上海高考数学填选难题解析Word格式.docx
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215
17.(理)记方程①:
x2+a1x+1=0;
方程②:
x2+a2x+1=0;
方程③:
x2+a3x+1=0;
其中a1、a2、a3是正实数,当a1、a2、a3成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无实数根的是()
A.方程①有实根,且②有实根B.方程①有实根,且②无实根
C.方程①无实根,且②有实根D.方程①无实根,且②无实根
【解析】A选项,方程①有实根说明a2≥4,方程②有实根说明a2≥4,并不能推出是递
12
增还是递减,也就无法得出a2<
4;
B选项,a2≥4,a2<
4,说明递减,则a2<
4,
3123
可推出方程③无实数根;
C、D选项同理分析,均不对,故选B;
17.(文)已知点A的坐标为(
1),将OA绕坐标原点O逆时针旋转
至OB,则B点纵坐标为()
33531113
A.B.C.D.
2222
【解析】设∠AOx=
,∴sin=1,cos=43,
77
∴,根据题意,B点纵坐标可表示为7sin(+),
3
∴7sin(+
)=7sin⋅1+7cos⋅3=13
3222
n*
18、设
是直线
(
)与圆
在第一象限的交点,则极限
()
A.
B.
C.
D.
【解析】当n→∞时,直线方程趋近于2x-y=1,与圆x2+y2=2在第一象限的交点逐
渐靠近(1,1),而yn-1可看作点P(x,y)与点(1,1)连线的斜率,这两个点是越来越靠近
xn-1
的,它的斜率会逐渐接近圆x2+y2=2在点(1,1)处的切线的斜率,斜率为-1,故选A;
2014年
13.某游戏的得分为1、2、3、4、5,随机变量
表示小白玩该游戏的得分,若E(
)=4.2,则小白得5分的概率至少为;
【解析】设得i分的概率为pi,∴p1+2p2+3p3+4p4+5p5=4.2,
且p1+p2+p3+p4+p5=1,∴4p1+4p2+4p3+4p4+4p5=4,与前式相减得:
-3p1-2p2-p3+p5=0.2,∵pi≥0,∴-3p1-2p2-p3+p5≤p5,即p5≥0.2
14.已知曲线C:
x=-
4-y2,直线l:
x=6,若对于点A(m,0),存在C上的点P和l上
的Q使得AP+AQ=0,则m的取值范围为;
x+x
【解析】根据题意,A是PQ中点,即m=PQ
=xP+6,∵-2≤x
≤0,∴m∈[2,3]
22P
17.已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和
⎧ax+by=1
y的方程组⎨11的解的情况是()
⎩a2x+b2y=1
A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解
C.存在k,P1,P2,使之恰有两解D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解
a1b1
【解析】由已知条件b1=ka1+1,b2=ka2+1,D=
=a1b2-a2b1=a1(ka2+1)-
a2(ka1+1)=a1-a2≠0,∴有唯一解,选B;
⎧(x-a)2,
⎪
x≤0
18.设f(x)=⎨1
,若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为()
⎪x++a,
x>
0
⎩x
A.[-1,2]
B.[-1,0]
C.[1,2]D.[0,2]
【解析】先分析x≤0的情况,是一个对称轴为x=a的二次函数,当a<
0时,
f(x)min=
f(a)≠
f(0),不符合题意,排除AB选项;
当a=0时,根据图像f(x)min=
f(0),
即a=0符合题意,排除C选项;
∴选D;
解这类题要熟悉图像,找出关键区别点;
2013年
13.在xOy平面上,将两个半圆弧(x-1)2+y2=1(x≥1)和(x-3)2+y2=1(x≥3)、两条直线y=1和y=-1围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D绕y轴旋转一周而
成的几何体为Ω.过(0,y)(|y|≤1)作Ω的水平截面,所得截面面积为
试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为.
【解析】题目中已经给出截面面积为4
1-y2+8;
所以根据祖暅原理,构造一个平放的圆柱和一个长方体(题中有提示,如下图所示),圆柱的底面半径为1,高为2,长方体底面积为8,高为2;
所以当用同一个平面去截下图三个几何体,圆柱的截面为长方形,
长是2,宽是21-y2,所以面积为4
1-y2,长方体的截面面积始终是8,根据祖
暅原理,该圆柱和长方体的体积之和即我们所求几何体的体积,易求得体积为22+16;
14.(理)对区间I上有定义的函数g(x),记g(I)={y|y=g(x),x∈I},定义域为[0,3]的
函数y=f(x)有反函数y=
f-1(x),且f-1([0,1))=[1,2),f-1((2,4])=[0,1),若方程
f(x)-x=0有解x0,则x0=;
【解析】根据已知条件f-1([0,1))=[1,2),
f-1((2,4])=[0,1),可知f([1,2))=[0,1),
f([0,1))=(2,4],推出f([2,3])⊆[1,2],
画出如右示意图,若有解,只能x0=2;
14.(文)已知正方形ABCD的边长为1.记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为a1、
a2、a3;
以C为起点,其余顶点为终点的向量分别为c1、c2、c3.若i,j,k,l∈{1,2,3},
且i≠
j,k≠l,则(ai+aj)⋅(ck+cl)的最小值是.
