平方根知识点总结讲义.doc

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平方根知识点总结

【学习目标】

1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．

2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．

【要点梳理】

要点一、平方根和算术平方根的概念

1.算术平方根的定义

如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.

要点诠释：

当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.

2.平方根的定义

　如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.（≥0）的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.

要点二、平方根和算术平方根的区别与联系

1．区别：

（1）定义不同；

（2）结果不同：

和

2．联系：

（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

（3）0的平方根和算术平方根均为0．

要点诠释：

（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

要点三、平方根的性质

要点四、平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：

，，，.

【典型例题】

类型一、平方根和算术平方根的概念

1、若2－4与3－1是同一个正数的两个平方根，求的值．

【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2－4＝－（3－1），解方程即可求解．

【答案与解析】

解：

依题意得2－4＝－（3－1），

解得＝1；

∴的值为1．

【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：

一个正数有两个平方根，它们互为相反数．

举一反三：

【变式】已知2－1与－＋2是的平方根，求的值.

【答案】2－1与－＋2是的平方根，所以2－1与－＋2相等或互为相反数.

解：

①当2－1＝－＋2时，＝1，所以＝

②当2－1＋（－＋2）＝0时，＝－1，

所以＝

2、为何值时，下列各式有意义？

（1）；

（2）；（3）；（4）．

【答案与解析】

解：

（1）因为，所以当取任何值时，都有意义．

（2）由题意可知：

，所以时，有意义．

（3）由题意可知：

解得：

．所以时有意义．

（4）由题意可知：

，解得且．

所以当且时，有意义．

【总结升华】

（1）当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．

（2）当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．

举一反三：

【变式】已知，求的算术平方根．

【答案】

解：

根据题意，得则，所以＝2，∴，

∴的算术平方根为．

类型二、平方根的运算

3、求下列各式的值．

（1）；

（2）．

【思路点拨】

（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.

（2）注意运算顺序.

【答案与解析】

解：

（1）；

（2）．

【总结升华】

（1）混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．

（2）初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解．

类型三、利用平方根解方程

4、求下列各式中的.

（1）

（2）；

（3）

【答案与解析】

解：

（1）∵

∴

∴

（2）∵

∴

∴＋1＝±17

＝16或＝－18.

（3）∵

∴

∴

∴

【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.

（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.

举一反三：

【变式】求下列等式中的：

（1）若，则＝______；

（2），则＝______；

（3）若则＝______；（4）若，则＝______．

【答案】

（1）±1.1；

（2）±13；（3）；（4）±2.

类型四、平方根的综合应用

5、已知、是实数，且，解关于的方程．

【答案与解析】

解：

∵、是实数，，，，

∴，．

∴－3，．

把－3，代入，得－＋2＝－4，∴＝6．

【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出、的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可．

举一反三：

【变式】若，求的值．

【答案】

解：

由，得，，即，．

①当＝1，＝－1时，．

②当＝－1，＝－1时，．

6、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

【答案与解析】

解：

设长方形纸片的长为3（＞0），则宽为2，依题意得

.

.

.

∵＞0，

∴.

∴长方形纸片的长为.

∵50＞49,

∴.

∴,即长方形纸片的长大于20.

由正方形纸片的面积为400,可知其边长为20,

∴长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.

答:

小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20的正方形纸片裁出长方形纸片.