史上最全中考数学真题解析勾股定理及逆定理含解析答案.doc

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【史上最全】2011中考数学真题解析

2011全国中考真题解析120考点汇编☆勾股定理及逆定理

一、选择题

1.（2011广东深圳，7，3分）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A、B、C、D、

考点：

相似三角形的判定；勾股定理．

专题：

网格型．

分析：

本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．

解答：

解：

已知给出的三角形的各边分别为、2、、

只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．

故选B．

点评：

此题考查三角形相似判定定理及勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理求得原三角形的三边长．

2.（2011•贵阳6,3分）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　）

A、2.5 B、2C、 D、

考点：

勾股定理；实数与数轴。

分析：

本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）解答即可．

解答：

解：

由勾股定理可知，

∵OB=，

∴这个点表示的实数是。

故选D．

点评：

本题考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法．

3.如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（　　）

A、14B、16C、20D、28

考点：

平移的性质；勾股定理．

分析：

根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，即可得出答案．

解答：

解：

根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，故即可得出答案：

∵AC=10，BC=8，

∴AB=6，

图中五个小矩形的周长之和为：

6+8+6+8=28．

故选D．

点评：

此题主要考查了勾股定理以及平移的性质，得出五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周是解决问题的关键．

4.（2011四川广安，6，3分）如图所示，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点是母线上一点且＝．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）

A．（）cmB．5cmC．cmD．7cm

考点：

圆柱的表面展开图，勾股定理

专题：

圆柱的表面展开图、勾股定理

分析：

画出该圆柱的侧面展开图如图所示，则蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离为线段AP的长．在Rt△ACP中，AC＝，＝＝4cm，所以．

解答：

B

点评：

解决这类问题要善于将空间图形转化为平面图形，采用“化曲为直”的方法，利用圆柱体的表面展开图，把求最短距离问题转化为求两点之间的线段的长度问题．

5.（2011内蒙古呼和浩特，9，3）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（　　）

A.B.C.D.

考点：

勾股定理．

专题：

计算题．

分析：

以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．在△BDF中，由勾股定理即可求出BD的长．

解答：

解：

以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．

可证∠FDB=90°，∠F=∠CBF，

∴DF=CB=1，BF=2+2=4，

∴BD=．故选B．

点评：

本题考查了勾股定理，解题的关键是作出以A为圆心，AB长为半径的圆，构建直角三角形，从而求解．

6.（2011•台湾28，4分）已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？

（　　）

A、100 B、180C、220 D、260

考点：

勾股定理的应用。

专题：

数形结合。

分析：

根据题意，画出图形，先设AE的长是x公尺，如图可得，BC=160公尺，AB=340公尺，利用勾股定理，可解答．

解答：

解：

设阿虎向西直走了x公尺，如图，

由题意可得，AB=340，AC=x+80，BC=80，

利用勾股定理得，（x+80）2+1602=3402，

整理得，x2+160x﹣83600=0，

x1=220，x2=﹣380（舍去），

∴阿虎向西直走了220公尺．

故选C．

点评：

本题考查了勾股定理的应用，解答关键是根据题意画出图形，运用数形结合的思想，可直观解答．

7.（2011台湾，15，4分）如图为梯形纸片ABCD，E点在BC上，且∠AEC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝3，BC＝9，CD＝8．若以AE为折线，将C折至BE上，使得CD与AB交于F点，则BF长度为何（　　）

A．4.5 B．5C．5.5 D．6

考点：

相似三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；翻折变换（折叠问题）。

专题：

数形结合。

分析：

先根据题意画出示意图，根据轴对称的性质可以得出一些线段的长度，进而根据相似三角形的性质可解得BF的长．

解答：

解：

由题意得：

EE'＝EC＝AD＝3，

∴BE'＝BC－E'E－EC＝3，

∴AB＝＝10，

又∵△BE'F∽△BEA，

∴，

∴BF＝5．

故选B．

点评：

本题考查勾股定理及梯形的知识，难度不大，解答本题的关键是掌握翻折后的对应线段相等，另外还要注意掌握相似三角形的对应边成比例的应用．

8.（2011新疆乌鲁木齐，9，4）如图．梯形ABCD中，AD∥BC、AB＝CD，AC丄BD于点O，∠BAC＝60°，若BC＝，则此梯形的面积为（　　）

A、2 B、1＋ C、 D、2＋

考点：

等腰梯形的性质；垂线；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理。

专题：

计算题。

分析：

过O作EF⊥AD交AD于E，交BC于F，根据等腰梯形的性质得出∠ABC＝∠DCB，证△ABC≌△DCB，推出∠DBC＝∠ACB，求出∠DBC＝∠ACB＝45°，根据直角三角形性质求出OF，根据勾股定理求出OB、OA，OE、AD，根据面积公式即可求出面积．

