实际问题与反比例函数的导学案.doc
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17.2实际问题与反比例函数
教学目标
1.知识与技能
学会把实际问题转化为数学问题,进一步理解反比例函数关系式的构造,掌握用反比例函数的方法解决实际问题.
2.过程与方法
感受实际问题的探索方法,培养化归的数学思想和分析问题的能力.
3.情感、态度与价值观
体验函数思想在解决实际问题中的应用,养成用数学的良好习惯.
教学重点难点
重点:
用反比例函数解决实际问题.
难点:
构建反比例函数的数学模型.
课时安排
2课时
教与学互动设计
第1课时
(一)创设情境,导入新课
一位司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以80千米/时的平均速度用6小时到达目的地.
(1)当他按原路匀速反回时,汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系?
(2)若该司机必须在4个小时内回到甲地,则返程的速度不能低于多少?
(二)合作交流,解读探究
探究
(1)原路返回,说明路程不变,则80×6=480千米,因而速度v和时间t满足:
vt=480或v=的反比例函数关系式.
(2)若要在4小时内回到甲地(原路),则速度显然不能低于=120(千米/时).
归纳常见的与实际相关的反比例
(1)面积一定时,矩形的长与宽成反比例;
(2)面积一定时,三角形的一边长与这边上的高成反比例;
(3)体积一定时,柱(锥)体的底面积与高成反比例;
(4)工作总量一定时,工作效率与工作时间成反比例;
(5)总价一定时,单价与商品的件数成反比例;
(6)溶质一定时,溶液的浓度与质量成反比例.
(三)应用迁移,巩固提高
例1近视眼镜的度数y(度)与焦距x(m)成反比例,已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m.
(1)试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式;
(2)求1000度近视眼镜镜片的焦距.
【分析】把实际问题转化为求反比例函数的解析式的问题.
解:
(1)设y=,把x=0.25,y=400代入,得400=,
所以,k=400×0.25=100,即所求的函数关系式为y=.
(2)当y=1000时,1000=,解得=0.1m.
例2如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图象.
(1)请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量;
(2)写出此函数的解析式;
(3)若要6h排完水池中的水,那么每小时的排水量应该是多少?
(4)如果每小时排水量是5000m3,那么水池中的水将要多少小时排完?
【分析】当蓄水总量一定时,每小时的排水量与排水所用时间成反比例.
解:
(1)因为当蓄水总量一定时,每小时的排水量与排水所用时间成反比例,所以根据图象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量为:
4000×12=48000(m3).
(2)因为此函数为反比例函数,所以解析式为:
V=;
(3)若要6h排完水池中的水,那么每小时的排水量为:
V==8000(m3);
(4)如果每小时排水量是5000m3,那么要排完水池中的水所需时间为:
t==8000(m3)
备选例题
(2005年中考·四川)制作一种产品,需先将材料加热到达60℃后,再进行操作.设该材料温度为y(℃),从加热开始计算的时间为x(分钟).据了解,设该材料加热时,温度y与时间x完成一次函数关系;停止加热进行操作时,温度y与时间x成反比例关系(如图所示).已知该材料在操作加工前的温度为15℃,加热5分钟后温度达到60℃.
(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时,y与x的函数关系式;
(2)根据工艺要求,当材料的温度低于15℃时,须停止操作,那么从开始加热到停止操作,共经历了多少时间?
【答案】
(1)将材料加热时的关系式为:
y=9x+15(0≤x≤5),停止加热进行操作时的关系式为y=(x>5);
(2)20分钟.
(四)总结反思,拓展升华
1.学会把实际问题转化为数学问题,充分体现数学知识来源于实际生活又服务于实际生活这一原理.
2.能用函数的观点分析、解决实际问题,让实际问题中的量的关系在数学模型中相互联系,并得到解决.
(五)课堂跟踪反馈
夯实基础
1.A、B两城市相距720千米,一列火车从A城去B城.
(1)火车的速度v(千米/时)和行驶的时间t(时)之间的函数关系是v=.
(2)若到达目的地后,按原路匀速原回,并要求在3小时内回到A城,则返回的速度不能低于240千米/小时.
2.有一面积为60的梯形,其上底长是下底长的,若下底长为x,高为y,则y与x的函数关系是y=.
