图形变换平移.习题集(2014-2015).doc
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图形变换平移.习题集(2014-2015).doc
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平移
课堂练习
一、简单平移
【例1】在方格中,将图1中的图形平移后位置如图2所示,则图形的平移方法中,正确的是().
A.向下移动格 B.向上移动格 C.向上移动格 D.向下移动格
(2013广东广州中考)
【答案】D
【解析】观察图形可知,平移的方法是将图形向下移动格.故选D.
【例2】下列图形中可以由一个基础图形通过平移变换得到的是().
A. B. C. D.
(2012石景山一模)
【答案】B
【例3】如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,等边三角形经过平移或轴对称或旋转都可以得到.沿轴向右平移得到,则平移的距离是__________个单位长度.
(2014初三上房山期末)
【答案】.
【例4】如图,方格纸中的每个小方格都是边长为的正方形,我们把以格点间连线围边的三角形称为格点三角形,图中的就是格点三角形,在建立平面直角坐标系后,点的坐标为.把向左平移格后得到,画出的图形并直接写出的坐标为__________.
(2014初三上八中期中)
【答案】如图所示,;
【例5】如图,在由小正方形组成的的网格中,点、和四边形的顶点都在格点上.平移四边形,使其顶点与点重合,画出平移后的图形.
【答案】略
【例6】在图示的方格纸中.
()画出关于对称的图形;
()说明是由经过怎样的平移得到的?
(2013初二上人大附期中)
【答案】()如图所示:
()观察图象可知,可由先向下平移个单位,再向右平移个单位得到;也可由先向右平移个单位,再向下平移个单位得到.
二、平移与操作
【例7】操作探究:
一动点沿着数轴向右平移个单位,再向左平移个单位,相当于向右平移个单位.用实数加法表示为.
若平面直角坐标系中的点作如下平移:
沿轴方向平移的数量为(向右为正,向左为负,平移个单位),沿轴方向平移的数量为(向上为正,向下为负,平移个单位),则把有序数对叫做这一平移的“平移量”.规定“平移量”与“平移量”的加法运算法则为.
(1)计算:
;
(2)若一动点从点出发,先按照“平移量”平移到点,再按照“平移量”平移到点;最后按照“平移量”平移到点,在图中画出四边形,并直接写出点的坐标;
(3)将
(2)中的四边形以点为中心,顺时针旋转,点旋转到点,连结.若动点从点出发,沿的三边、、平移一周.请用“平移量”加法算式表示动点的平移过程.
(2013丰台二模)
【答案】
(1);
(2)①如图所示:
②;
(3).
y
x
B
A
C
D
O
1
1
【例8】已知线段、、、、、..且.求证:
.
【答案】可以把平移到,把平移到,显然可以构成一个边长为的等边三角形.从而.
【例9】如图,已知的面积为,.现将沿直线向右平移个单位到的位置.
()当时,求所扫过的面积;
()连结、,设,当是以为一腰的等腰三角形时,求的值.
(2011怀柔二模)
【答案】()设与交于点,则
∵,为中点为中点.
又∵,
∴.
∴所扫过面积.
()①当时,.
②当时,取中点,则.
∵,
∴.
∴.
∴.
在中,
.
此时,
综上可知,或.
【例10】如图,一个横截面为的物体,,,米,师傅要把此物体搬到墙边,先将边放在地面(直线上),再按顺时针方向绕点翻转到的位置(在上),最后沿射线的方向平移到的位置,其平移距离为线段的长度(此时,恰好靠在墙边).
()直接写出、的长;
()画出在搬动此物体的整个过程中点所经过的路径,并求出该路径的长度.
(2011昌平二模)
【答案】()米,米.
()点的路径如图中的粗线所示,路径长为米.
三、平移与几何证明
【例11】在正方形中,、、三边上分别有点、、,且.求证:
.
【答案】略
【例12】是的中线,是的中点,的延长线交于.求证:
.
【答案】取的中点,连接易得,为的中点,
所以,从而可证得:
.
【例13】如图,已知
(1)请你在边上分别取两点、(的中点除外),连结、,写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件,并表示出面积相等的三角形;
(2)请你根据使
(1)成立的相应条件,证明.
【答案】
(1)如图
(1)相应的条件是:
;
两对面积相等的三角形分别是:
和,和.
(2)(方法1):
如图
(2),分别过点、作、的平行线,两线交于点,与交于点.
所以,
在和中,又,可证
所以,
在中,
在中,,所以
即,所以
(方法2):
如图(3)取中点,连结并延长至,,
连结,,延长交于,可证得,
所以,,在中,
在中,,所以
所以,即
所以
【例14】如图所示,两条长度为的线段和相交于点,且,求证:
.
【答案】考虑将、和集中到同一个三角形中,以便运用三角形的不等关系.
作且,则四边形是平行四边形,从而.
(教师可告诉学生:
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形),
在中可得,
即.
由于,,
所以是等边三角形,故,所以.
【例15】已知:
矩形内有定点,试证:
.
【答案】过点、点分别作、的平行线,交于点,连接,,交于点.
∵∥,∥(根据定义可知其为平行四边形)
∴,
∵,
∴,(一组对边平行且相等的四边形为平行四边形或用全等知识解决)
∴为平行四边形,∴
∵
∴,,,
∴
【例16】如图所示,在六边形中,,,,,,.又知对角线,厘米,厘米.请你回答:
六边形的面积是多少平方厘米?
【答案】本题初看似乎无法下手求解,但仔细观察,题中彼此平行且相等的线段有三组,于是我们可将图形平移,使其拼成一个长方形,且、厘米、厘米的条件可以得到利用.为此,如图所示,将平移到的位置;将平移到的位置,则长方形的面积等于六边形的面积.易知长方形的面积等于(平方厘米),所以,六边形的面积是432平方厘米.
