高中数学常用公式及结论Word文档格式.docx

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原命题　　　　　　　互逆　　　　　　　逆命题

若p则q　　　　　　　　　　　　　　　若q则p

　　　　　　　互　　　　　　　互

　　互　　　　　　　　为　　　为　　　　　　　　互

　　否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否

　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　否　　　　　　否

否命题　　　　　　　　　　　　　　　逆否命题　　　

若非p则非q　　　　互逆　　　　　　若非q则非p

充要条件：

（1）、，则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；

（2）、，且q≠>

p，则P是q的充分不必要条件；

（3）、p≠>

p，且，则P是q的必要不充分条件；

4、p≠>

p，且q≠>

p，则P是q的既不充分又不必要条件。

7函数单调性:

增函数：

（1）、文字描述是：

y随x的增大而增大。

（2）、数学符号表述是：

设f（x）在xD上有定义，若对任意的，都有

成立，则就叫f（x）在xD上是增函数。

D则就是f（x）的递增区间。

减函数：

y随x的增大而减小。

成立，则就叫f（x）在xD上是减函数。

D则就是f（x）的递减区间。

单调性性质：

（1）、增函数+增函数=增函数；

（2）、减函数+减函数=减函数；

（3）、增函数-减函数=增函数；

（4）、减函数-增函数=减函数；

注：

上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。

复合函数的单调性：

函数单调

单调性

内层函数

↓

↑

外层函数

复合函数

等价关系：

（1）设那么

上是增函数；

上是减函数.

（2）设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；

如果，则为减函数.

8函数的奇偶性：

（注：

是奇偶函数的前提条件是：

定义域必须关于原点对称）

奇函数：

定义：

在前提条件下，若有，

则f（x）就是奇函数。

性质：

（1）、奇函数的图象关于原点对称；

（2）、奇函数在x>

0和x<

0上具有相同的单调区间；

（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0.

偶函数：

在前提条件下，若有，则f（x）就是偶函数。

（1）、偶函数的图象关于y轴对称；

（2）、偶函数在x>

0上具有相反的单调区间；

奇偶函数间的关系：

（1）、奇函数·

偶函数=奇函数；

（2）、奇函数·

奇函数=偶函数；

（3）、偶奇函数·

偶函数=偶函数；

（4）、奇函数±

奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）

（5）、偶函数±

（6）、奇函数±

偶函数=非奇非偶函数

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;

反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；

如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

9函数的周期性：

对函数f（x），若存在T0，使得f（x+T）=f（x），则就叫f（x）是周期函数，其中，T是f（x）的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式：

（1）、f（x+T）=-f（x），此时周期为2T；

（2）、f（x+m）=f（x+n），此时周期为2；

（3）、，此时周期为2m。

10常见函数的图像：

11对于函数（）,恒成立,则函数的对称轴是;

两个函数与的图象关于直线对称.

12分数指数幂与根式的性质：

（1）（，且）.

（2）（，且）.

（3）.

（4）当为奇数时，；

当为偶数时，.

13指数式与对数式的互化式:

.

指数性质：

（1）1、；

（2）、（）；

（3）、

（4）、；

（5）、；

指数函数：

（1）、在定义域内是单调递增函数；

（2）、在定义域内是单调递减函数。

指数函数图象都恒过点（0，1）

对数性质：

（1）、；

（2）、；

（3）、；

（5）、

（6）、；

（7）、

对数函数：

（2）、在定义域内是单调递减函数；

对数函数图象都恒过点（1，0）

（3）、

（4）、或

14对数的换底公式:

（,且,,且,）.

对数恒等式：

（,且,）.

推论（,且,）.

15对数的四则运算法则:

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

（1）;

（2）;

（3）;

（4）。

16平均增长率的问题（负增长时）：

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.

