反比例函数难题拓展(有答案).doc
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反比例函数难题拓展
二、填空题
1.如图,将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中,B(2,0),∠AOC=60°,点A在第一象限,过点A的双曲线为y=,在x轴上取一点P,过点P作直线OA的垂线l,以直线l为对称轴,线段OB经轴对称变换后的像是O′B′.
(1)当点O′与点A重合时,点P的坐标是 .
(2)设P(t,0)当O′B′与双曲线有交点时,t的取值范围是.
【答案】
(1)(4,0);
(2)4≤t≤2或-2≤t≤-4
3.若点A(m,-2)在反比例函数的图像上,则当函数值y≥-2时,自变量x的取值范围是___________.
【答案】x≤-2或x>0
4.过反比例函数y=(k≠0)图象上一点A,分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为B,C,如果⊿ABC的面积为3.则k的值为.
【答案】6或﹣6.
5.如图,正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y=(x>0)的图像上,顶点A1、B1分别在x轴和y轴的正半轴上,再在其右侧作正方形P2P3A2B2,顶点P3在反比例函数y=(x>0)的图象上,顶点A3在x轴的正半轴上,则点P3的坐标为
【答案】(+1,-1)
6.在直角坐标系中,有如图所示的轴于点,斜边,反比例函数的图像经过的中点,且与交于点,则点的坐标为.
(第15题)
【答案】
8.如图,将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中,B(2,0),∠AOC=60°,点A在第一象限,过点A的双曲线为y=,在x轴上取一点P,过点P作直线OA的垂线l,以直线l为对称轴,线段OB经轴对称变换后的像是O′B′.
(1)当点O′与点A重合时,点P的坐标是 .
(2)设P(t,0)当O′B′与双曲线有交点时,t的取值范围是.
【答案】
(1)(4,0);
(2)4≤t≤2或-2≤t≤-4
9.如图1所示的曲线是一个反比例函数图象的一支,点A在此曲线上,则该反比例函数的解析式为_______________.
y
1
O
A
x
3
图1
【答案】
10.如图,已知点A的坐标为(,3),AB⊥x轴,垂足为B,连接OA,反比例函数y=(k>0)的图象与线段OA、AB分别交于点C、D.若AB=3BD,以点C为圆心,CA的倍的长为半径作圆,则该圆与x轴的位置关系是___________(填“相离”、“相切”或“相交”)
【答案】相交
12.在平面直角坐标系中,已知反比例函数满足:
当时,y随x的增大而减小.若该反比例函数的图象与直线都经过点P,且,则实数k=_________.
【答案】.
13.如图,在平面直角坐标系中有一正方形AOBC,反比例函数经过正方形AOBC对角线的交点,半径为()的圆内切于△ABC,则k的值为.
15.设函数与的图象的交战坐标为(a,b),则的值为__________.
【答案】
16.如果反比例函数(k是常数,k≠0)的图像经过点(-1,2),那么这个函数的解析式是__________.
【答案】
17.如图,□ABCD的顶点A,B的坐标分别是A(-1,0),B(0,-2),顶点C,D在双曲线y=上,边AD交y轴于点E,且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍,则k=_____.
【答案】12
18.如图:
点A在双曲线上,AB⊥x轴于B,且△AOB的面积S△AOB=2,则k=______.
A
B
O
x
y
第4题图
【答案】-4
19.若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=的图象没有公共点,则实数k的取值范围是。
【答案】k<-
22.函数,的图象如图所示,则结论:
①两函数图象的交点A的坐标为(3,3)②当时,③当时,BC=8④当逐渐增大时,随着的增大而增大,随着的增大而减小.其中正确结论的序号是_.
y
y1=x
y2=
x
第17题图
【答案】①③④
24.如图:
点A在双曲线上,AB⊥x轴于B,且△AOB的面积S△AOB=2,则k=______.
A
B
O
x
y
第4题图
【答案】-4
25.如图,点A在双曲线上,点B在双曲线上,且AB∥x轴,C、D在x轴上,若四边形ABCD的面积为矩形,则它的面积为.
【答案】2
26.如图,双曲线经过四边形OABC的顶点A、C,∠ABC=90°,OC平分OA与轴正半轴的夹角,AB∥轴,将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C,B'点落在OA上,则四边形OABC的面积是 .
【答案】2
27.
三、解答题
1.如图,已知直线经过点P(,),点P关于轴的对称点P′在反比例函数()的图象上.
(1)求的值;
(2)直接写出点P′的坐标;
(3)求反比例函数的解析式.
(第19题)
x
y
O
P
【答案】
(1)将P(-2,a)代入得a=-2×(-2)=4;
(2)P′(2,4)
(3)将P′(2,4)代入得4=,解得k=8,∴反比例函数的解析式为.
2.如图,函数的图象与函数()的图象交于A、B两点,与轴交于C点,已知A点坐标为(2,1),C点坐标为(0,3).
(1)求函数的表达式和B点的坐标;
(2)观察图象,比较当时,与的大小.
A
B
O
C
x
y
【答案】
(1)由题意,得解得∴;
又A点在函数上,所以,解得,所以;
解方程组得,.
