华东师大版九年级数学下册教案全册.doc
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华东师大版
九年级数学下册全册教案
第26章二次函数
26.1二次函数
教学目标:
1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.
2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.
3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.
4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.
5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.
6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.
教学重点:
解二次函数的有关概念
教学难点:
解二次函数的有关概念的应用
本节知识点
通过具体问题引入二次函数的概念,在解决问题的过程中体会二次函数的意义.
教学过程
(1)正方形边长为a(cm),它的面积s(cm2)是多少?
(2)矩形的长是4厘米,宽是3厘米,如果将其长与宽都增加x厘米,则面积增加y平方厘米,试写出y与x的关系式.
请观察上面列出的两个式子,它们是不是函数?
为什么?
如果是函数,请你结合学习一次函数概念的经验,给它下个定义.
实践与探索
例1.m取哪些值时,函数是以x为自变量的二次函数?
分析若函数是二次函数,须满足的条件是:
.
解:
若函数是二次函数,则
.
解得,且.
因此,当,且时,函数是二次函数.
回顾与反思形如的函数只有在的条件下才是二次函数.
探索若函数是以x为自变量的一次函数,则m取哪些值?
例2.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数.
(1)写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm)之间的函数关系;
(2)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系;
(3)某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,若不计利息,求本息和y(元)与所存年数x之间的函数关系;
(4)菱形的两条对角线的和为26cm,求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系.
解
(1)由题意,得,其中S是a的二次函数;
(2)由题意,得,其中y是x的二次函数;
(3)由题意,得(x≥0且是正整数),
其中y是x的一次函数;
(4)由题意,得,其中S是x的二次函数.
例3.正方形铁片边长为15cm,在四个角上各剪去一个边长为x(cm)的小正方形,用余下的部分做成一个无盖的盒子.
(1)求盒子的表面积S(cm2)与小正方形边长x(cm)之间的函数关系式;
(2)当小正方形边长为3cm时,求盒子的表面积.
解
(1);
(2)当x=3cm时,(cm2).
课堂练习
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1)
(2)
(3) (4)
2.当k为何值时,函数为二次函数?
3.已知正方形的面积为,周长为x(cm).
(1)请写出y与x的函数关系式;
(2)判断y是否为x的二次函数.
课外作业
A组
1.已知函数是二次函数,求m的值.
2.已知二次函数,当x=3时,y=-5,当x=-5时,求y的值.
3.已知一个圆柱的高为27,底面半径为x,求圆柱的体积y与x的函数关系式.若圆柱的底面半径x为3,求此时的y.
4.用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形,求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式.这个函数是二次函数吗?
请写出半径r的取值范围.
B组
5.对于任意实数m,下列函数一定是二次函数的是()
A.B.C.D.
6.下列函数关系中,可以看作二次函数()模型的是()
A.在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系
C.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
D.圆的周长与圆的半径之间的关系
课堂小结:
教学反思:
26.2二次函数的图象与性质
(1)
教学目标:
1、会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.
2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.
重点:
二次函数的图象与性质
难点:
二次函数的图象与性质
本节要点
会用描点法画出二次函数的图象,概括出图象的特点及函数的性质.
教学过程:
我们已经知道,一次函数,反比例函数的图象分别是、
,那么二次函数的图象是什么呢?
(1)描点法画函数的图象前,想一想,列表时如何合理选值?
以什么数为中心?
当x取互为相反数的值时,y的值如何?
(2)观察函数的图象,你能得出什么结论?
实践与探索
例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并指出它们有何共同点?
有何不同点?
(1)
(2)
解列表
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
18
8
2
0
2
8
18
…
…
-18
-8
-2
0
-2
-8
-18
…
分别描点、连线,画出这两个函数的图象,这两个函数的图象都是抛物线,如图26.2.1.
共同点:
都以y轴为对称轴,顶点都在坐标原点.
不同点:
的图象开口向上,顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左边,曲线自左向右下降;在对称轴的右边,曲线自左向右上升.