【解析】(ai+aj)⋅(ck+cl)=|ai+aj|⋅|ck+cl|⋅cos,如下图所示,当夹角为,
|ai+aj|=|ck+cl|=
5时,取得最小值-5;
n
17.在数列{an}中,an=2
-1,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素ci,j=
ai⋅aj+ai+aj(i=1,2,,7;
j=1,2,,12),则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为()
A.18B.28C.48D.63
【解析】ci,j=ai⋅aj+ai+aj=(ai+1)(aj+1)-1=2
i+j
-1,根据已知条件i=1,2,,7,
j=1,2,,12,∴i+j=2,3,,19,∴可以取到18个不同数值,选A;
18.(理)在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为a1、a2、a3、a4、a5;
以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为d1、d2、d3、d4、d5,若m、M分别为(ai+aj+ak)⋅(dr+ds+dt)的最小值、最大值,其中{i,j,k}
⊆{1,2,3,4,5},{r,s,t}⊆{1,2,3,4,5},则m、M满足()
A.m=0,M>
C.m<
0,M=0
B.m<
0,M>
D.m<
0,M<
【解析】因为点A、点D是六边形正相对的点,∴a1、a2、a3、a4、a5中任三个向量
的合向量与d1、d2、d3、d4、d5中任三个向量的合向量的大致方向是相反的(至少夹角为钝角),所以数量积是负值;
选D;
这类题目,与其说是考计算,不如说是考数学感觉;
18.记椭圆
=1围成的区域(含边界)为Ωn(n=1,2,…),当点(x,y)分别在Ω1,Ω2,…上时,x+y的最大值分别是M1,M2,…,则
=( )
A.0B.
`C.2D.
答案:
D 椭圆方程为:
,
联立
x2+(u-x)2=4
2x2-2ux+u2-4=0
Δ=4u2-8(u2-4)≥0
u2-2(u2-4)≥0
8≤u2
u
[
],所以x+y的最大值为
,选D.
(2010年11题)将直线l1:
nx+y-n=0、l2:
x+ny-n=0(n∈N
的封闭区域的面积记为Sn,则limSn=;
n→∞
*)、x轴、y轴围成
yx
【解析】直线先化为l1:
x+-1=0、l2:
+y-1=0,当n→+∞时,l1趋近于直线x=1,
nn
l2趋近于直线y=1,封闭区域的极限位置是一个边长为1的正方形,∴面积极限为1;
(2011年14题)已知点O(0,0)、Q0(0,1)和点R0(3,1),记Q0R0的中点为P1,取Q0P1和
P1R0中的一条,记其端点为Q1、R1,使之满足(OQ1-2)(OR1-2)<
0,记Q1R1的中点
为P2,取Q1P2和P2R1中的一条,记其端点为Q2、R2,使之满足(OQ2
-2)(OR2
-2)<
依次下去,得到P1,P2,,Pn,,则lim
n→+∞
Q0Pn
=;
【解析】依次下去,有(OQn
-
2)(ORn
0,表示OQn
、ORn
其中一条长度大于2,
另一条长度小于2,当n→+∞时,它们的长度都会趋近于2,即OPn
的长度趋近于2,结
合勾股定理,可知lim
=3;
2012年
12.在平行四边形
中,
,边
、
的长分别为2、1,若
分别是边
上的点,且满足
,则
的取值范围是.
【答案】
【解析】以向量
所在直线为
轴,以向量
轴建立平面直角坐标系,如图所示,因为
,所以
设
根据题意,有
.
所以
,所以
【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时,要切实注意条件的运用.本题属于中档题,难度适中.
13.已知函数y=f(x)的图像是折线段ABC,其中A(0,0)、B(1,5)、C(1,0),函数
y=xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为;
⎧10x,x∈[0,0.5]
【解析】根据题意f(x)=⎨,
⎩10-10x,x∈(0.5,1]
⎧⎪10x2,x∈[0,0.5]
∴xf(x)=⎨
⎪⎩10x-10x2,x∈(0.5,1]
,画出图像,如
图所示,利用割补法,所求面积即三角形AB'
C的
5
面积,求得面积为
4
;
或者用计算器求积分;
14.(理)如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2,若AD=2c,且
AB+BD=AC+CD=2a,其中a,c为常数,则四面体ABCD体积最大值是;
【解析】如图作截面EBC⊥AD,∴V=1S
EBC
AD,
AD=2c,即求截面EBC面积的最大值,∵AB+BD
=AC+CD=2a,∴B、C在一个以A、D为焦点的椭球上,易知当E为AD中点时,EB和EC同时取到
最大值
a2-c2,即截面面积最大为
a2-c2-1,即
222
体积最大为ca-c-1;
14.(文)已知f(x)=
1
1+x
,各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an+2=f(an),若
a2010=a2012,则a20+a11的值是.
,a7=
8
13
【解析】∵a1=1,代入求得a3=,a5=
5-1
,a9=,a11=;
再根据
a2010=a2012=
1+a2010
,解得a2010=a2012=2,代入an+2=f(an)继续求得偶数项均
5-18135+3
为,∴a
+a=+=;
22011
21326
17.设
,随机变量
取值
的概率均为
的概率也均为
,若记
分别为
的方差,则()
B.
C.
D.
与
的大小关系与
的取值有关
【答案】A
【解析】由随机变量
的取值情况,它们的平均数分别为:
且随机变量
的概率都为
,所以有
>
.故选择A.
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础,本题属于中档题.
18.设
,在
中,正数的个数是()
A.25B.50C.75D.100
【答案】C
【解析】依据正弦函数的周期性,可以找其中等于零或者小于零的项.
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律,从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0,这就是规律,考查综合分析问题和解决问题的能力.
18.若
),则在
A.16B.72C.86D.100
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律,从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0,这就是规律,考查综合分析问题和解决问题的能力.
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