圆与二次函数难度题(含答案).doc
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水尾中学中考专项训练(压轴题)答案
1.(四川模拟)如图,Rt△ABC内接于⊙O,∠ACB=90°,AC=2,BC=1.以AC为一边,在AC的右侧作等边△ACD,连接BD,交⊙O于点E,连接AE,求BD和AE的长.
A
B
D
C
E
O
解:
过D作DF⊥BC,交BC的延长线于F
A
B
D
C
E
O
F
∵△ACD是等边三角形
∴AD=CD=AC=2,∠ACD=60°
∵∠ACB=90°,∴∠ACF=90°
∴∠DCF=30°,∴DF=CD=,CF=DF=3
∴BF=BC+CF=1+3=4
∴BD===
∵AC=2,BC=1,∴AB==
∵BE+DE=BD,∴+=BD
即+=
∴=-
两边平方得:
13-AE2=19+12-AE2-2
整理得:
=9,解得AE=
2.(四川模拟)已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,D为△ABC外接圆⊙O上的中点.
(1)如图1,P为的中点,求证:
PA+PC=PD;
(2)如图2,P为上任意一点,
(1)中的结论还成立吗?
请说明理由.
D
A
P
O
C
B
图2
D
A
P
O
C
B
图1
(1)证明:
连接AD
∵D为的中点,P为的中点
∴PD为⊙O的直径,∴∠PAD=90°
D
A
P
O
C
B
∵∠B=60°,∴∠APC=60°
∵D为的中点,∴∠APD=∠CPD=30°
∴PA=PD·cos30°=PD
∵P为的中点,∴PA=PC
∴PA+PC=PD
(2)成立
理由如下:
延长PA到E,使EA=PC,连接DE、AD、DC
则∠EAD+∠PAD=180°
D
A
P
O
C
B
E
H
∵∠PCD+∠PAD=180°
∴∠EAD=∠PCD
∵D为的中点,∴=
∴AD=CD
∴△EAD≌△PCD,∴ED=PD
过D作DH⊥PE于H
由
(1)知,∠APD=30°
∴PH=PD·cos30°=PD,PE=2PH=PD
∵PA+EA=PE,∴PA+PC=PD
3.(湖北模拟)如图,AB是⊙O的直径,PA、PC分别切⊙O于A、C,CD⊥AB于D,PB交CD于E.
C
A
B
D
O
P
E
(1)求证:
CE=DE;
(2)若AB=6,∠APC=120°,求图中阴影部分的面积.
(1)证明:
连接OP、OC、BC
∵PA、PC是⊙O的切线
C
A
B
D
O
P
E
∴PA=PC,∠PAO=∠PCO=90°
又PO=PO,∴Rt△PAO≌Rt△PCO
∴∠POA=∠POC,∴∠AOC=2∠POA
又∠AOC=2∠ABC,∴∠POA=∠ABC
又∠PAO=∠CDB=90°,∴△PAO≌△CDB
∴=
∵∠PAB=∠EDB=90°,∠PBA=∠EBD
∴△PAB≌△EDB,∴=
∵AB=2OA,∴==
∴CD=2ED,∴CE=DE
(2)解:
∵∠APC=120°,∠PAO=∠PCO=90°
∴∠AOC=60°,∴∠DCO=30°
∵AB=6,∴OA=OC=3
∴OD=OC·sin30°=,CD=OC·cos30°=
∴S阴影=S扇形AOC-S△DOC
=-××
=-
4.(上海模拟)如图,⊙O的半径为6,线段AB与⊙O相交于点C、D,AC=4,∠BOD=∠A,OB与⊙O相交于点E,设OA=x,CD=y.
A
B
D
C
E
O
(1)求BD的长;
(2)求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(3)当CE⊥OD时,求AO的长.
解:
(1)∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠OCA=∠ODB
A
B
D
C
E
O
∵∠BOD=∠A,∴△OBD∽△AOC,∴=
∵OC=OD=6,AC=4,∴=,∴BD=9
(2)∵△OBD∽△AOC,∴∠AOC=∠B
又∵∠A=∠A,∴△ACO∽△AOB,∴=
∵AB=AC+CD+BD=y+13,∴=
∴y=x2-13
∵0<y<8,∴0<x2-13<12,解得2<x<10
∴定义域为2<x<10
(3)∵OC=OE,CE⊥OD.∴∠COD=∠BOD=∠A
∴∠AOD=180º-∠A-∠ODC=180º-∠COD-∠OCD=∠ADO
∴AD=AO,∴y+4=x,∴x2-13+4=x
∴x=2±2(舍去负值)
∴AO=2±2
5.(北京模拟)如图,抛物线y=x2-2x与x轴负半轴交于点A,顶点为B,且对称轴与x轴交于点C.
(1)求点B的坐标(用含m的代数式表示);
(2)D为BO中点,直线AD交y轴于E,若点E的坐标为(0,2),求抛物线的解析式;
(3)在
(2)的条件下,点M在直线BO上,且使得△AMC的周长最小,P在抛物线上,Q在直线BC上,若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标.
