
,
∴2α+2α+α=180°
∴5α=180°
,∴α=36°
∴∠B=2α=2×
36°
=72°
(2)∵BD=CD=AC,
∴∠1=∠B,∠2=∠A.
又∵∠2=∠1+∠B=2∠B,∠B=18°
∴∠2=2×
18°
=36°
.∴∠A=36°
∴∠ACB=180°
-∠A-∠B=180°
-36°
-18°
=126°
例8如图14-69所示,在△ABC中,AB=AC,AE是∠BAC外角∠DAC的平分线.试判断AF与BC的位置关系.
(分析)主要考查等腰三角形性质的应用.
解:
AE与BC的位置关系是AE∥BC.理由如下:
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
又∵∠DAC=∠B+∠C=2∠C,AE是∠DAC的平分线;
∴2∠EAC=∠DAC,
∴∠C=∠EAC,
∴AE∥BC(内错角相等,两直线平行).
学生做一做
(1)如图14-69所示,在△ABC中,AB=AC,AE∥BC.求证AE是△BAC的外角∠DAC的平分线;
(2)如图14-69所示,在△ABC中,AE是∠BAC的外角∠DAC的平分线,且AE∥BC.试判断△ABC的形状.
老师评一评本题意在考查如果把已知问题中的条件与结论互换,看得到的新命题是否成立,有利于培养学生灵活分析问题和解决问题的能力.
(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C.
又∵AE∥BC,∴∠EAC=∠C(两直线平行,内错角相等),
∠DAE=∠B(两直线平行,同位角相等).
∴∠EAC=∠DAE.
∴AE是∠DAC的平分线.
(2)△ABC是等腰三角形.理由如下:
∵AE是∠DAC的平分线,
∴∠DAE=∠EAC.
又∵AE∥BC,
∴∠DAE=∠B,∠EAC=∠C,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC(等角对等边).
∴△ABC是等腰三角形
).
学生做一做
(1)在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,垂足为D,若∠DBC=25°
,则∠A=;
(2)在△ABC中,AB=AC,若∠B=70°
,BD⊥AC,垂足为D,则∠DBC=.
老师评一评由例11的结论得出;
(1)题中,∠DBC=25°
=
∠A,∴∠A=50°
.
(2)题中,∵AB=AC,∴∠B=∠C=70°
.∴∠A=40°
.∴∠DBC=20°
例12如图14-73所示,在△ABC中,∠C=90°
,∠BAC=60°
,AB的垂直平分线交AB于D,交BC于E,若CE=3cm,求BE的长.
(分析)主要应用线段垂直平分线的性质和30°
角的直角三角形的性质.
连接AE,
∵∠C=90°
∴∠B=30°
又∵DE是AB的垂直平分线,
∴EA=EB.∴∠EAB=∠B=30°
∴∠CAE=30°
∴AE是∠CAB的平分线.
又∵∠C=90°
,ED⊥AB,
∴DE=EC=3cm.
在Rt△DBE中,∠B=30°
,∠EDB=90°
∴DE=
BE,∴BE=2×
3=6(cm).
学生做一做如图14-74所示,在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠B=15°
,AB的垂直平分线分别与BC,AB交于M,N.求证MB=2AC.
老师评一评连接MA,
∴∠C=90°
∴∠CAB=75°
又∵MN是AB的垂直平分线,
∴MA=MB.
∴∠MAB=∠B=15°
∴∠CAM=∠CAB-∠MAB=75°
-15°
=60°
∴∠CMA=30°
在Rt△CMA中,∠C=90°
,∠CMA=30°
∴CA=
MA.∴CA=
MB.
即MB=2AC.
小结在直角三角形中证明线段的一半或2倍关系时,经常考虑30°
角所对的直角边.
探索与创新题
主要考查:
(1)利用等腰三角形知识探索和创新的能力;
(2)图形分割;
(3)辅助线的灵活应用;
(4)探讨结论性问题等。
例13如图14-75所示,已知点O是∠ABC,∠ACB的平分线的交点,且OD∥AB,OE∥AC.
(1)图形中共有哪几个等腰三角形?
选一者证明之;
(2)试说明△ODE的周长与BC的关系;
(3)若BC=12cm,则△ODE的周长.
(分析)本题
(1)问主要是等腰三角形的判定;
(2)问是探讨两者间的数量关系,由
(1)可得;
(3)问由
(2)问的结果得出.
(1)图形中共有两个等腰三角形,它们分别是△OBD和△OCE.
以△OBD为例.
∵BO平分∠ABC,∴∠1=∠2.
又∵OD∥AB,∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3.∴DB=OD.
∴△OBD是等腰三角形.
