平行线和相交线复习讲义.doc

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成达教育用心做教育，用爱为人师

学生：

______________教师______________日期_____________时段__________________教务签字：

______________

成达教育学科学案

课题

相交线与平行线的复习

教学目标

1、互余、互补的运用

2、“三线八角”

3、平行线的性质和判定的综合运用

重点、难点

“证明”的格式、思路，平行线的性质和判定的综合运用

一、相交直线

1、同一平面内，两条直线有几种位置关系：

2、“两线四角”

如下左图：

直线AB与直线CD相交于点O，∠1与∠2有一条公共边，它们的一边

与互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为；∠1与∠3有公共顶点O，并且这两个角的两边互为，具有这种关系的两个角，互为。

例1、下列说法正确的有（）

①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.

A.1个B.2个C.3个D.4个

例2、.如上右图所示,直线AB,CD相交于点O,若∠1－∠2=70,则∠BOD=_____,∠2=____.

3、垂直

当两条直线相交所成的四个角中有一个为直角时，叫做这两条直线，其中的一条直线叫，它们的交点叫

（1）如图2，经过直线上一点A画的垂线，这样的垂线能画_____条；

（2）如图3，经过直线外一点B画的垂线，这样的垂线能画_____条；

B

（图2）（图3）

A

归纳总结：

经过探索发现：

在同一平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直．

4、点到直线的距离

定义：

直线外一点到这条直线的，叫做点到直线的距离。

注意：

定义中说的是“垂线段的长度”，而不是“垂线段”。

因为，距离是一个数量，而“垂线段”是指一个具体的几何图形。

例3：

如图，∠BCA＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则下列结论中正确的个数为（）

①AC与BC互相垂直；②CD与BC互相垂直；③点B到AC的垂线段是线段AC；④点C到AB的距离是线段CD；⑤线段AC的长度是点A到BC的距离；⑥线段AC是点A到BC的距离。

A.2B.3C.4D.5

例4.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到 直线m的距离为（）

A.4cmB.2cm;C.小于2cmD.不大于2cm

例5、如图5,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BC=8cm，AC=6cm，那么点A到BC的距离是________,点B到CD的距离是_____,点C到AB的距离是_______,

5、互余、互补

⑴定义：

如果两个角的和是，那么称这两个角互为补角；

如果两个角的和是，那么称这两个角互为余角

⑵性质:

.

⑶注意：

①互余和互补是大小关系，与位置无关；

②互余和互补是两个的关系，不能多个角互补或互余.

例6、下列说法正确的是（　　）

A．相等的两个角是对顶角B．如果∠1+∠2+∠3=90°，那么∠1、∠2、∠3互为余角

C．和等于90°的两个锐角互为余角D．一个角的补角一定大于这个角

例7、一个角的余角比它的补角的还少20°,求这个角.

例8、如上左图图，∠AOC=∠BOD=90°，那么∠AOB=∠COD，这是根据（　　）

A．直角都相等B．同角的余角相等C．同角的补角相等D．互为余角的两个角相等

例9、如上右图所示，点A，O，B在一条直线上，∠AOE=∠DOF，若∠1=∠2，则图中互余的角共有（　　）

A．5对B．4对C．3对D．2对

注：

常见的同（等）角的的余角相等运用图形

（1）两边上的高

（2）子母三角形（3）共线三等角

由上述三图能得到哪些角相等，依据是什么？

6、“三线八角”

.观察与归纳，请观察图1

（1）∠1与∠8在截线c的（填同侧、两侧），而分别在直线a，b（填同一方、之间）

归纳：

在截线c的，而分别在被截直线a,b的的两个角叫做同位角。

（2）∠1与∠6在截线C的（填同侧、两侧），而分别在直线a,b（填同一方、之间）∠2与∠5在截线C的（填同侧、两侧），而分别在直线a,b（填同一方、之间）

归纳：

在截线C的，而分别在被截直线a,b的两个角叫做内错角。

（3）∠1与∠5在截线C的（填同侧、两侧），而分别在直线a,b（填同一方、之间）∠2与∠6在截线C的（填同侧、两侧），而分别在直线a,b（填同一方、之间）

归纳：

在截线C的，而分别在被截直线a,b的两个角叫做同旁内角。

例10、如图3.

（1）若把图看成是直线AB、EF被直线CD所截，∠1和∠2是一对什么角？

∠3和∠4呢？

∠2和∠4呢？

（2）若把图看成是直线CD、EF被直线AB所截，那么，∠1和∠5是一对什么角？

∠4和∠5呢？

（3）哪两条直线被哪一条直线所截而；∠2和∠5是同位角？

总结：

任何一组同位角、内错角、同旁内角的两条边有什么发现？

其中一条边重合（或者在一条直线）恰为第三条边，另外两条边是被截的直线。

所以看两脚间是否有这三种关系，首先观察这两角的两边，是否有一边在共线，然后分清截线与被截线，最后根据定义判断关系。

练习1、如下列几个图中，∠1和∠2是同位角的是（填序号）。

2、如下图，直线DE与∠ABC的两边相交，则图中有对内错角，并写出每对内错角。

3、有下列命题：

①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②内错角相等；③相等的角是对顶角；④同角或等角的补角相等．正确命题的个数是（）

A．

0个

B．

1个

C．

2个

D．

3个

二、平行线与平行线的性质和判定

（1）平行线定义：

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

平行用符号“∥”表示。

（2）平行线公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

注：

在同一平面内，两条直线的关系有平行和相交。

例1、下列说法：

①不相交的两条直线必定平行；②过一点有且只有一条直线和已知直线平行；③两条不平行的射线，在同一平面内一定相交；④若a与c相交，b与c相交，则a与b不一定相交。

错误的说法有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

（3）：

平行线判定和平行线的性质

平行线的判定：

平行线的性质：

性质1：

两直线平行，同位角相等；

性质2：

两直线平行，内错角角相等；

性质3：

两直线平行，同旁内角互补；

判定定理与性质定理的区别：

从角的关系得到结论两直线平行，用平行线判定定理；从平行线得到角相等或互补关系，用平行线性质定理。

填理由时，要防止把性质和判定定理相混淆。

例2．已知如图，指出下列推理中的错误，并加以改正。

（1）∵∠1和∠2是内错角，∴∠1=∠2，

（2）∵AD//BC，∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）

　　（3）∵∠1=∠2，∴AB//CD（两直线平行，内错角相等）

例3、已知：

如图∠1=∠2，BD平分∠ABC，

求证：

AB//CD

例4、如图CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：

DG//BC。

（辅助线添加）

例5、已知如图，∠BED=∠B+∠D。

求证：

AB//CD。

反思：

本题的逆命题是否成立，若成立，怎样证明。

（折纸问题）

例6.将如图①的矩形ABCD纸片沿EF折叠得到图②，折叠后DE与BF相交于点P，如果∠BPE=130°，则∠PEF的度数为（）

A．60°B．65°C．70°D．75°

例7、如下图，已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1+∠2＝90°.

求证：

DA⊥AB.

（思考）1、三角形中位线定理及其证明

（思考）2、三角形重心的性质及证明