圆中有关定理.doc
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圆中有关定理.doc
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切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关的比例线段
1.切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度。
2.切线长定理
如图1对于切线长定理,应明确
(1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等;
(2)若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径;(3)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形;(4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补;(5)圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角(如图2):
顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角。
图2
图1
直线AB切⊙O于P,PC、PD为弦,图中几个弦切角呢?
(四个)ÐAPC,ÐAPD,ÐBPD,ÐBPC
4.弦切角定理:
弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
即如上图中ÐAPC=ÐCDP等
证明:
如图2,连接CD、OC、OP,因为ÐCPO=ÐPCO,所以ÐCOP=180°-2ÐCPO而ÐCPO=90°-ÐAPC,故ÐCOP=2ÐAPC,即ÐCDP=ÐAPC。
5.弄清和圆有关的角:
圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角。
6.遇到圆的切线,可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段
定理
图形
已知
结论
证法
相交弦定理
⊙O中,AB、CD为弦,交于P.
PA·PB=PC·PD
连结AC、BD,ÐC=ÐB,ÐA=ÐD,所以△APC∽△DPB
相交弦定理的推论
⊙O中,AB为直径,CD⊥AB于P.
PC2=PA·PB
用相交弦定理.
切割线定理
⊙O中,PT切⊙O于T,割线PB交⊙O于A
PT2=PA·PB
连结TA、TB,则∠PTA=∠B(弦切角等于同弧圆周角)所以△PTA∽△PBT,所以
PT2=PA·PB
切割线定理推论
PB、PD为⊙O的两条割线,交⊙O于A、C
PA·PB=PC·PD
过P作PT切⊙O于T,用两次切割线定理
圆幂定理
⊙O中,割线PB交⊙O于A,CD为弦
P'C·P'D=r2-OP'2
PA·PB=OP2-r2
r为⊙O的半径
延长P'O交⊙O于M,延长OP'交⊙O于N,用相交弦定理证;过P作切线用切割线定理勾股定理证
8.圆幂定理:
过一定点P向⊙O作任一直线,交⊙O于两点,则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||(R为圆半径),因为叫做点对于⊙O的幂,所以将上述定理统称为圆幂定理。
例1.如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。
在正方形内作半圆O,过A作半圆切线,切点为F,交CD于E,求DE:
AE的值。
图1
例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E,若AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,求CE。
图2
例3.已知PA是圆的切线,PCB是圆的割线,则________。
例4.如图3,P是⊙O外一点,PC切⊙O于点C,PAB是⊙O的割线,交⊙O于A、B两点,如果PA:
PB=1:
4,PC=12cm,⊙O的半径为10cm,则圆心O到AB的距离是___________cm。
图3
例5.如图4,AB为⊙O的直径,过B点作⊙O的切线BC,OC交⊙O于点E,AE的延长线交BC于点D,求证:
(1);
(2)若AB=BC=2厘米,求CE、CD的长。
图4
例6.如图5,AB为⊙O的直径,弦CD∥AB,AE切⊙O于A,交CD的延长线于E。
求证:
图5
例7.如图6,PA、PC切⊙O于A、C,PDB为割线。
求证:
AD·BC=CD·AB
图6
例8.如图7,在直角三角形ABC中,∠A=90°,以AB边为直径作⊙O,交斜边BC于点D,过D点作⊙O的切线交AC于E。
求证:
BC=2OE。
图7
例9.如图8,在正方形ABCD中,AB=1,是以点B为圆心,AB长为半径的圆的一段弧。
点E是边AD上的任意一点(点E与点A、D不重合),过E作所在圆的切线,交边DC于点F,G为切点。
当∠DEF=45°时,求证:
点G为线段EF的中点;
图8
【模拟试题】(答题时间:
40分钟)
一、选择题
1.已知:
PA、PB切⊙O于点A、B,连结AB,若AB=8,弦AB的弦心距3,则PA=()
A.20/3B.25/3C.5D.8
2.下列图形一定有内切圆的是()
A.平行四边形B.矩形
C.菱形D.梯形
3.已知:
如图1直线MN与⊙O相切于C,AB为直径,∠CAB=40°,则∠MCA的度数()
图1
A.50°B.40°C.60°D.55°
4.圆内两弦相交,一弦长8cm且被交点平分,另一弦被交点分为1:
4,则另一弦长为()
A.8cmB.10cmC.12cmD.16cm
5.在△ABC中,D是BC边上的点,AD=cm,BD=3cm,DC=4cm,如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点,那么DE长等于()
A.cmB.cmC.cmD.cm
6.PT切⊙O于T,CT为直径,D为OC上一点,直线PD交⊙O于B和A,B在线段PD上,若CD=2,AD=3,BD=4,则PB等于()
A.20B.10C.5D.