A
B
C
O
y
x
备用图
A
B
C
D
O
y
x
E
解:
(1)∵y=x2-2x=(x-m)2-m
A
B
C
D
O
y
x
E
F
∴抛物线的顶点B的坐标为(m,-m)
(2)令x2-2x=0,解得x1=0,x2=m
∵抛物线y=x2-2x与x轴负半轴交于点A
∴A(m,0)且m<0.
过点D作DF^x轴于F
由D为BO中点,DF∥BC,可得CF=FO=CO
∴D=BC
由抛物线的对称性得AC=OC,∴=
A
C1
B
C
M
O
y
x
∵DF∥EO,∴△ADF∽△AEO,∴=
由E(0,2),B(m,-m),得OE=2,DF=-m
∴=,∴m=-6
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x
(3)依题意,得A(-6,0),B(-3,3),C(-3,0)
可得直线OB的解析式为y=-x,直线BC为x=-3
作点C关于直线BO的对称点C1(0,3),连接AC1交BO于M,则M即为所求
由A(-6,0),C1(0,3),可得直线AC1的解析式为y=x+3
由解得
∴点M的坐标为(-2,2)
A
C1
B
C
H
M
O
P
G
y
x
Q
由点P在抛物线y=-x2-2x上,设P(t,-t2-2t)
①当AM为平行四边形的一边时
如右图,过M作MG⊥x轴于G,过P作PH⊥BC于H
则xG=xM=-2,xH=xB=-3
可证△AMG≌△PQH,得PH=AG=4
∴t-(-3)=4,∴t=1
A
C1
B
C
H
M
O
P
G
y
x
Q
∴P1(1,-)
如右图,同理可得PH=AG=4
∴-3-t=4,∴t=-7
∴P2(-7,-)
②当AM为平行四边形的对角线时
如右图,过M作MH⊥BC于H,过P作PG⊥x轴于G
则xH=xB=-3,xG=xP=t
A
C1
B
C
H
M
O
P
G
y
x
Q
可证△APG≌△MQH,得AG=MH=1
∴t-(-6)=1,∴t=-5
∴P3(-5,)
综上,点P的坐标为P1(1,-),P2(-7,-),P3(-5,)
y
B
A
x
O
6.(上海模拟)已知:
如图,直线y=x-15与x轴、y轴分别相交于点A和点B,抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若该抛物线的顶点为点D,与x轴的另一个交点为点C,对称轴与x轴交于点H,求△DAC的面积;
(3)若点E是线段AD的中点,CE与DH交于点G,点P在y轴的正半轴上,△POH是否能够与△CGH相似?
如果能,请求出点P的坐标;如果不能,请说明理由.
解:
(1)由题意,得A(15,0),B(0,-15)
∵抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点
∴解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+6x-15
(2)∵y=-x2+6x-15=-(x-9)2+12
∴顶点D的坐标为(9,12)
y
B
A
x
O
P1
P2
O
E
G
H
C
设y=0,则-(x-9)2+12=0
∴(x-9)2=36,∴x1=3,x2=15
∴C(3,0),∴AC=15-3=12
∴S△DAC=AC·DH=×12×12=72
(3)∵点E是线段AD的中点,点H是线段AC的中点
∴点G是△DAC的重心.,∴GH=DH=4
①若=,则△HPO∽△CGH
∴=,∴PO=6
∴P1(0,6)
②若=,则△PHO∽△CGH
∴=,∴PO=
∴P2(0,)
∴△POH能够与△CGH相似,此时点P的坐标为P1(0,6)或P2(0,)
7.(四川成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+m(m为常数)的图象与x轴交于点A(-3,0),与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)经过A,C两点,并与x轴的正半轴交于点B.
(1)求m的值及抛物线的函数表达式;
(2)设E是y轴右侧抛物线上一点,过点E作直线AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使得以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积;若不存在,请说明理由;
(3)若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点,过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1(x1,y1),M2(x2,y2)两点,试探究是否为定值,并写出探究过程.
O
A
B
x
y
C
x=1
解:
(1)∵一次函数y=x+m的图象与x轴交于点A(-3,0)
∴×(-3)+m=0,解得m=
∴点C的坐标是(0,)
∵抛物线y=ax2+bx+c经过A,C两点,且对称轴为直线x=1
∴解得
∴抛物线的函数表达式为y=-x2+x+
(2)假设存在点E,使得以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形
(ⅰ)当CE∥AF时,点E在x轴上方,yE=yC=
由-x2+x+=,解得x1=0(舍去),x2=2
O
A
B
x
y
C
x=1
F1
E1
E2
F2
H
∴E1(2,),此时S□ACE1F1=2×=
(ⅱ)当AE∥CF时,点E在x轴下方,yE=-yC=-
由-x2+x+=-,解得x1=1+,x2=1-(舍去)
∴E2(1+,-)
过E2作E2H⊥x轴于H,则△E2HF2≌△COA
∴HF2=AO=3,AF2=7+
∴S□ACF2E2=2S□ACF2=AF2·CO=
综上所述,存在符合条件的点E1(2,),E2(1+,-),使得以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形,相应的面积分别是,
(3)方法一:
∵A,B两点关于抛物线的对称轴x=1对称
∴AP+CP=BP+CP≥BC
O
A
B
x
y
C
x=1
M1
N1
M2
N2
∴当C、P、B三点在一条直线上时,△ACP的周长取得最小值
此时点
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