平行线的判定及性质.doc
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平行线的判定及性质.doc
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平行线的判定及性质
(一)
【知识要点】
一.余角和补角:
1、如果两个角的和是直角,称这两个角互余.∵=90º∴互为余
2、如果两个角的和是平角,称这两个角互补.∵=180º∴互为补角
二.余角和补角的性质:
同角或等角的余角相等同角或等角的补角相等.
三.对顶角的性质:
对角相等.
四.“三线八角”:
1、同位角2、内错角3、同旁内角
五.平行线的判定:
1、同位角相等,两直线平行.
2、内错角相等,两直线平行.
3、同旁内角互补,两直线平行.
4、同平行于一条条直线平行.
5、同垂直一条直线的两条直线平行.
六.平行线的性质:
1.两直线平行,同位角相等;
2.两直线平行,内错角相等;
3.两直线平行,同旁内角互补.
【典型例题】
一、余角和补角
例1.如图所示,
1
2
3
4
互余角有_________________________________;
互补角有_________________________________;
变式训练:
1.一个角的余角比它的的还少20º,则这个角为_____________。
E
D
C
B
A
O
2.如图所示,已知∠AOB与∠COB为补角,OD是∠AOB的角平分线,OE在∠BOC内,∠BO=∠EOC,∠DOE=72º,求∠EOC的度数。
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
5
6
7
8
二、“三线八角”
例2
(1)如图,哪些是同位角?
内错角?
同旁内角?
2
3
4
5
6
1
(2)如图,下列说法错误的是()
A.∠1和∠3是同位角B.∠1∠5是同角
C.∠1和∠2是内角D.∠5和∠6是内错角
1
2
3
4
5
7
6
(3)如图,⊿ABC中,DE分别交B、A于D和E,则图中共有
同位角对,内错角对,同旁内角。
三、平行线的判定
例3如右图①∵∠1=∠2
A
B
C
D
G
1
3
∴_____∥_____,()
②∵∠2=_____
∴____∥____,(同位角相等,两直线平行)
③∵∠3+∠4=180º
∴____∥_____,()
∴AC∥FG,()
∴∠B+_____=180º,___________________B
A
B
C
D
E
F
1
2
3
变式训练:
1.如图,∵∠1=∠B
∴∥_____,()
∵∠1/∠2
∴_____∥_____,()
∵∠B+_____=180º,
∴AB∥EF()
2
C
A
B
E
D
1
例4.如图,已知AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD,∠1和∠2互余,求AB∥CD
a
b
c
d
e
1
2
3
4
变式训练:
如图,已知直线a、b、e,且∠1=∠2,
∠3+∠4=180º,则a∥c平行吗?
五、平行线的性质
例5如图所示,AB∥EF,若∠ABE=32°,∠ECD=160°,
求∠BEC的度数。
变式训练:
1.如图所示,L1L2,则∠1=_____.
(浙江省中考题)
2.(兰州·中考题)如图所示,AB∥CD,MN交CD于点E,F,GE⊥MN于点E,
若∠DEG=60°,求∠AFE的度数。
A
D
B
C
P
2
【名书·名校·竞赛·中考在线】
1.(2009青岛市)如图,已知AB∥CD,∠1=100º,∠2=120º,
则∠=。
2.(2011山东日照,)如图,已知直线,,,那么的大小为()
(A)70 (B)80
(C)90 (D)100
3.如图,∠BED=∠B+∠D则AB与CD有怎样的位置关系?
请说明理由。
(2010·培优)
B
C
D
E
A
4.(2010武汉)如图,点P是四边形ABCD的边CD上任意一动点,且∠C=∠1+∠2.
请问AD与BC有怎样的位置关系?