17等差数列：

通项公式：

（1），其中为首项，d为公差，n为项数，为末项。

（2）推广：

（3）（注：

该公式对任意数列都适用）

前n项和：

（1）；

其中为首项，n为项数，为末项。

（2）

（4）（注：

常用性质：

（1）、若m+n=p+q，则有；

若的等差中项，则有2n、m、p成等差。

（2）、若、为等差数列，则为等差数列。

（3）、为等差数列，为其前n项和，则也成等差数列。

（5）1+2+3+…+n=

等比数列：

（1），其中为首项，n为项数，q为公比。

（1）（注：

（2）（注：

（3）

若的等比中项，则有n、m、p成等比。

（2）、若、为等比数列，则为等比数列。

18分期付款（按揭贷款）：

每次还款元（贷款元,次还清,每期利率为）.

19三角不等式：

（1）若，则.

（2）若，则.

20同角三角函数的基本关系式：

，=，

21正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

22和角与差角公式

;

.

=

（辅助角所在象限由点的象限决定,）.

23二倍角公式及降幂公式

.

24三角函数的周期公式

函数，x∈R及函数，x∈R（A,ω,为常数，且A≠0）的周期；

函数，（A,ω,为常数，且A≠0）的周期.

三角函数的图像：

25正弦定理：

（R为外接圆的半径）.

26余弦定理：

;

27面积定理：

（1）（分别表示a、b、c边上的高）.

（2）.

28三角形内角和定理：

在△ABC中，有

29实数与向量的积的运算律:

设λ、μ为实数，那么：

（1）结合律：

λ（μ）=（λμ）;

（2）第一分配律：

（λ+μ）=λ+μ;

（3）第二分配律：

λ（+）=λ+λ.

30与的数量积（或内积）：

·

=||||。

31平面向量的坐标运算：

（1）设=,=，则+=.

（2）设=,=，则-=.

（3）设A，B,则.

（4）设=，则=.

（5）设=,=，则·

=.

32两向量的夹角公式：

（=,=）.

33平面两点间的距离公式：

=（A，B）.

34向量的平行与垂直：

设=,=，且，则：

||=λ.（交叉相乘差为零）

（）·

=0.（对应相乘和为零）

35线段的定比分公式：

设，，是线段的分点,是实数，且，则

（）.

36三角形的重心坐标公式：

△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.

37三角形五“心”向量形式的充要条件：

设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则

（1）为的外心.

（2）为的重心.

（3）为的垂心.

（4）为的内心.

（5）为的的旁心.

38常用不等式：

（1）（当且仅当a＝b时取“=”号）．

（2）（当且仅当a＝b时取“=”号）．

（3）

（4）.

（5）（当且仅当a＝b时取“=”号）。

39极值定理:

已知都是正数，则有

（1）若积是定值，则当时和有最小值；

（2）若和是定值，则当时积有最大值.

（3）已知，若则有

。

（4）已知，若则有

40一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；

如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：

同号两根之外，异号两根之间.即：

；

41含有绝对值的不等式：

当a>

0时，有

或.

42斜率公式：

（、）.

43直线的五种方程：

（1）点斜式（直线过点，且斜率为）．

（2）斜截式（b为直线在y轴上的截距）.

（3）两点式（）（、（））.

　两点式的推广：

（无任何限制条件！

）

（4）截距式（分别为直线的横、纵截距，）

（5）一般式（其中A、B不同时为0）.

直线的法向量：

，方向向量：

44夹角公式：

（1）.　（，,）

（2）.（,,）.

直线时，直线l1与l2的夹角是.

45到的角公式：

（1）.（，,）

直线时，直线l1到l2的角是.

46点到直线的距离：

（点,直线：

）.

47圆的四种方程：

（1）圆的标准方程.

（2）圆的一般方程（＞0）.

（3）圆的参数方程.

（4）圆的直径式方程（圆的直径的端点是、）.

48点与圆的位置关系：

点与圆的位置关系有三种：

若，则点在圆外;

点在圆上;

点在圆内.