所以点B的坐标为(1,2).
(2)当x=1或x=2时,y1=y2;
当1<x<2时,y1>y2;
当0<x<1或x>2时,y1<y2.
3.已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上,点C(1,3)在反比例函数y=的图象上,且sin∠BAC=.
(1)求k的值和边AC的长;
(2)求点B的坐标.
【答案】
(1)把C(1,3)代入y=得k=3
设斜边AB上的高为CD,则
sin∠BAC==
∵C(1,3)
∴CD=3,∴AC=5
(2)分两种情况,当点B在点A右侧时,如图1有:
AD==4,AO=4-1=3
∵△ACD∽ABC
∴AC2=AD·AB
∴AB==
∴OB=AB-AO=-3=
此时B点坐标为(,0)
x
y
B
A
C
D
O
O
x
y
B
A
C
D
图1图2
当点B在点A左侧时,如图2
此时AO=4+1=5
OB=AB-AO=-5=
此时B点坐标为(-,0)
所以点B的坐标为(,0)或(-,0).
4.已知一次函数与反比例函数,其中一次函数的图象经过点P(,5).
①试确定反比例函数的表达式;
②若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点,求点Q的坐标
【答案】解:
因一次函数y=x+2的图象经过点P(k,5),
所以得5=k+2,解得k=3
所以反比例函数的表达式为
(2)联立得方程组
解得或
故第三象限的交点Q的坐标为(-3,-1)
5.如图,正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点,过点作轴的垂线,垂足为,已知的面积为1.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)如果为反比例函数在第一象限图象上的点(点与点不重合),且点的横坐标为1,在轴上求一点,使最小.
(第20题)
【答案】
(1)设点的坐标为(,),则.∴.
∵,∴.∴.
∴反比例函数的解析式为. 3分
(2)由得∴为(,). 4分
设点关于轴的对称点为,则点的坐标为(,).
令直线的解析式为.
∵为(,)∴∴
∴的解析式为. 6分
当时,.∴点为(,).…………………………7分
6.如图,一次函数y=k1x+b的图象经过A(0,-2),B(1,0)两点,与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为M,若△OBM的面积为2。
(1)求一次函数和反比全例函数的表达式。
(2)在x轴上存在点P,使AM⊥PM?
若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由。
【答案】
(1)∵直线y=k1x+b过A(0,-2),B(1,0)
∴∴
∴一次函数的表达式为y=2x-2
设M(m,n),作MD⊥x轴于点D
∵S△OBM=2
∴OB·MD=2∴n=2
∴n=4
将M(m,4)代入y=2x-2得:
4=2m-2∴m=3
∵4=∴k2=12
所以反比例函数的表达式为y=
(2)过点M(3,4)作MP⊥AM交x轴于点P
∵MD⊥BP∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO===2
∴在Rt△PDM中,=2∴PD=2MD=8
∴PO=OD+PD=11
∴在x轴上存在点P,使PM⊥AM,此时点P的坐标为(11,0)
7.如图,已知反比例函数(k1>0)与一次函数相交于A、B两点,AC⊥x轴于点C.若△OAC的面积为1,且tan∠AOC=2.
(1)求出反比例函数与一次函数的解析式;
(2)请直接写出B点的坐标,并指出当x为何值时,反比例函数y1的值大于一次函数y2的值?
【答案】解
(1)在Rt△OAC中,设OC=m.
∵tan∠AOC==2,
∴AC=2×OC=2m.
∵S△OAC=×OC×AC=×m×2m=1,
∴m2=1
∴m=1(负值舍去).
∴A点的坐标为(1,2).
把A点的坐标代入中,得
k1=2.
∴反比例函数的表达式为.
把A点的坐标代入中,得
k2+1=2,
∴k2=1.
∴一次函数的表达式.
(2)B点的坐标为(-2,-1).
当0<x<1和x<-2时,y1>y2.
8.若反比例函数与一次函数的图象都经过点A(a,2)
(1)求反比例函数的解析式;
(2)当反比例函数的值大于一次函数的值时,求自变量x的取值范围.
【答案】
(1)∵的图象过点A(a,2)∴a=3
∵过点A(3,2)∴k=6∴
(2)求反比例函数与一次函数的图象的交点坐标,得到方程:
解得:
x1=3,x2=-1
∴另外一个交点是(-1,-6)
∴当x<-1或0 9.如图,在直角坐标系中,O为坐标原点.已知反比例函数y=(k>0)的图象经过点A(2,m),过点A作AB⊥x轴于点B,且△AOB的面积为. (1)求k和m的值; (2)点C(x,y)在反比例函数y=的图象上,求当1≤x≤3时函数值y的取值范围; (3)过原点O的直线l与反比例函数y=的图象交于P、Q两点,试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值. B O A 【答案】 (1)∵A(2,m)∴OB=2AB=m ∴S△AOB=•OB•AB=×2×m=∴m= ∴点A的坐标为(2,)把A(2,)代入y=,得= ∴k=1 (2)∵当x=1时,y=1;当x=3时,y= 又∵反比例函数y=在x>0时,y随x的增大而减小, ∴
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