(2)由
(1)可知,DB=DO.同理EO=EC.
∴△ODE的周长=OD+DE+EO=DB+DE+EC=BC.
∴△ODE的周长与BC的关系是:
△ODE的周长=BC.
(3)由
(2)可知,△ODE的周长=BC.
又∵BC=12cm,
∴△ODE的周长=12cm.
学生做一做如图14-76所示,在△ABC中,BO,CO分别为∠ABC,∠ACB的平分线,经过点O的直线DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E.
(1)图中等腰三角形分别是;
(2)DE与BD+EC的关系是:
BD=.
老师评一评欲证等腰三角形,需证角相等.
(1)∵DE∥BC,∴∠DOB=∠OBC.
又∵BO平分∠ABC,∴∠ABO=∠OBC.
∴∠DOB=∠ABO.∴DB=DO.
∴△DBO是等腰三角形.
同理EO=EC.
∴△EOC是等腰三角形.
(2)DE=DO+OE=BD+EC,
∴DE=BD+EC.
例14如图14-77所示,在△ABC中,∠ACB=90°
,BD=BC,AE=AC.试问:
∠DCE是否与∠A有关?
如果无关,求∠DCE的大小.
∠DCE与∠A无关,∠DCE=45°
.理由如下:
∵BD=BC,∴∠BDC=∠BCD.
∴∠BDC=
(180°
-∠B)=90°
-
∠B.
又∵AE=AC,∴∠AEC=∠ACE.
∴∠AEC=
-∠A)=90°
∠A.
∴∠AEC+∠BDC=(90°
∠A)+(90°
∠B)
=180°
(∠A+∠B).
又∵∠ACB=90°
∴∠BDC+∠AEC=180°
×
90°
=135°
∴∠BDC+∠AEC=135°
∴∠DCE=45°
例15如图14-78所示,在△ABC中,AD⊥BC于D,∠B=2∠C.求证AB+BD=CD.
(分析)如何利用条件∠B=2∠C,又如何得到AB+BD,不同的思考方向,会找到不同的解题方法.
证明:
在CD上截取DE=DB,连接AE,
∵AD⊥BC,∴AE=AB.
∴∠B=∠AEB.
又∵∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C,
∴∠CAE=∠C.∴AE=EC.
∴AB+BD=AE+BD=EC+ED=CD.
∴AB+BD=CD.
例16(2003·
杭州)如图14-79所示,∠AOP=∠BOP=15°
,PC∥OA,PD⊥OA,若OC=4,则PD等于()
A.4B.3C.2D.1
(分析)本题中有角平分线、平行线,这是等腰三角形的重要形成条件,另外,PD⊥OA于D,显然需要作另外一个垂直,这是角平分线性质的一个重要应用.
如图14-80所示,
过点P作PE⊥OB于E.
又∵OP平分∠BOA,PD⊥OA于D.
∴PD=PE.
∵PC∥OA,∴∠2=∠3.
又∵∠1=∠2,∠1=15°
∴∠3=15°
,CO=CP.
∴∠4=∠1+∠3=2∠1=15°
2=30°
在Rt△CPE中,∠4=30°
,∠CEP=90°
∴PE=
PC=
OC=
4=2.
∴PD=2,故正确答案为C项.
学生做一做如图14-81所示,已知矩形ABCD,沿对角线AC把△DAC翻折,AD′与BC相交于点E.判断△AEC的形状.
老师评一评△AEC是等腰三角形,关键是证明∠EAC=∠ECA.
理由如下:
由题意可知,△ADC≌△AD′C,
∴∠DAC=∠D′AC.
又∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACE.
∴∠D′AC=∠ACE.∴EA=EC.
∴△EAC是等腰三角形.
小结
(1)证明线段相等是最基本的几何问题,目前常用证法有:
①若两条线段属于两个三角形,则考虑对应的三角形全等;
②若两条线段是同一个三角形两边,则考虑用等角对等边证明;
③寻找中间线段,通过等量代换来证明.
(2)类似地,我们可以对证明角相等,等边三角形的判定作归纳总结.
在证明等腰三角形时,常需应用作辅助线构造全等三角形,进而应用等腰三角形的性质为题目服务,常用的构造方法有:
①“角平分线+平行线”构造等腰三角形;
②“角平分线+垂线”构造等腰三角形;
③用“垂直平分线”构造等腰三角形;
④用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形.
中考展望点击中考
中考命题总结与展望
这部分内容在中考中多以填空、选择的形式出现,在综合题中,等腰三角形的性质和判定的知识较为常见。
中考试题预测
例1(2004·
黄冈)如图14-82所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°
,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F.求证BF=2CF.
