实际问题与一元二次方程-(含答案).doc

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实际问题与一元二次方程

列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步提高分析问题、解决问题的意识和能力。

在利用一元二次方程解决实际问题，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．主要学习下列两个内容：

1.列一元二次方程解决实际问题。

一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤：

审、设、列、解、验、答六个步骤，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程（组）的基础，找出相等关系是列方程（组）解应用题的关键.

2.一元二次方程根与系数的关系。

一般地，如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是和，那么．

知识链接

点击一：

列方程解决实际问题的一般步骤

应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程.概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案.一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：

（1）审：

是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系.

（2）设：

是在理清题意的前提下，进行未知量的假设（分直接与间接）.

（3）列：

是指列方程，根据等量关系列出方程.

（4）解：

就是解所列方程，求出未知量的值.

（5）验：

是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去.

（6）答：

即写出答案，不要忘记单位名称.

总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程（组）的基础，找出相等关系是列方程（组）解应用题的关键.

针对练习1:

某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2008年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（　）

A．300（1＋x）=363 B．300（1＋x）2=363

C．300（1＋2x）=363 D．363（1－x）2=300

点击二：

一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系。

一般地，如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是和，那么．

针对练习2:

先阅读，再填空解题：

（1）方程：

x2－x－2=0的根是：

x1=－3,x2=4，则x1+x2=1，x1·x2=12；

（2）方程2x2－7x+3=0的根是：

x1=,x2=3，则x1+x2=，x1·x2=；

（3）方程x2－3x+1=0的根是：

x1=,x2=.

则x1+x2=，x1·x2=；

根据以上

（1）

（2）（3）你能否猜出：

如果关于x的一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0且m、n、p为常数）的两根为x1、x2，那么x1+x2、x1、x2与系数m、n、p有什么关系？

请写出来你的猜想并说明理由.

.

典例精析

类型之一：

建立一元二次方程模型解应用题

例1甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度.

例2某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

类型之二：

一元二次方程的根的判别式的应用

例3阅读材料：

如果，是一元二次方程的两根，那么有.这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例如是方程的两根，求的值.解法可以这样：

则

.

请你根据以上解法解答下题：

已知是方程的两根，

求：

（1）的值；

（2）的值.

类型之三：

综合应用

例4.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．

（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？

（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．

①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？

②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？

达标练习：

1.如果一个不为零的数的平方等于这个数的两倍,那么这个数是（）

A.偶数B.奇数C.偶数或奇数D.不一定是整数

2.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是（）

A.x2+130x－1400=0B.x2+65x－350=0

C.x2－130x－1400=0D.x2－65x－350=0

3.恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率．

4.若是方程的两个实数根，则的值为（）

A．2005 B．2003 C．－2005 D．4010

随堂检测：

1.从一块正方形的铁片上剪掉2cm宽的长方形铁片，剩下的面积是48cm2，则原来铁片的面积是（）

A.64cm2B.100cm2C.121cm2D.144cm2

2.如图，某工厂直角墙角处，用可建60米长围墙的建筑材料围成一个矩形堆货场地，中间用同样的材料分隔成两间，问AB为多长时，所围成的矩形面积是450平方米？

3.某厂制造某种商品,原来每件产品的成本是100元,由于不断改进设备,提高生产技术,连续两次降低成本,两次降价后的成本是81元,则平均每次降低成本的百分率是（）

A.8.5%B.9%C.9.5%D.10%

4.某厂制造某种商品，原来每件产品的成本是100元，由于不断改进设备，提高生产技术，连续两次降低成本，两次降价后的成本是81元，则平均每次降低成本的百分率是（）

A.8.5%B.9%C.9.5%D.10%

5.已知、是方程的两个根，那么的值是（）

A.1B.5C.7D.

6.某两位数的十位数字是方程x2－8x=0的解，则其十位数是___________.

7.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元．请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

备选题目：

1.某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数.

2.已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元.

（1）甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？

（2）若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？

请说明理由.

3.有一根竹竿,不知道它有多长.把竹竿横放在一扇门前,竹竿长比门宽多4尺;把竹竿竖放在这扇门前,竹竿长比门的高度多2尺;把竹竿斜放,竹竿长正好和门的对角线等长.问竹竿长几尺?

课时作业：

A等级

1、某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%,若每年下降的百分数相同,则这个百分数为（）

A、10%B、20%C、120%D、180%

2、某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元,如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为（）

A、200（1+x）2=1000B、200+200×2x=1000

C、200+200×3x=1000D、200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000

3、某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为（）

A、20％B、30%C、50%D、120%

4、若两个连续整数的积是56,则它们的和是（）

A、±15B、15C、－15D、11

5、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。

某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是。

6、一种药品经过两次降价后,每盒的价格由原来的60元降至48.6元,那么平均每次降价的百分率是。

7、高温煅烧石灰石（CaCO3）可以制取生石灰（CaO）和二氧化碳（CO2）.如果不考虑杂质及损耗,生产石灰14吨就需要煅烧石灰石25吨,那么生产石灰224万吨,需要石灰石万吨。

8、解方程+=7时，利用换元法将原方程化为6y2—7y+2=0，则应设y=_____。

9、某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次。

设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为x，根据题意列出的方程是___________。

10、一条长64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形。

若两个正方形的面积和等于160cm2，则这两个正方形的边长分别为。

B等级

11.如果是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（）

A． B． C． D．

12.已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）＝0的根的情况是（）

A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根

C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根

13.若x＝1是一元二次方程x2＋x＋c＝0的一个解，则c2＝．

14.一元二次方程的根为　　　　。

15.已知x=1是关于x的一元二次方