【例17】已知:
AB,CD交于E,AB、CD夹锐角为45°,若∠B+∠C=225°,AC=3,DB=4,AB=5,求DC.
【答案】平移使的对应点为.
【例18】如图,在等腰△ABC中,延长边到点,延长边到点,连接,恰有.求证:
.
【答案】平移使的对应点为.
【例19】如图所示,在中,,为上的一点,且;为上的一点,且.连接、交于点,求证:
.
【答案】如图所示,过点作且使.
连接,则为平行四边形,
所以,.
又因为,
连接,则,
故.
而,
因此,
则,,
所以为等腰直角三角形.
因为,
故.
【例20】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为CA,CB延长线上的点,AE与BD相交于点F.
A
C
B
(1)若BE=AC,AD=CE,求∠AFD的度数;
(2)若BE=AC,AD=CE,求∠AFD的度数.
【答案】
(1)将CA平移到EG,连接AG、BG、DG、EG,则四边形ACEG是平行四边形A
C
B
E
D
F
G
O
又∵∠C=90°,∴四边形ACEG是是矩形
∴∠CAG=∠AGE=∠BEG=90°,AG=CE=AD
又∵EG=AC=BE,∴△ADG和△EBG都是等腰直角三角形
∴∠AGD=∠BGE=45°,∴∠DGB=∠AGE=90°
又∵==,∴△DGB∽△AGE
A
C
B
E
D
F
G
O
∴∠BDG=∠EAG
设AG与BD相交于点O,则∠AOF=∠DOG
∴∠AFD=∠AGD=45°
(2)∠AFD=30°,解法同
(1)
(选讲)
【例21】图是李晨在一次课外活动中所做的问题研究:
他用硬纸片做了两个三角形,分别为和,其中,,,,,.将的斜边与的斜边重合在一起,并将沿方向移动.在移动过程中,、两点始终在边上(移动开始时点与点重合).
(1)请回答李晨的问题:
若,则__________;
(2)如图,李晨同学连接,编制了如下问题,请你回答:
①的最大度数为__________;
②当时,__________;
③当以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形,且为斜边时,__________;
④的面积的取值范围是__________.
[
(2014昌平一模)
【答案】
(1)是等腰直角三角形,,,,.
(2)①,当且仅当点与点重合时,有最大值.
②过点作交于.
依题可知,为等腰直角三角形,为的直角三角形,,,,,,.
③设,,
,
解得,.
④,,.
【例22】阅读下列材料:
已知:
如图,在中,,,,为边上的一动点,以,为边构造平行四边形,求对角线的最小值及此时的值是多少.
在解决这个问题时,小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识:
端点分别在两条平行线上的所有线段中,垂直于平行线的线段最短.
进而,小明构造出了如图的辅助线,并求得的最小值为.
参考小明的做法,解决以下问题:
(1)继续完成阅读材料中的问题:
当的长度最小时,__________;
(2)如图,延长到点,使=(为大于的常数).以,为边作平行四边形,那么对角线的最小值为__________,此时__________;
(3)如图,如果为边上的一动点,延长到点,使(为大于的常数),以,为边作平行四边形,那么对角线的最小值为_______,此时______.
(2014丰台二模)
【答案】
(1);
(2),;
(3),.
【例23】在中,,,将线段绕点逆时针旋转得到线段,再将线段平移到,使点在上,点在上.
(1)如图,直接写出和的度数;
(2)在图中,证明:
;
(3)如图,连接,判断的形状并加以证明.
(2014顺义二模)
【答案】
(1),.
(2)证明:
连结、.
∵线段绕点逆时针旋转得到线段,
∴,.
∴是等边三角形.
∴.
∵线段平移到,
∴,.
∴四边形是平行四边形,.
∵,,
∴.
∴
∴,.
∴.
∵,
∴.
∴.
∴.
∴.
(3)解:
是等腰直角三角形.
证明:
过点作于,
∵,
∴.
∴.
∵,,
∴.
∵,
∴.
∴.
∴为的中点.
∴为的垂直平分线.
∴.
∴.
∴是等腰直角三角形.
【例24】在平面直角坐标系中,已知点,点,点在上,且.
()如图①,求点的坐标;
()如图②,将沿轴向右平移得到,连接、.
①设,其中,试用含的式子表示,并求出使取得最小值时点的坐标;
②当取得最小值时,求点的坐标(直接写出结果即可).
(2013天津中考)
【答案】()∵点,点,
∴,.
∵,,
∴,
∴,即,解得,
∴点的坐标为;
()①如图,连接.
由题设知(),则.
在中,由,得.
∵是沿轴向右平移得到的,
∴,且.
∴,.
又,
∴在中,,
∴.
当时,可以取得最小值,
此时,点的坐标是.
②如图,过点作,并使.
易证,
∴,
∴.
当点、、在同一条直线上时,最小,
即此时取得最小值.
易证,
∴,
∴,
∴,
∴点的坐标是.
【例25】已知,是直线上的点,.
(1)如图,过点作,并截取,连接、、,判断的形状并证明;
(2)如图,是直线上的一点,直线、相交于点,,求证:
.
(2014朝阳二模)
【答案】
(1)是等腰直角三角形.
证明:
∵,,
∴.
∵,,
∴.
∴.
.
∵,
∴.
即.
∴是等腰直角三角形.
(2)过点作,并截取,连接、.
∵,,
∴.
∵,,
∴.
∴,.
∵,
∴.
即.
∴是等腰直角三角形.
∴.
∴.
∵,,
∴.
∴四边形是平行四边形.
∴.
∴.
【例26】在中
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