49直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有三种（）:

50两圆位置关系的判定方法:

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，，则：

51椭圆的参数方程是.　离心率，

准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离（焦准距）。

过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：

52椭圆焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:

，；

53椭圆的的内外部:

（1）点在椭圆的内部.

（2）点在椭圆的外部.

54椭圆的切线方程:

（1）椭圆上一点处的切线方程是.

（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.

（3）椭圆与直线相切的条件是.

55双曲线的离心率，准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离（焦准距）。

过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：

焦半径公式，，

两焦半径与焦距构成三角形的面积。

56双曲线的方程与渐近线方程的关系:

（1）若双曲线方程为渐近线方程：

（2）若渐近线方程为双曲线可设为.

（3）若双曲线与有公共渐近线，可设为

（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.

（4）焦点到渐近线的距离总是。

57双曲线的切线方程:

（1）双曲线上一点处的切线方程是.

（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.

（3）双曲线与直线相切的条件是.

58抛物线的焦半径公式:

抛物线焦半径.

过焦点弦长.

59二次函数的图象是抛物线：

（1）顶点坐标为；

（2）焦点的坐标为；

（3）准线方程是.

60直线与圆锥曲线相交的弦长公式

（弦端点A，由方程消去y得到

为直线的倾斜角，为直线的斜率，.

61证明直线与平面的平行的思考途径:

（1）转化为直线与平面无公共点；

（2）转化为线线平行；

（3）转化为面面平行.

62证明直线与平面垂直的思考途径:

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；

（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；

（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。

63证明平面与平面的垂直的思考途径：

（1）转化为判断二面角是直二面角；

（2）转化为线面垂直；

（3）转化为两平面的法向量平行。

64向量的直角坐标运算：

设＝，＝则：

（1）＋＝；

（2）－＝；

（3）λ＝（λ∈R）；

（4）·

＝；

65夹角公式：

设＝，＝，则.

66异面直线间的距离：

（是两异面直线，其公垂向量为，是上任一点，为间的距离）.

67点到平面的距离：

（为平面的法向量，，是的一条斜线段）.

68球的半径是R，则其体积,其表面积．

69球的组合体：

（1）球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

（2）球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

（3）球与正四面体的组合体:

棱长为的正四面体的内切球的半径为

（正四面体高的）,外接球的半径为（正四面体高的）.

70分类计数原理（加法原理）：

分步计数原理（乘法原理）：

71排列数公式：

==.（，∈N*，且）．规定.

72组合数公式：

===（∈N*，，且）.

组合数的两个性质:

（1）=;

（2）+=.规定.

73二项式定理;

二项展开式的通项公式.

的展开式的系数关系：

；

74互斥事件A，B分别发生的概率的和：

P（A＋B）=P（A）＋P（B）．

个互斥事件分别发生的概率的和：

P（A1＋A2＋…＋An）=P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）．

75独立事件A，B同时发生的概率：

P（A·

B）=P（A）·

P（B）.

n个独立事件同时发生的概率：

P（A1·

A2·

…·

An）=P（A1）·

P（A2）·

P（An）．

76n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率：

77数学期望：

数学期望的性质

（1）.

（2）若～,则.

（3）若服从几何分布,且，则.

78方差：

标准差：

方差的性质：

（1）；

（2）若～，则.

方差与期望的关系：

79正态分布密度函数：

，

式中的实数μ，（>

0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.

对于，取值小于x的概率：

80在处的导数（或变化率）：

瞬时速度：

瞬时加速度：

81函数在点处的导数的几何意义：

函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.

82几种常见函数的导数：

（1）（C为常数）.

（2）.（3）.

（4）.　（5）；

（6）;

83导数的运算法则：

（1）.

（2）.（3）.

84判别是极大（小）值的方法：

当函数在点处连续时，

（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；

（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.

85复数的相等：

.（）

86复数的模（或绝对值）==.

87复平面上的两点间的距离公式：

（，）.

88实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程，

①若,则;

②若,则;

③若，它在实数集内没有实数根；

在复数集内有且仅有两个共轭复数根