四边形与证明(经典难题).doc
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第八部分 图形与证明
知识点的把握
新的课程标准对图形与证明提出了如下要求:
1.了解证明的含义.
(1)理解证明的必要性;
(2)通过具体的例子,了解定义、命题、定理的含义,会区分命题的条件(题设)和结论;(3)结合具体例子,了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,并知道原命题成立其逆命题不一定成立;(4)通过具体的例子理解反例的作用,知道利用反例可以证明一个命题是错误的;(5)通过实例,体会反证法的含义;(6)掌握用综合法证明的格式,体会证明的过程要步步有据.
2.掌握以下基本事实,作为证明的依据.
(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等;
(2)两条直线被第三条直线所截,若同位角相等,那么这两条直线平行;(3)若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边,或三边)分别相等,则这两个三角形全等;(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等.
3.利用2中的基本事实证明下列命题.
(1)平行线的性质定理(内错角相等、同旁内角互补)和判定定理(内错角相等或同旁内角互补,则两直线平行);
(2)三角形的内角和定理及推论(三角形的外角等于不相邻的两内角的和,三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角);(3)直角三角形全等的判定定理;(4)角平分线性质定理及逆定理;三角形的三条角平分线交于一点(内心);(5)垂直平分线性质定理及逆定理;三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心);(6)三角形中位线定理;(7)等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理;(8)平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理.
4.通过对欧几里得《原本》的介绍,感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值.
命题方向
经过对近几年各地的中考试题来看,直接考查本章知识的试题约占10%,普遍由圆结合其他的知识点进行考查.在主客观题中均有出现,往往是综合运用方程、函数、三角形、相似形等知识解决与圆有关的中考压轴题.除了考查几何图形的性质和应用外,还常常与应用问题、实际问题结合,对学生的探究能力和创新思维能力进行综合考查.
纵观近三年的中考命题,可以预见:
用几何图形的性质、判定考查学生的逻辑推理的能力、分析和解决问题的能力、以及创新意识和实际能力.因此,考查分类讨论思想、数形结合思想以及运用观察、想象、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比等数学方法.
考试重点
一、几何图形的性质定理、判定定理的应用
本考点为基本图形的性质定理和判定定理的应用,我们要明确的基础知识有:
平行线的性质定理和判定定理、三角形的内角和定理及推论、直角三角形全等的判定定理、角平分线性质定理及逆定理、垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线定理、等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理.
中考过程中,几何证明是必考的范围.其中是以基本图形的性质和判定定理为主.结合各方面的知识点,考虑辅助线的做法,运用综合分析法来找出条件和结论之间的关系,提高学生的解题能力、分析能力、研究探索能力.对于几何证明的题目应首先从基本知识入手,关注辅助线的做法,总结方法,积累经验,在看图和识图方面不断创新,不断提高.
【例1】已知:
如图8-1,在ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,AG∥DB交CB的延长线于G.
(1)求证:
△ADE≌△CBF;
(2)若四边形 BEDF是菱形,则四边形AGBD是什么特殊四边形?
并证明你的结论.
图8-1 图8-2
分析:
结合图形可以看出△ADE与△CBF全等的条件只差AE=CF,从而可以证明.
证明:
(1)如图8-2,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠1=∠C,AD=CB,AB=CD.
∵点E、F分别是AB、CD的中点,
∴AE=AB,CF=CD.
∴AE=CF.
∴△ADE≌△CBF.
(2)当四边形BEDF是菱形时,
四边形 AGBD是矩形.如图8-2.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∵AG∥BD,
∴四边形 AGBD是平行四边形.
∵四边形 BEDF是菱形,
∴DE=BE.
∵AE=BE,
∴AE=BE=DE.
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∴2∠2+2∠3=180°.
∴∠2+∠3=90°.
即∠ADB=90°.
∴四边形AGBD是矩形.
【例2】已知:
在⊙O中,CD平分∠ACB,弦AB、CD相交于点E,连结AD、BD.
图8-3
(1)写出图8-3中3对相似的三角形;
(2)找出图8-3中相等的线段,并说出理由.
解析:
由图可以看出:
△ACE∽△DBE,△AED∽△BEC,△ADE∽△CDA.
同时还可以看到AD=BD.
证明:
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD,∴AD=BD.
【例3】已知:
在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.
(1)求四边形AQMP的周长;
(2)写出图8-4中的两对相似三角形(不需证明);
图8-4
(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形?
说明你的理由.
分析:
结合图形的有关性质,可以证明四边形AQMP为矩形,故其周长为2a.
解:
(1)∵PM∥AB,QM∥AC
∴四边形AQMP为平行四边形
且∠1=∠C,∠2=∠B,
又∵AB=AC=a.
∴∠B=∠C,
∴∠1=∠B=∠C=∠2.
∴QB=QM,PM=PC.
∴四边形AQMP的周长为:
AQ+QM+MP+PA=AP+QB+PC+PA=AB+AC=2a;
(2)△ABC∽△QBM∽△PMC;(三对中写出任意两对即可)
(3)如图8-5当M为底边BC的中点时,四边形AQMP为菱形.理由:
当M为BC中点时.
图8-5
∵PM∥AB.QM∥AC.
∴PM=AB=.
QM=AC=.
∴PM=QM.
由
(1)知:
四边形AQMP为平行四边形.
∴四边形AQMP为菱形.