(分析)证线段2倍关系,通常考虑在直角三角形中是否有30°
角.
如图14-83所示,连接AF,
∵AB=AC,∠BAC=120°
∴∠B=∠C=
=30°
又∵EF是AC的垂直平分线,
∴FA=FC.∴∠C=∠FAC=30°
∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°
-30°
=90°
在Rt△BAF中,∠BAF=90°
,∠B=30°
∴AF=
BF.∴CF=
BF.
∴BF=2CF.
例2(2004·
四川)如图14-84所示,D是△ABC边上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且BF=CE.求证:
(1)△ABC是等腰三角形;
(2)当∠A=90°
时,试判断四边形AFDE是什么形状的四边形.
(分析)
(1)只需证△BFD≌△CED,证∠B=∠C即可.
(2)只需证邻边相等,因为邻边相等的长方形是正方形.
(1)∵DF⊥AB,DE⊥AC,
∴∠BFD=∠CED=90°
又∵D是BC的中点,∴BD=CD.
在Rt△BFD和Rt△CED中,
∴Rt△BFD≌Rt△CED(HL).
∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).
∴△ABC是等腰三角形.
时,四边形AFDE是正方形.
∵∠AFD=∠AED=∠A=90°
∴四边形AFDE是长方形.
由
(1)知△BFD≌△CED,∴FD=ED.
∴四边形AFDE是正方形.
例3(2004·
陕西)如图14-85所示,在锐角三角形ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高,且CD,BE交于一点P,若∠A=50°
,则∠BPC的度数是()
A.150°
B.130°
C.120°
D.100°
(分析)本题主要考查:
(1)直角三角形两锐角互余;
(2)三角形内角和是180°
.具体过程如下:
∵BE⊥AC,CD⊥AB,
∴∠AEB=∠ADC=90°
又∵∠A=50°
∴∠ABE=∠ACD=90°
-50°
=40°
∴∠ABC+∠ACB=180°
-∠A=130°
∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)-(∠ABE+∠ACD)
=130°
-(40°
+40°
)=50°
∴∠BPC=180°
-(∠PBC+∠PCB)=180°
=130°
∴∠BPC=130°
.故正确答案为B项.
例4(中考预测题)如图14-86所示,在梯形ABCD中,AB=AD,AD∥BC,∠A=100°
,试求∠DBC的度数.
(分析)本题要求一个角的度数,已知条件中的AD∥BC恰与角有密切联系,所以应该充分利用.
由AD=AB知,∠ADB=∠ABD(等腰三角形的底角相等),由AD∥BC知,∠ADB=∠DBC(两直线平行,内错角相等).
可见∠ABD=∠DBC.
而∠A+∠ABC=180°
(两直线平行,同旁内角互补),
∠A=100°
,所以100°
+2∠DBC=180°
可以得出∠DBC=40°
例5(2004·
青海)如图14-87所示,把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折,使C点落在E处,BE与AD相交于点O,若∠DBC=15°
,则∠BOD=.
(分析)由题意可知△BDC≌△BDE.
∴∠DBC=∠DBE.
又∵AD∥BC,∴∠ODB=∠DBC.
∴∠OBD=∠ODB.
又∵∠DBC=15°
∴∠OBD=∠ODB=15°
∴∠BOD=180°
2=150°
课堂小结本节归纳
本节主要学习了:
(1)等腰三角形的概念、性质和判定;
(2)等边三角形的概念、性质和判定;
(3)直角三角形(有一个角是30°
的直角三角形)的性质.
习题选解课本习题
课本第149~151页
习题14.3
1.
(1)35°
,35°
(2)80°
,20°
或50°
,50°
2.证明:
∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC.
又∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC.
∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD(等角对等边).
3.解:
∵五角星的五个角都是顶角为36°
的等腰三角形,
∴每个底角的度数是
)=72°
∴∠AMB=180°
-72°
=108°
4.解:
∵AB=AC,∠BAC=100°
-100°
)=40°
又∵AD⊥BC,∴AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠CAD=
100°
=50°
5.解:
△ECB是等腰三角形.理由如下:
∵CE∥AD,∴∠A=∠CEB.
又∵∠A=∠B,∴∠CEB=∠B.∴CE=CB.
∴△CBE是等腰三角形.
6.证明:
又∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED.
∴∠ADB=∠AEC.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(AAS)
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
7.解:
∵AB=AC,∠A=40°
∴∠ABC=∠C=
-40°
)=70°
又∵MN是AB的垂直平分线,∴DA=DB.
