圆的相关定理及其几何证明(含答案).docx
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圆的相关定理及其几何证明(含答案).docx
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圆的相关定理及其几何证明
典题探究
例1:
如图,圆是的外接圆,过点C作圆的切线交的延长线于点.若,,则线段的长是;圆的半径是.
例2:
如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E(E在A,O之间),,垂足为F.若,,则
例3:
如图已知与圆相切于,半径,交于,若,,则,.
例4:
如图,从圆外一点引圆的切线和割线,已知,,,则,圆的半径等于
演练方阵
A档(巩固专练)
1.如图,已知直线PD切⊙O于点D,直线PO交⊙O于点E,F.若,则⊙O的半径为;.
O
P
D
F
E
2.如图,与切于点,交弦的延长线于点,过点作圆的切线交于点.若,,则弦的长为_______.
3.如图:
圆O的割线PAB经过圆心O,C是圆上一点,PA=AC=AB,则以下结论不正确的是()
A.B.C.PC是圆O的切线D.
4.如图,已知是圆的直径,在的延长线上,切圆于点,于.若,,则圆的半径长为______;______.
5.如图所示,以直角三角形的直角边为直径作⊙,交斜边于点,过点作⊙的切线,交边于点.则.
6.如图,直线AM与圆相切于点M,ABC与ADE是圆的两条割线,且BD⊥AD,连接MD、
EC。
则下面结论中,错误的结论是()
A.∠ECA=90o
B.∠CEM=∠DMA+∠DBA
C.AM2=AD·AE
D.AD·DE=AB·BC
7.如图,切圆于点,为圆的直径,交圆于点,为的中点,且则__________;__________.
8.如图,切圆于点,割线经过圆心,,则,△的面积是
9.如图,为⊙的直径,切⊙于点,且过点的割线,交的延长线于点,若,,则,
10.如图,是⊙O上的四个点,过点B的切线与的延长线交于点E.若,则()
A.B.C.D.
B档(提升精练)
1.如图,已知⊙O的弦AB交半径OC于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD的长为______
2.如图,已知圆中两条弦与相交于点是延长线上一点,且,若与圆相切,且,则
3.如图,是半圆的直径,在的延长线上,与半圆相切于点,.若,,则______.
4.如图,是⊙的直径,直线切⊙于点,且与延长线交于点,若,,则=
5.如图,为⊙的直径,,弦交于点.若,,则_______
6.如图,是圆的切线,切点为,交圆于两点,,则=()
ABCD
7.如图所示,Rt△ABC内接于圆,,PA是圆的切线,A为切点,PB交AC于E,交圆于D.若PA=AE,PD=,BD=,则AP=,AC=
8.如图,以的边为直径的半圆交于点,交于点,于点,,,那么=,=.
9.如图,已知圆中两条弦与相交于点,与圆相切交延长线上于点,若,,则线段的长为
B
A
E
D
F
C
10.如图,直线与相切于点,割线经过圆心,弦⊥于点,,,则
C档(跨越导练)
1.如图,△是⊙的内接三角形,是⊙的切线,交于点,交⊙于点.若,,,,则_____;_____
2.如图,的直径与弦交于点,,则=______
3.如图,是圆的直径,于,且,为的中点,连接
并延长交圆于.若,则_______,_________
C
F
B
A
E
D
O
4.如图所示,AB是圆的直径,点C在圆上,过点B,C的切线交于点P,AP交圆于D,若AB=2,AC=1,则PC=______,PD=______
5.是圆O的直径,为圆O上一点,过作圆O的切线交延长线于点,若=,,则
6.如图,已知圆的半径为,从圆外一点引切线和割线,圆心到的距离为,,则切线的长为
O
A
D
B
C
7.如图,是半径为的圆的直径,点在的延长线上,是圆的切线,点在直径上的射影是的中点,则=;
8.如图,从圆外一点引圆的切线和割线,已知,,圆
心到的距离为,则圆的半径为_____
P
A
B
C
O
•
9.如图,是圆的直径,在的延长线上,切圆于点.已知圆半径为,,则______;的大小为______
O
A
B
P
D
C
•
10.如图,A,B,C是⊙O上的三点,BE切⊙O于点B,D是与⊙O的交点.若,则______;若,,则.
典题探究
例1:
答案:
1,2
解析:
已知,,由圆幂定理得,,所以,可以求出,而,取的中点E,连接OC和OE,则半径.
例2:
答案:
1
解析:
三角形CEF与三角形CBE相似,对应边成比例,所以,即,所以,而,所以,所以.
