将军饮马系列---最值问题.doc
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同步课程˙“将军饮马”系列最值问题
“将军饮马”系列最值问题
知识回顾
1.两点之间,线段最短.
2.点到直线的距离,垂线段最短.
3.三角形两边之和大于第三边,两边之差小鱼第三边.
4.分别为同一圆心半径不等的两个圆上的一点,
当且仅当三点共线时能取等号.
知识讲解
古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者,名叫海伦.
有一天,有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题:
如图,将军从出发到河边饮马,然后再到地军营视察,显然有许多走法.问怎样走路线最短呢?
精通数理的海伦稍加思索,便作了完善的回答.这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题.
下面我们来看看数学家是怎样解决的.海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题.
根据公理:
连接两点的所有线中,线段最短.
若在河流的异侧,直接连接,与的交点即为所求.
若在河流的同侧,根据两点间线段最短,那么显然要把折线变成直线再解.
海伦解决本问题时,是利用作对称点把折线问题转化成直线
现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理,即轴对称思想
轴对称及其性质:
把一个图形沿某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称.如等腰是轴对称图形.
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就是说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
如下图,与关于直线对称,叫做对称轴.和,和,和是对称点.
轴对称的两个图形有如下性质:
①关于某条直线对称的两个图形是全等形;
②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线;
③两个图形关于某条直线对称,如果他们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上.
线段垂直平分线:
垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等;
到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高,或者求几条折线段的最小值等情况,通常考虑作轴对称变换,以“补齐”图形,集中条件。
所有的轴对称图形(角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐标轴),都可以考察“将军饮马”问题。
考察知识点:
“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”。
解题总思路:
找点关于线的对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
构建“对称模型”实现转化
常见模型:
(1)最小
(2)①最小
②最大
【变形】异侧时,也可以问:
在直线上是否存在一点使的直线为的角平分线
(3)周长最短
类型一类型二类型三
(4)“过河”最短距离
类型一类型二
(5)线段和最小
(6)在直角坐标系里的运用
同步练习
【例1】尺规作图,作线段的垂直平分线,作的角平分线.
【变式练习】已知:
如图,及两点、.求作:
点,使得,且点到两边所在的直线的距离相等.
【例2】已知点在直线外,点为直线上的一个动点,探究是否存在一个定点,当点在直线上运动时,点与、两点的距离总相等,如果存在,请作出定点;若不存在,请说明理由.
【例3】如图,在公路的同旁有两个仓库、,现需要建一货物中转站,要求到、两仓库的距离和最短,这个中转站应建在公路旁的哪个位置比较合理?
【变式练习】如图,、为的边、上的两个定点,在上求一点,使的周长最短.
【例4】如图,,角内有点,在角的两边有两点、(均不同于点),求作、,使得的周长的最小.
【例5】如图,在内部有点和点,同时能使,这时在直线上再取点,使从点到点及点的距离和为最小;在直线上也取点,使从点到点和点的距离和也最小.证明:
.
【例6】已知如图,点在锐角的内部,在边上求作一点,使点到点的距离与点到的边的距离和最小.
【例7】已知:
、两点在直线的同侧,在上求作一点,使得最小值和最大值.
【变式练习】(07年三帆中学期中试题)如图,正方形中,,是上的一点,且,是上的一动点.
求
(1)的最小值与最大值.
(2)的最小值与最大值.
【例8】如图,分别是边上的点(均不与点重合),记的周长为,请作出周长最小的.
课后练习
【习题1】如图,在等腰中,,的上一点,满足,在斜边上求作一点使得长度之和最小.
【习题2】如图,菱形的两条对角线分别长和,点、分别是变、的中点,在对角线求作一点使得的值最小.
【习题3】如图,在锐角中,,°,的平分线交于点,、
分别是和上的动点,则的最小值是____.
【习题4】已知⊙的直径为,的度数为°,点是的中点,在直径上找一点,使的值最小,并求的最小值.
【习题5】如图所示,正方形的面积为,是等边三角形,点在正方形
内,在对角线上有一点,使的和最小,则这个最小值为( )
....
【习题6】如图,在平面直角坐标系中,直线是第一、三象限的角平分线.
实验与探究:
(1)由图观察易知关于直线的对称点的坐标为,请在图中分别标关于直线的对称点的位置,并写出它们的坐标:
_________;
归纳与发现:
(2)结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:
坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为_____(不必证明);
运用与拓广:
(3)已知两点,试在直线上找一点,使点到两点的距离之和最小.
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