3.(2005年中考·长沙)已知矩形的面积为10,则它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为(A)
4.下列各问题中,两个变量之间的关系不是反比例函数的是(C)
A.小明完成100m赛跑时,时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的关系
B.菱形的面积为48cm2,它的两条对角线的长为y(cm)与x(cm)的关系
C.一个玻璃容器的体积为30L时,所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系
D.压力为600N时,压强p与受力面积S之间的关系
提升能力
5.面积为2的△ABC,一边长为x,这边上的高为y,则y与x的变化规律用图象表示大致是(C)
开放探究
6.为了预防流行性感冒,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知,药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例,药物燃烧后,y与x成反比例(如图所示).现测得药物8分钟燃毕,此室内空气中每立方米的含药量为6毫克,请你根据题中所提供的信息,解答下列问题:
(1)药物燃烧时y关于x的函数关系式为:
y=x,自变量的取值范围是:
0 y=; (2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过30分钟后,学生才能回到教室; (3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效? 为什么? 【答案】有效,因为燃烧时第4分钟含药量开始高于3毫克,当到第16分钟含药量开始低于3毫克,这样含药量不低于3毫克的时间共有16-4=12分钟,故有效. 第2课时 (一)创设情境,导入新课 公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”: 若两物体与支点的距离反比于其重量,则杠杆平衡.也可这样描述: 阻力×阻力臂=动力×动力臂. 为此,他留下一句名言: 给我一个支点,我可以撬动地球! (二)合作交流,解读探究 问题: 小伟想用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂不变,分别是1200N和0.5m. (1)动力F和动力臂L有怎样的函数关系? 当动力臂为1.5m时,撬动石头至少要多大的力? (2)若想使动力F不超过第 (1)题中所用力的一半,则动力臂至少要加长多少? 【分析】 (1)由杠杆定律有FL=1200×0.5,即F=,当L=1.5时,F==400. (2)由 (1)及题意,当F=×400=200时,L==3(m), ∴要加长3-1.5=1.5(m). 思考你能由此题,利用反比例函数知识解释: 为什么使用撬棍时,动力臂越长越省力? 联想物理课本上的电学知识告诉我们: 用电器的输出功率P(瓦)两端的电压U(伏)、用电器的电阻R(欧姆)有这样的关系PR=u2,也可写为P=. (三)应用迁移,巩固提高 例1在某一电路中,电源电压U保持不变,电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示. (1)写出I与R之间的函数解析式; (2)结合图象回答: 当电路中的电流不超过12A时,电路中电阻R的取值范围是什么? 【分析】由物理学知识我们知道: 当电压一定时,电流强度与电阻成反比例关系. 解: (1)设,根据题目条件知, 当I=6时,R=6,所以, 所以K=36,所以I与R的关系式为: I=. (2)电流不超过3A,即I=≥12,所以R≥3(Ω). 注意因为R>0,所以由≤12,可得R≥. 例2某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(千帕)是气球体积V(m3)的反比例函数,其图象如图所示(千帕是一种压强单位). (1)写出这个函数的解析式; (2)当气球体积为0.8m3时,气球内的气压是多少千帕? (3)当气球内的气压大于144千帕时,气球将爆炸,为了完全起见,气球的体积应不小于多少? 【分析】在此题中,求出函数解析式是关键. 解: 设函数的解析式为P=,把点A(1.5,64)的坐标代入,得k=96,所以所求的解析式为P=; (2)V=0.8m3时,P==120(千帕); (3)由题意P≤144(千帕),所以≤144,所以V≥=(m3)即气体的体积应不小于m3. 备选例题 1.(2005年中考变式·荆州)在某一电路中,电流I、电压U、电阻R三者之间满足关系I=. (1)当哪个量一定时,另两个量成反比例函数关系? (2)若I和R之间的函数关系图象如图,试猜想这一电路的电压是______伏. 2.(2005年中考·扬州)已知力F对一个物体作的功是15焦,则力F与此物体在力在方向上移动的距离S之间的函数关系式的图象大致是() 【答案】1. (1)当电压U一定时,电流I与电阻R成反比例函数关系, (2)10;2.B (四)总结反思,拓展升华 1.把实际问题中的数量关系,通过分析、转化为数学问题中的数量关系. 2.利用构建好的数学模型、函数的思想解决这类问题. 3.注意学科之间知识的渗透. (五)课堂跟踪反馈 夯实基础 1.在一定的范围内,某种物品的需求量与供应量成反比例.现已知当需求量为500吨时,市场供应量为10000吨,试求当市场供应量为16000吨时的需求量是312.5吨. 2.某电厂有5000吨电煤. (1)这些电煤能够使用的天数x(天)与该厂平均每天用煤吨数y(吨)之间的函数关系是y=; (2)若平均每天用煤200吨,这批电煤能用是25天; (3)若该电厂前10天每天用200吨,后因各地用电紧张,每天用煤300吨,这批电煤共可用是20天. 提升能力 3.一种电器的使用寿命n(月)与平均每天使用时间t(小时)成反比例,其关系如图所示. (1)求使用寿命n(月)与平均每天使用时间t(小时)之间的函数关系式是n=; (2)当t=5小时时,电器的使用寿命是96(月). 4.某人用50N的恒定压力用气筒给车胎打气. (1)打气所产生的压强P(帕)与受力面积S(米2)之间的
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