因式分解辅导精品资料.doc
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一、基本知识点:
1、因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
【说明】
(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即互逆的运算.
例如:
(2)因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.
2提公因式法
多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法.
例如:
x2-x=x(x-1),8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1).
知识点巩固练习
下列变形是否是因式分解?
为什么,
(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x);
(2)x2-2x+3=(x-1)2+2;
(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1);
(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.
3公式法分解因式
(1)平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b).
即两个数的平方差,等于这两个数的和与这个数的差的积.
例如:
4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).
(2)完全平方公式:
a2±2ab+b2=(a±b)2.
其中,a2±2ab+b2叫做完全平方式.
即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.
例如:
4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.
知识点巩固练习
下列变形是否正确?
为什么?
(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y);
(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2;
(3)x2-2x-1=(x-1)2.
典型例题
例1、分解因式
(1)4x2-9
(2)(x+p)2-(x+q)
(3)x4-y4(4)a3b-ab
针对性练习
把下列各式分解因式
(1)36(x+y)2-49(x-y)2
(2)(x-1)+b2(1-x)
(3)(x2+x+1)2-1(4)-
例2、把下列各式分解因式.
(1)m2+2m+1;
(2)9x2-12x+4;
(3)1-10x+25x2; (4)(m+n)2-6(m+n)+9.
针对性练习
把下列各式分解因式.
(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1;
(2)(x+y)2-4(x+y-1).
(3)x3-2x2+x; (4)(a+b)2-4a2; (5)x4-81x2y2;
(6)x2(x-y)+y2(y-x); (7)(a+b+c)2-(a-b-c)2.
例3、利用因式分解计算下列各题.
(1)234×265-234×65;
(2)992+198+1.
针对性练习
利用因式分解计算下列各题.
(1)7.6×199.9+4.3×199.9-1.9×199.9;
(2)20022-4006×2002+20032;
(3)5652×11-4352×11;(4)(5)2-
(2)2.
例4、若9x2+kxy+36y2是完全平方式,则k=.
练习若x2+(k+3)x+9是完全平方式,则k=.
补充几种分解因式的方法:
1、分组分解法
(1)形如:
am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(m+n)(a+b)
(2)形如:
x2-y2+2x+1=(x2+2x+1)-y2
=(x+1)2-y2
=(x+y+1)(x-y+1).
把多项式进行适当的分组,分组后能够有公因式或运用公式,这样的因式分解方法叫做分组分解法.
分组分解法是因式分解的基本方法,体现了化整体为局部,又统揽全局的思想,如何恰当分组是解题的关键,常见的分组方法有:
(1)按字母分组;
(2)按次数分组;
(3)按系数分组.
典型例题
例:
把下列各式因式分解.
(1)am+bm+an+bn;
(2)x2-y2+x+y;(3)2ax-5by+2ay-5bx.
2、关于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解又称为“十字相乘法”
典型例题
例:
把x2+3x+2分解因式.
针对性练习
例1、把下列各式分解因式.
(1)x2+7x+10;
(2)x2-2x-8;
(3)y2-7y+10; (4)x2+7x-18.
例2、解方程组
针对性练习
1、把下列各式分解因式.
(1)m2-7m+12;
(2)x2y2-3xy-10;
(3)(m-n)2-(m-n)-12; (4)x2-xy-2y2.
2、解方程组
3、若a,b,c是三角形的三边,且满足关系式a2+b2+c-ab-ac-bc=0,试判断这个三角形的形状.
二、课前小测试:
三、提高练习:
1、计算.
2、分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10.
3、求证:
四个连续自然数的积再加上1,一定是一个完全平方数.
四、课后练习
A组
1.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式,则m的值等于()
A.3 B.-5 C.7. D.7或-1
2.若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n的值是()
A.2 B.4 C.6 D.8
3.把(a+b)-4(a2-b2)+4(a-b)2分解因式的结果是()
A.(3a-b)2 B.(3b+a)2 C.(3b-a)2 D.(3a+b)2
4.把(5x-2y)2+(2x+5y)2分解因式为()
A.2(5x-2y)2 B.-2(5x-2y)2C.29(x2+y2) D.以上都不对
5.若多项式x2+pxy+qy2=(x-3y)(x+3y),则p,q的值依次为()
A.-12,-9 B.-6,9 C.-9,-9 D.0,-9
6.分解因式:
4x2-9y2=.
7.利用因式分解计算:
=.
8.若x=3.2,y=6.8,则x2+2xy+y2=.
9.把多项式4-4(a-b)+(a-b)2分解因式的结果是.
10.计算:
12-22+32-42+52-62+72-82+92-102=.
11.分解因式.
(1)(x+y)2-9y2;
(2)a2-b2+a+b;(3)10b(x-y)2-5a(y-x)2;
(4)(ab+b)2-(a+1)2;(5)(a2-x2)2-4ax(x-a)2;(6)(x+y+z)2-(x-y+z)2.
12.已知x-y=1,xy=2,求x3y-2x2y2+xy3的值.
13.已知x-y=2,x2-y2=6,求x与y的值.
14.利用因式分解计算19992+1999-20002.
15.解方程(65x+63)2-(65x-63)2=260.
16.已知a,b,c是△ABC的三边,且满足关系式a2+c2=2ab+2bc-2b2,试说明△ABC是等边三角形.
17.当a,b为何值时,多项式a2+b2-4a+6b+18有最小值?
并求出这个最小值.
18、利用分组分解法把下列各式分解因式.
(1)a2-b2+a-b;
(2)a2+b2-2ab-1;
(3)(ax+by)2+(ay-bx)2; (4)a2-2ab+b2-c2-2c-1.
B组
1.下列各单项式中,与是同类项的为()
A.B.C.D.
2.的计算结果是()
A.B.C.D.
3.下面是某同学在一次作业中的计算摘录:
①;②;③;
④;⑤;⑥
其中正确的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.下列分解因式正确的是()
A.B.
C.D.
5.若为整数,则一定能被()整除
A.B.C.D.
6.如图:
矩形花园中花园中建有一条矩形道路及一条平行四边形道路.若,则花园中可绿化部分的面积为()
A.B.
C.D.
7.从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形,如图,然后将剩余部分剪后拼成一个矩形,上述操作所能验证的等式是( )
A. B.
C. D.
8.小亮从一列火车的第m节车厢数起,一直数到第2m节车厢,他数过的车厢节数是………………()
A.m+2m=3m B.2m-m=m
C.2m-m-1=m-1 D.2m-m+1=m+1
9.;
10.多项式加上一个单项式后,能成为一个完全平方式,那么加上的单项式可能是.
11.分解因式:
=________________.
12.如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么a+b的值为.
13._______.
14.如图,要给这个长、宽、高分别为x、y、z的箱子打包,其打包方式如图所示,则打包带的长至少要.(用含x、y、z的代数式表示).
15.(17分)计算:
①②
③已知:
,求的值
16.分解因式(①,②每题6分,③题分8分)
① ②
③(8分)
17.(7分)把20cm长的一根铁丝分成两段,将每一段围成一个正方形,如果这两个正方形的面积之差是5cm2,求这两段铁丝的长.
18.(8分)探索:
......
①试求的值
②判断的值的个位数是几?
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