例3:
答案:
解析:
延长PO与圆O分别交于点D和点E,则,,由圆幂定理得,所以,过A点作交OP于点F,则,所以.
例4:
答案:
解析:
由圆幂定理得,所以,设AO与PC交于点D,延长AO交圆于E,则,所以,,所以,.
演练方阵
A档(巩固专练)
1:
答案:
解析:
由圆幂定理得,,,所以,,,所以,所以
2:
答案:
解析:
由圆幂定理得,所以,所以
3:
答案:
D
解析:
由圆幂定理得,所以,所以D选项错误
4:
答案:
半径
解析:
.所以,由三角形相似得,所以,所以,由圆幂定理得,所以,所以
5:
答案:
解析:
连接CD,AC是圆的直径,所以,BC经过半径OC的端点C,而且,所以是圆的切线,而DE是圆O的切线,所以EC=ED,所以,所以
6:
答案:
D
解析:
因为四边形BDEC是圆的内接四边形,所以,因为,所以,A正确;直线AM与圆相切,由弦切角定理得,而,所以,所以B正确;由圆幂定理得,所以选项C正确
7:
答案:
解析:
设,则根据圆幂定理得,而,所以,所以,所以,而,所以(
8:
答案:
解析:
由圆幂定理得,所以,所以,所以半径,所以正切值,所以三角形OBC的面积
9:
答案:
解析:
由圆幂定理得,所以,所以,而
10:
答案:
B
解析:
因为ABCD四点共圆,所以,而,所以,又因为BE与圆相切于点B,所以,所以选项B是正确的。
B档(提升精练)
1:
答案:
解析:
延长CD交圆于点E,由相交弦定理得,所以,求出,因为CD是小于4的,所以
2:
答案:
解析:
由相交弦定理得,所以,所以,所以,而,所以,所以
3:
答案:
解析:
设半径为R,连接OC,则由圆幂定理得,已知,而且,所以,所以,而,所以,
4:
答案:
解析:
由圆幂定理得,而AC=3,AB=2,所以OC=2,连接,则,在中,,,,所以,而在三角形BOD中,已知OB=OD,所以有,
5:
答案:
解析:
延长BO交圆于点D,连接DN,则,而,,由圆幂定理可得,所以,所以
6:
答案:
B
解析:
由圆幂定理可得,所以,,连接OA,所以三角形OPA是直角三角形,B是OP中点,所以,
7:
答案:
解析:
由圆幂定理可得,所以,,所以,所,
8.答案:
解析:
设圆心是O,半径为R,连接OE与AE,所以,所以,又因为,,所以是等边三角形,,,所以,所以,由圆幂定理得,所以
9.答案:
解析:
由圆幂定理得,而,所以,所以,所以,
10.答案:
解析:
由圆幂定理得,所以,所以,又因为,所以,所以
C档(跨越导练)
1:
答案:
解析:
依题意根据圆幂定理得,所以,,,,,所以,在三角形ADE中,,所以三角形APE是等边三角形,,所以,,而弦AC与BD相交于点E,所以,所以
2:
答案:
解析:
由相交弦定理,所以,,,所以,,连接OD,则有,所以,然后连接BD,则,由正弦定理得,所以,是锐角,所以
3:
答案:
解析:
已知,根据圆幂定理得,因为,所以,所以,所以,,所以,又因为,所以
4.答案:
解析:
连接,在中,,所以,,过点B和点C的切线交于点P,所以,所以,在中,,所以,由圆幂定理得,所以
5:
答案:
解析:
连结,AB是圆O的直径,,则,所以,所以,,所以半径,在中,
6:
答案:
解析:
已知圆O的半径,而圆心O到弦AC的距离等于,所以,又因为,,是圆O的切线,所以
,所以
7:
答案:
,
解析:
点A到BC上的射影E是OC的中点,所以,,又因为,所以,在中,因为,,所以,所以
8:
答案:
半径
解析:
已知PA与圆相切,而PBC是圆的割线,所以根据圆幂定理得到,又因为,,所以,又因为点O到弦BC的距离等于,所以半径
9:
答案:
,
解析:
连接OC,AB是圆的直径,点P在AB的延长线上,圆O的半径,,所以,,根据圆幂定理得,所以,在中,,,,所以,,所以
10:
答案:
,
解析:
已知是圆的一条切线,是弦切角,而且有与对应同一条弧,所以,所以根据圆幂定理有,已知,,所以,所以
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