二、填空题
7.AB、CD是⊙O切线,AB∥CD,EF是⊙O的切线,它和AB、CD分别交于E、F,则∠EOF=_____________度。
8.已知:
⊙O和不在⊙O上的一点P,过P的直线交⊙O于A、B两点,若PA·PB=24,OP=5,则⊙O的半径长为_____________。
9.若PA为⊙O的切线,A为切点,PBC割线交⊙O于B、C,若BC=20,PA=,则PC的长为_____________。
10.正△ABC内接于⊙O,M、N分别为AB、AC中点,延长MN交⊙O于点D,连结BD交AC于P,则=_____________。
三、解答题
11.如图2,△ABC中,AC=2cm,周长为8cm,F、K、N是△ABC与内切圆的切点,DE切⊙O于点M,且DE∥AC,求DE的长。
图2
12.如图3,已知P为⊙O的直径AB延长线上一点,PC切⊙O于C,CD⊥AB于D,求证:
CB平分∠DCP。
图3
13.如图4,已知AD为⊙O的直径,AB是⊙O的切线,过B的割线BMN交AD的延长线于C,且BM=MN=NC,若AB=cm,求⊙O的半径。
图4
圆的有关定理例题答案
例1解:
由切线长定理知:
AF=AB=1,EF=CE
设CE为x,在Rt△ADE中,由勾股定理
∴,,
例2解:
由相交弦定理,得AE·BE=CE·DE
∵AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,
,
∴,
即
∴CE=3cm或CE=4cm。
故应填3或4。
点拨:
相交弦定理是较重要定理,结果要注意两种情况的取舍。
例3解:
∵∠P=∠P∠PAC=∠B,
∴△PAC∽△PBA,
∴,∴。
又∵PA是圆的切线,PCB是圆的割线,由切割线定理,得
∴,
即,故应填PC。
点拨:
利用相似得出比例关系式后要注意变形,推出所需结论。
例4解:
∵PC是⊙O的切线,PAB是⊙O的割线,且PA:
PB=1:
4∴PB=4PA又∵PC=12cm
由切割线定理,得
∴
∴,
∴
∴PB=4×6=24(cm)
∴AB=24-6=18(cm)
设圆心O到AB距离为dcm,
由勾股定理,得
故应填。
例5证明:
(1)连结BE
(2)
。
又∵,
∴厘米。
点拨:
有切线,并需寻找角的关系时常添辅助线,为利用弦切角定理创造条件。
例6证明:
连结BD,∵AE切⊙O于A,
∴∠EAD=∠ABD∵AE⊥AB,又AB∥CD,
∴AE⊥CD∵AB为⊙O的直径∴∠ADB=90°
∴∠E=∠ADB=90°∴△ADE∽△BAD
∴∴
∵CD∥AB
∴AD=BC,∴
例7点悟:
由结论AD·BC=CD·AB得,显然要证△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC
证明:
∵PA切⊙O于A,∴∠PAD=∠PBA
又∠APD=∠BPA,∴△PAD∽△PBA
∴同理可证△PCD∽△PBC
∴∵PA、PC分别切⊙O于A、C
∴PA=PC∴∴AD·BC=DC·AB
例8点悟:
由要证结论易想到应证OE是△ABC的中位线。
而OA=OB,只须证AE=CE。
证明:
连结OD。
∵AC⊥AB,AB为直径
∴AC为⊙O的切线,又DE切⊙O于D
∴EA=ED,OD⊥DE∵OB=OD,∴∠B=∠ODB
在Rt△ABC中,∠C=90°-∠B∵∠ODE=90°
∴
∴∠C=∠EDC∴ED=EC∴AE=EC
∴OE是△ABC的中位线∴BC=2OE
例9解:
由∠DEF=45°,得
,
∴∠DFE=∠DEF∴DE=DF
又∵AD=DC∴AE=FC
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