二、与圆有关的综合证明
本考点为圆的有关性质和圆中的一些定理、判定的基本应用.这是整个初中数学的核心之一.往往作为中考的压轴题,主要考查的数学思想很多:
数形结合的思想、分类讨论的思想、转化化归的思想,以及观察、想象、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括等数学方法.
与圆有关的证明多数是结合三角形、四边形、相似形、函数等知识为主的压轴题.以“提供新材料,创设新情境,提出新问题”等新题型较多.在解题方法中要做到稳中有变、变中求新、新中求好的思想.充分发挥学生的能力.
【例4】如图8-6,已知:
C是以AB为直径的半圆O上一点,CH⊥AB于点H,直线AC与过B点的切线相交于点D,E为CH中点,连接AE并延长交BD于点F,直线CF交直线AB于点G.
(1)求证:
点F是BD中点;
(2)求证:
CG是⊙O的切线;
(3)若FB=FE=2,求⊙O的半径.
图8-6 图8-7
分析:
通过观察图形结合圆中的基础知识,运用相似三角形的性质、切线的判定方法以及直角三角形中的勾股定理,可以证明线段相等、切线及有关线段的长度.
(1)证明:
∵CH⊥AB,DB⊥AB,∴△AEH∽AFB,△ACE∽△ADF.
∴,∵HE=EC,∴BF=FD.
(2)证明:
方法一:
如图8-7连接CB、OC,
∵AB是直径,∴∠ACB=90°.∵F是BD中点,∴FC=BD=FB.
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO.
∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线.
方法二:
可证明△OCF≌△OBF.
(3)解:
由FC=FB=FE得:
∠FCE=∠FEC.
可证得:
FA=FG,且AB=BG.
由切割线定理得:
(2+FG)2=BG×AG=2BG2. ①
在Rt△BGF中,由勾股定理得:
BG2=FG2-BF2, ②
由①②得:
FG2-4FG-12=0,
解之得:
FG1=6,FG2=-2(舍去).
∴AB=BG=.
∴⊙O半径为2.
【例5】已知:
⊙O1与⊙O2相交于点A、B,过点B作CD⊥AB,分别交⊙O1和⊙O2于点C、D.
(1)如图8-8
(1),求证:
AC是⊙O1的直径;
(2)若AC=AD,如图8-8
(2),连结BO2、O1O2,求证:
四边形O1C BO2是平行四边形;
②若点O1在⊙O2外,延长O2O1交⊙O1于点M,在劣弧上任取一点E(点E与点B不重合).EB的延长线交优弧于点F,如图8-8(3)所示.连结 AE、AF.则AE________ AB(请在横线上填上“≥、≤、<、>”这四个不等号中的一个=并加以证明.
(1)
(2) (3)
图8-8
证明:
(1)∵ CD⊥AB,
∴∠ABC=90°
∴ AC是⊙O1的直径 .
(2)①证明1:
∵ CD⊥AB,∴∠ABD=90°.
∴AD是⊙O2的直径.
∵AC=AD.
∵CD⊥AB,∴CB=BD.
∵ O1、O2分别是AC、AD的中点.
∴ O1O2∥CD且 O1O2=CD=CB.
∴四边形O1CBO2是平行四边形.
证明2:
∵ CD⊥AB,∴∠ABD=90°.
∴AD是⊙O2的直径.
∵ AC=AD.
∵ CD⊥AB,∴CB=BD.
∵B、O2分别是CD、AD的中点.
∴BO2∥AC且 BO2=AC=O1C,
∴四边形O1CBO2是平行四边形.
证明3:
∵ CD⊥AB,∴∠ABD=90°.
∴AD是⊙O2的直径.
∵ O1、O2分别是AC、AD的中点.
∴ O1O2∥CD.
∵ CD⊥AB,∴ CB=BD.
∴ B是CD的中点.
∴O2B∥O1C.
∴四边形O1CBO2是平行四边形.
证明4:
∵CD⊥AB,∴∠ABD=90°.
∴AD是⊙O2的直径.
∵AC=AD.
∴ O1C=O2B.
∴∠C=∠D.
∵ O2B=O2D,
∴∠O2BD=∠D.
∴∠C=∠O2BD.
∴O2B∥O1C.
∴四边形O1CBO2是平行四边形.
② AE>AB
证明1:
当点E在劣弧上(不与点C重合)时,
∵AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC,
∴∠AEB=∠ACD=∠ADC=∠AFB,
∴AE=AF.
记AF交BD为G ∵AB⊥CD,
∴ AF>AG>AB,
当点E与点C重合时,AE=AC>AB,
当点E在劣弧上 (不与点B重合)时,设AE交CD与H,
AE>AH>AB
综上,AE>AB.
证明2:
当点E在劣弧上(不与点C重合)时,
连结EC、DF,∵ AD是⊙O2的直径,即∠AFD=90°.
∠EAC=∠EBC=∠DBF=∠DAF.
∵ AC=AD 直角△AFD≌直角△AEC.
∴ AE=AF.
证明3:
当点E在劣弧上(不与点C重合)时,
连结EC、DF,∵ AD是⊙O2的直径,即∠AFD=90°.
∵∠DBF=∠DAF. ∴∠ADF+∠DBF=90°.
又∵∠DBF=∠EBC. ∠ABE+∠EBC=90°.
∴∠ADF=∠ABE.
∵∠ABE=∠ACE. ∴∠ADF=∠ACE.
∵AC=AD,∴直角△AFD≌直角△AEC.
∴AE=AF.
【例6】如图8-9,四边形ABCD中,AC=6,BD=8且AC⊥BD顺次连接
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