请说明你判断的理由。
A
B
C
D
P
1
2
5.(第18届北京市“迎春杯”竞赛题)已知∠A的两条边和∠B的两条边分别行,且∠A比∠B的3少20°,求∠B的度数。
6.(2008·培优)如图,∠B=∠C,B、A、D三点在同一直线上,∠DAC=∠B+∠C,AE是∠DAC的线,求证:
AE∥BC。
平行线的判定与性质
(二)
(拓展训练)
【知识要点】
一、与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合应用,主要体现在以下两个方面:
性质
判定
1.由角定角
已知角的关系两直线平行确定其它角的关系
性质
判定
2.由线定线
已知两直线平行角的关系确定其它两直线平行
二、探索几何问题的解决方法,主要从以下两个方面去分析:
1.由因导果(综合法):
即——从已知条件出发,推出相应的结论。
2.执果溯因(分析法):
即——要得到结论需要具备什么条件。
所以:
解题时,我们即要抓住条件,又要盯住目标,努力促使已知与未知的转化与沟通。
三、简单的面积问题:
1.计算图形面积的常用方法:
①和差法②运动法③等积变形法
2.求图形面积的常用技巧:
寻找共用的三角形。
【典型例题】
A
A
A
18º
18º
例1(拐弯行走问题)如图,某人从A点出发,每前进10米,就向右转18°,
再前进10米,又向右转18°,这样下去,他回到
出发地点时,一共走了________米.
变式训练:
1.如图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过,如果第一次拐的角∠A是120°,第二次拐的角∠B是150°,第三次拐的角是∠C,这时恰好和第一次拐弯之前的道路
平行,则∠C=.
2.一学员在广场上练习驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,
这两次拐弯的角度可能是().
(A)第一次向左拐70°,第二次向右拐30°
(B)第一次向右拐60°,第二次向左拐130°
(C)第一次向右拐60°,第二次向右拐130°
(D)第一次向左拐70°,第二次向左拐130°
例2(翻折问题)将纸片△ABC沿DE折叠,点A落在点A′处,已知∠1+∠2=100°,A
求∠A的度数.
D
C
B
B
C
D
E
A
变式训练:
1.如图,将长方形ABCD纸片沿BD折叠,使点C落在处,
交AD于点E,若∠DBC=22.5°,则在不添加任何辅助线的
情况下,图中4°的角有().(虚线也视为角的边)
(A)6个(B)5个(C)4个(D)3个
2.如图①,已知长方形纸带,∠DEF=20°,将纸带沿EF折叠成图案②,
再沿BF折叠成图案③,则③中的∠CFE的度数是__________。
BG
AE
②
F
C
D
BGF
AED
C
③
C
①
A
B
C
D
E
F
例3.(平行线的性质和判定的应用)1.如图,已知:
∠1=∠2.∠3=∠4,∠5=∠6.
A
B
C
D
E
F
2
3
1
4
5
6
求证:
AD∥BC.
2.如图,已知CD∥AB于D,EF∥AB于F,∠DGC=105°,∠BCG=75°,
B
C
A
D
E
F
G
2
1
求∠1+∠2的度数.
1
2
A
B
C
D
F
G
E
变式练习:
1.如图,AD⊥BC于点D,EF⊥BC于点F,EF交AB于点G,交CA的延长线于点E,且∠1=∠2.∠EAD=∠BAC吗?
说说你的理由.
2.如图,若AB∥CD,∠1=∠2,则∠E=∠F,为什么?
1
2
A
B
C
D
E
F
O
N
M
C
B
A
例5.(综合应用)如图,已知M是AB的中点,N是BC上的一点,CN=2BN,连接AN交MC于O点,若四边形OMBN的面积为14cm.
求:
(1)CO:
OM的值。
(2)⊿ABC的面积
(2008年两岸四地少年数学精英邀请赛试题)
变式训练:
如图,已知⊿ABC的面积是60,BE:
CE=3:
1,AD:
CD=3:
1,
求四边形ECDF的面积。
(“华赛杯”试题)
A
B
C
D
E
F
【名书·名校·竞赛·中考在线】
1.(2007福州、)如图,直线AC∥BD,连结AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:
线上各点不属于任何部分,当动点P落在某个部分时,连结PA,PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角.(提示:
有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°.)
(1)当动点P落在第①部分时,试说明:
∠APB=∠PAC+∠PBD.
(2)当动点P落在第②部分时,∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立?
(直接回答成立或不成立)
(3)当动点P落在第③部分时,请全面探究∠PAC,∠APB,
∠PBD之间的关系,并写出动点P的具体位置和相应的结论,
选择其中一种结论加以说
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