平行四边形知识点及证明题.docx
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第18章平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结
一.正确理解定义
(1)定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性,它既是平行四边形的一条性质,又是一个判定方法.
(2)表示方法:
用“”表示平行四边形,例如:
平行四边形ABCD记作ABCD,读作“平行四边形ABCD”.
2.熟练掌握性质
平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的.
(1)角:
平行四边形的邻角互补,对角相等;
(2)边:
平行四边形两组对边分别平行且相等;
(3)对角线:
平行四边形的对角线互相平分;
(4)面积:
①;②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形.
3.平行四边形的判别方法
①定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
③方法2:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3:
对角线互相平分的四边形是平行四边形
⑤方法4:
一组平行且相等的四边形是平行四边形
二、.几种特殊四边形的有关概念
(1)矩形:
有一个角是直角的平行四边形是矩形,它是研究矩形的基础,它既可以看作是矩形的性质,也可以看作是矩形的判定方法,对于这个定义,要注意把握:
①平行四边形;②一个角是直角,两者缺一不可.
(2)菱形:
有一组邻边相等的平行四边形是菱形,它是研究菱形的基础,它既可以看作是菱形的性质,也可以看作是菱形的判定方法,对于这个定义,要注意把握:
①平行四边形;②一组邻边相等,两者缺一不可.
(3)正方形:
有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形,它是最特殊的平行四边形,它既是平行四边形,还是菱形,也是矩形,它兼有这三者的特征,是一种非常完美的图形.
2.几种特殊四边形的有关性质
(1)矩形:
①边:
对边平行且相等;②角:
对角相等、邻角互补;
③对角线:
对角线互相平分且相等;④对称性:
轴对称图形(对边中点连线所在直线,2条).
(2)菱形:
①边:
四条边都相等;②角:
对角相等、邻角互补;
③对角线:
对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角;④对称性:
轴对称图形(对角线所在直线,2条).
(3)正方形:
①边:
四条边都相等;②角:
四角相等;
③对角线:
对角线互相垂直平分且相等,对角线与边的夹角为450;④对称性:
轴对称图形(4条).
3.几种特殊四边形的判定方法
(1)矩形的判定:
满足下列条件之一的四边形是矩形
①有一个角是直角的平行四边形;②对角线相等的平行四边形;③四个角都相等
(2)菱形的判定:
满足下列条件之一的四边形是矩形
①有一组邻边相等的平行四边形;②对角线互相垂直的平行四边形;③四条边都相等.
(3)正方形的判定:
满足下列条件之一的四边形是正方形.
①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形
②有一组邻边相等的矩形;③对角线互相垂直的矩形.
④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形;
4.几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析
(1)识别矩形的常用方法
①先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角.
②先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形ABCD的对角线相等.
③说明四边形ABCD的三个角是直角.
(2)识别菱形的常用方法
①先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等.
②先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明对角线互相垂直.
③说明四边形ABCD的四条相等.
(3)识别正方形的常用方法
①先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等.
②先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明对角线互相垂直且相等.
③先说明四边形ABCD为矩形,再说明矩形的一组邻边相等.
④先说明四边形ABCD为菱形,再说明菱形ABCD的一个角为直角.
5.几种特殊四边形的面积问题
①设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b,则S矩形=ab.
②设菱形ABCD的一边长为a,高为h,则S菱形=ah;若菱形的两对角线的长分别为a,b,则S菱形=.
③设正方形ABCD的一边长为a,则S正方形=;若正方形的对角线的长为a,则S正方形=.
平行四边形
矩形
菱形
正方形
图形
性质
1.对边
且;
2.对角;
邻角;
3.对角线
;
1.对边
且;
2.对角
且四个角都是
;
3.对角线
;
1.对边
且四条边都;
2.对角;
3.对角线
且每
条对角线
;
1.对边
且四条边都;
2.对角
且四个角都是;
3.对角线
且每条对角线;
面积
证明题
1.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,=4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB,垂足为E.
(1)求∠ABD的度数;
(2)求线段的长.
A
F
D
B
E
O
C
2.如图,菱形的对角线与相交于点,点、分别为边、的中点,连接、、.求证:
四边形是菱形.
3.在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AC上一点,连接EB、ED.
(1)求证:
△BEC≌△DEC;
(2)延长BE交AD于F,当∠BED=120°时,求∠EFD的度数.
A
F
D
E
B
C
4. 已知:
如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC和CD上,AE=AF.
(1)求证:
BE=DF;
A
D
B
E
F
O
C
M
(2)连接AC交EF于点O,延长OC至点M,使OM=OA,连接EM、FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形?
并证明你的结论.
证明:
(1)
5.如图,四边形ABCD是边长为a的正方形,点G,E分别是边AB,BC的中点,∠AEF=90o,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)证明:
∠BAE=∠FEC;
(2)证明:
△AGE≌△ECF;
(3)求△AEF的面积.
6.已知梯形中,,(如图所示).的平分线交于点,联结.
(1)在图中,用尺规作的平分线(保留作图痕迹,不写作法),并证明四边形是菱形;
(2)若,,求证:
.
A
B
C
D
7.(2010湖北省黄石市)如图,正方形中,分别是边上的点,且求证
D
C
F
B
E
A
8.如图,将矩形纸片沿折叠,使点与点重合,点落在点处,为折痕.
(1)求证:
;
(2)若,求四边形(阴影部分)的面积.
9.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,E、F分别在AD及其延长线上,CE∥BF,连接BE、CF.
(1)求证:
△≌△CDE;
(2)若AB=AC,求证:
四边形BFCE是菱形.
10.如图,在矩形ABCD(AB<AD)中,将△ABE沿AE对折,使AB边落在对角线AC上,点B的对应点为F,同时将△CEG沿EG对折,使CE边落在EF所在直线上,点C的对应点为H.
(1)证明:
AF∥HG(图
(1));
(2)证明:
△AEF∽△EGH(图
(1));
(3)如果点C的对应点H恰好落在边AD上(图
(2)).求此时∠BAC的大小.
11.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于点E.求证:
四边形AECD是菱形.
12.求证:
矩形的对角线相等.
13.如图,在□ABCD中,EF∥BD,分别交BC、CD于点P、Q,分别交AB、AD的延长线于点E、F.已知BE=BP.
求证:
(1)∠E=∠F.
(2)□ABCD是菱形.
14.(2010四川省眉山市)如图,O为矩形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD.
(1)试判断四边形OCED的形状,并说明理由;
(2)若AB=6,BC=8,求四边形OCED的面积.
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