∴∠A=∠DBA=40°
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°
9.解:
∵∠PAB=∠PBA,∴PA=PB.这是利用了等腰三角形的判定
10.解:
∵∠NBC=84°
,∠NAC=42°
,∠NBC=∠NAC+∠C,
84°
=42°
+∠C,∴∠C=42°
.∴BC=BA.
又∵BA=15×
(10-8)=30(海里),
∴BC=30海里.
即从海岛B到灯塔C的距离是30海里.
11.证明:
∵△ABD,△AEC都是等边三角形,
∴AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,
即∠DAC=∠BAE.
在△ADC和△ABE中,
∴△ADC≌△ABE(SAS).
∴DC=BE.
12.解:
等腰三角形两底角的平分线相等,等腰三角形两腰上的中线相等,等腰三角形两腰上的高相等.以等腰三角形两腰上的高相等为例证明.
已知:
如图14-88所示,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D,E.
求证:
BD=CE.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
又∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠BEC=∠CDB=90°
在Rt△BCE和Rt△CBD中,
∴Rt△BCE≌Rt△CBD(AAS).
13.提示:
(1)∠ECD=∠EDC;
(2)OC=OD;
(3)OE是CD的垂直平分线.
∵OE平分∠AOB,ED⊥OB,EC⊥OA,垂足分别为D,C,
∴ED=EC.∴∠EDC=∠ECD.
在Rt△ODE和Rt△OCE中,
∴Rt△ODE≌Rt△OCE(HL).
∴OD=OC.∴△ODC是等腰三角形.
又∵OE是∠DOC的平分线,
∴OE是底边CD上的高和中线.
即OE是线段DC的垂直平分线.
14.解:
如图14-89所示.
作法如下:
作∠CAB的平分线AD,交于BC于点D,再作DE上AB,垂足为E.
∴∠CAB=60°
.∴∠1=∠2=30°
又∵DE⊥AB,∠C=90°
,∴∠C=∠AED=90°
在Rt△ACD和Rt△AED中,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(AAS).
又∵∠2=∠B=30°
,∴DA=DB.
又∵DE⊥AB,∴∠AED=∠BED=90°
在Rt△ADE和Rt△BDE中,
∴Rt△ADE≌Rt△BDE(AAS).
∴Rt△ADC≌Rt△ADE≌Rt△BDE.
自我评价知识巩固
1.等边三角形的两条中线所成的钝角的度数是()
A.120°
C.150°
D.160°
2.设等腰三角形的顶角为∠A,则∠A的取值范围是()
A.0°
≤∠A<180°
B.0°
<∠A<180°
C.0°
D.0°
<∠A<90°
3.一个三角形的外角分别是135°
,90°
,135°
,则这个三角形是()
A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形
4.如果等腰三角形一底角为α,那么()
A.α≤45°
B.0°
<α<90°
C.α≤90°
D.90°
<α<180°
5.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于()
A.顶角B.顶角的一半C.顶角的2倍D.底角的一半
6.如图14-90所示,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是角平分线,图中的等腰三角形共有()
A.6个B.5个C.4个D.3个
7.如图14-91所示,在△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,MN∥BC,MN经过点O,若AB=12,AC=18,则△AMN的周长是()
A.15B.18C.24D.30
8.如图14-92所示,O是∠ABC,∠ACB的平分线的交点,OD∥AB,交BC于D,OE∥AC交BC于E,若BC=10cm,则面DOE的周长为()
A.8cmB.9cmC.10cmD.11cm
9.在△ABC中,若AB=AC,∠A=90°
,则∠B=,∠C=.
10.如果一个三角形的两个内角分别为70°
,40°
,那么这个三角形是.
11.在△ABC中,AB=AC,∠A=60°
,则∠B=,∠C=,△ABC是三角形.
12.已知等腰三角形的一个底角等于顶角的2倍,这个等腰三角形各角的度数分别是.
13.如图14-93所示,BD是△ABC的角平分线,∠A=36°
,∠C=72°
,则图中共有个等腰三角形,它们分别是.
14.
(1)如果等腰三角形的两边长分别是4cm,7cm,那么它的周长是;
(2)如果等腰三角形的两边长分别是5cm和10cm,则这个等腰三角形的周长是.
15.等腰三角形两腰上的高、中线,两底角平分线分别.
16.在等腰三角形中,如果顶角是一个底角的2倍,那么这个三角形是三角形.
17.若三角形是轴对称图形,且有一个角是60°
,则这个三角形是三角形.
18.一个等腰三角形的周长为18cm,一边长为4cm,求其他两边的长.
19.如图14-94所示,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,交AB于D,交AC于E,求证△ADE也是等腰三角形.
20.如图14-95所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,试证明BD是∠ABC的平分线.
21.如图14-96所示
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