解答：

解：

过O作EF⊥AD交AD于E，交BC于F，

∵等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCB，

∵BC＝BC，∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC＝∠ACB，

∵AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴∠DBC＝∠ACB＝45°，∴OB＝OC，

∵OF⊥BC，∴OF＝BF＝CF＝BC＝，由勾股定理得：

OB＝，

∵∠BAC＝60°，∴∠ABO＝30°，由勾股定理得：

OA＝1，AB＝2，

同法可求OD＝OA＝1，AD＝，OE＝，

S梯形ABCD＝（AD＋BC）•EF＝×（）×（＋）＝2＋

故答案为：

2＋．

点评：

本题主要考察对等腰梯形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，垂线，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．

9.（2011湖北潜江，7，3分）如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点．作△ABC的外接圆⊙O，则弧AC的长等于（　　）

A． B． C． D．

考点：

弧长的计算；勾股定理；勾股定理的逆定理；圆周角定理。

专题：

网格型。

分析：

求弧AC的长，关键是求弧所对的圆心角，弧所在圆的半径，连接OC，由图形可知OA⊥OC，即∠AOC＝90°，由勾股定理求OA，利用弧长公式求解．

解答：

解：

连接OC，由图形可知OA⊥OC，

即∠AOC＝90°，

由勾股定理，得OA＝＝，

∴弧AC的长＝＝．

故选D．

点评：

本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：

扇形的弧长＝．

10.（2011•贵港）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2，则tan∠CAD的值是（　　）

A、2 B、

C、 D、

考点：

锐角三角函数的定义；勾股定理。

专题：

常规题型。

分析：

根据中线的定义可得CD=BD，然后利用勾股定理求出AC的长，再根据正切等于对边：

邻边列式求解即可．

解答：

解：

∵AD是BC边上的中线，BD=4，

∴CD=BD=4，

在Rt△ACD中，AC===2，

∴tan∠CAD===2．

故选A．

点评：

本题考查了正切的定义以及勾股定理的应用，熟记直角三角形中，锐角的正切等于对边：

邻边是解题的关键．

11.（2011•贵港）如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（　　）

A、 B、

C、1 D、1.5

考点：

矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。

专题：

推理填空题。

分析：

先利用勾股定理求出AC的长，然后证明△AEO∽△ACD，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．

解答：

解：

∵AB=，BC=2，

∴AC==，

∴AO=AC=，

∵EO⊥AC，

∴∠AOE=∠ADC=90°，

又∵∠EAO=∠CAD，

∴△AEO∽△ACD，

∴=，

即=，

解得AE=1.5．

故选D．

点评：

本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例的性质，根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．

12.（2011•青海）已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8，则这个菱形的周长是（　　）

A、20 B、14

C、28 D、24

考点：

菱形的性质；勾股定理。

专题：

计算题。

分析：

由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．

解答：

解：

根据题意，设对角线AC、BD相交于O，

则由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，

∴AB=5，

∴周长L=4AB=20，

故选A．

点评：

本题考查菱形的性质，难度适中，要熟练掌握菱形对角线的性质，及勾股定理的灵活运用．

13.一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（）

A．　　B．　　C．　　D．

左视图

主视图

4

俯视图

考点：

几何体的表面积；勾股定理；简单几何体的三视图．

分析：

根据三视图图形得出AC＝BC＝3，EC＝4，即可求出这个长方体的表面积．

解答：

解：

∵如图所示，∴AB＝3，

∴AC＝BC＝3，

∴正方形ABCD面积为：

3×3＝9，

侧面积为：

4AC·CE＝3×4×4＝48，

∴这个长方体的表面积为：

48＋9＋9＝66．

故选A．

点评：

此题主要考查了利用三视图求长方体的表面积，得出长方体各部分的边长是解决问题的关键．.

14.（2011四川达州，6，3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为（　　）

A、5 B、4

C、3 D、2

考点：

垂径定理；勾股定理。

专题：

计算题。

分析：

连接OC，由垂径定理求出CE的长，再根据勾股定理得出线段OE的长．

解答：

解：

连接OC

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴CE=CD，

∵CD=8，∴CE=4，

∵AB=10，

∴由勾股定理得，OE==3．

故选C．

点评：

本题考查了垂径定理、勾股定理以及圆中辅助线的做法，是重点知识，要熟练掌握．

15（2011四川泸州，7，2分）已知⊙O的半径OA=