圆与相似综合题的有关定理.doc
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圆和相似综合题有关定理
1、圆幂定理(在证明比例式、求线段长度时将发挥重要作用。
)
定理
图形
已知
结论
证法
相
交
弦
定
理
⊙O中,AB、CD为弦,交于点P。
PA·PB=PC·PD
连结AC、BD,
证:
△APC∽△DPB
切
割
线
定
理
⊙O中,PT切⊙O于点T,割线PB交⊙O于点A。
PT2=PA·PB
连结TA、TB,
证:
△PTB∽△PAT
割
线
定
理
PB、PD为⊙O的两条割线,交⊙O于A、C两点。
PA·PB=PC·PD
过P作PT切⊙O于T,
用两次切割线定理
2、托勒密定理:
圆内接四边形两组对边乘积之和,等于两条对角线的乘积。
已知:
四边形ABCD内接于圆,如图,求证:
AB·CD+BC·AD=AC·BD
证明:
在∠BAD内作∠BAE=∠CAD,交BD于E。
因∠ABE=∠ACD,所以△ABE∽△ACD,
从而得AB·CD=AC·BE①;
易证△ADE∽△ACB,
从而得BC·AD=AC·DE②;
①+②得AB·CD+BC·AD=AC(BE+DE)=AC·BD
3、弦切角定理:
顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角称为弦切角。
弦切角等于弦与切线所夹弧所对的圆周角。
弦切角定理的证明:
已知:
AP切⊙O于P,PQ是弦,则∠APQ是弦切角,∠APQ夹的弧是弧PQ,
弧PQ所对的圆周角记为∠PCQ
证明:
∠APQ=∠PCQ(弦切角的位置分以下三种情况)
1°圆心O在∠APQ外部
过P作直径BP,联结BC
则BP⊥AP,∠APB=90°,且∠BCP是直径BP所对的圆周角,∠BCP=90°
则有∠APB=∠BCP,即∠APQ+∠BPQ=∠BCQ+∠PCQ
由于∠BPQ,∠BCQ都是弧BQ所对的圆周角,所以∠BPQ=∠BCQ
所以∠APQ=∠PCQ
2°圆心O在∠APQ的一边,PQ上
此时PQ是直径,则PQ⊥AP,∠APQ=90°
而且∠PCQ是直径PQ所对的圆周角,∠PCQ=90°
所以∠APQ=∠PCQ
3°圆心O在∠APQ内部
过P作直径BP,联结BC
则BP⊥AP,∠APB=90°,且∠BCP是直径BP所对的圆周角,∠BCP=90°
则有∠APB=∠BCP
由于∠BPQ,∠BCQ都是弧BQ所对的圆周角,所以∠BPQ=∠BCQ
所以∠APB+∠BPQ=∠BCP+∠BCQ
即∠APQ=∠PCQ
2
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- 相似 综合 有关 定理