的图象开口向下,顶点是抛物线的最高点,在对称轴的左边,曲线自左向右上升;在对称轴的右边,曲线自左向右下降.
回顾与反思在列表、描点时,要注意合理灵活地取值以及图形的对称性,因为图象是抛物线,因此,要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接.
例2.已知是二次函数,且当时,y随x的增大而增大.
(1)求k的值;
(2)求顶点坐标和对称轴.
解
(1)由题意,得,解得k=2.
(2)二次函数为,则顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴.
例3.已知正方形周长为Ccm,面积为Scm2.
(1)求S和C之间的函数关系式,并画出图象;
(2)根据图象,求出S=1cm2时,正方形的周长;
(3)根据图象,求出C取何值时,S≥4cm2.
分析此题是二次函数实际应用问题,解这类问题时要注意自变量的取值范围;画图象时,自变量C的取值应在取值范围内.
解
(1)由题意,得.
列表:
C
2
4
6
8
…
1
4
…
描点、连线,图象如图26.2.2.
(2)根据图象得S=1cm2时,正方形的周长是4cm.
(3)根据图象得,当C≥8cm时,S≥4cm2.
回顾与反思
(1)此图象原点处为空心点.
(2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S,不要习惯地写成x、y.
(3)在自变量取值范围内,图象为抛物线的一部分.
课堂练习
1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)
(2)(3)
2.
(1)函数的开口,对称轴是,顶点坐标是;
(2)函数的开口,对称轴是,顶点坐标是.
3.已知等边三角形的边长为2x,请将此三角形的面积S表示成x的函数,并画出图象的草图.
课外作业
A组
1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.
(1)
(2)
2.填空:
(1)抛物线,当x=时,y有最值,是.
(2)当m=时,抛物线开口向下.
(3)已知函数是二次函数,它的图象开口,当x时,y随x的增大而增大.
3.已知抛物线中,当时,y随x的增大而增大.
(1)求k的值;
(2)作出函数的图象(草图).
4.已知抛物线经过点(1,3),求当y=9时,x的值.
B组
5.底面是边长为x的正方形,高为0.5cm的长方体的体积为ycm3.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)画出函数的图象;(3)根据图象,求出y=8cm3时底面边长x的值;(4)根据图象,求出x取何值时,y≥4.5cm3.
6.二次函数与直线交于点P(1,b).
(1)求a、b的值;
(2)写出二次函数的关系式,并指出x取何值时,该函数的y随x的增大而减小.
27.一个函数的图象是以原点为顶点,y轴为对称轴的抛物线,且过M(-2,2).
(1)求出这个函数的关系式并画出函数图象;
(2)写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标,并求出⊿MON的面积.
课堂小结:
教学反思:
26.2二次函数的图象与性质
(2)
教学目标:
1、会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.
2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.
教学重点:
二次函数的图象与性质
教学难点:
二次函数的图象与性质
本节知识点
会画出这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质.
教学过程
同学们还记得一次函数与的图象的关系吗?
,你能由此推测二次函数与的图象之间的关系吗?
,那么与的图象之间又有何关系?
.
实践与探索
例1.在同一直角坐标系中,画出函数与的图象.
解列表.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
18
8
2
0
2
8
18
…
…
20
10
4
2
4
10
20
…
描点、连线,画出这两个函数的图象,如图26.2.3所示.
回顾与反思当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系?
反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系?
探索观察这两个函数,它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的?
又有哪些不同?
你能由此说出函数与的图象之间的关系吗?
例2.在同一直角坐标系中,画出函数与的图象,并说明,通过怎样的平移,可以由抛物线得到抛物线.
解列表.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
-8
-3
0
1
0
-3
-8
…
…
-10
-5
-2
-1
-2
-5
-10
…
描点、连线,画出这两个函数的图象,如图26.2.4所示.
可以看出,抛物线是由抛物线向下平移两个单位得到的.
回顾与反思抛物线和抛物线分别是由抛物线向上、向下平移一个单位得到的.
探索如果要得到抛物线,应将抛物线作怎样的平移?
例3.一条抛物线的开口方向、对称轴与相同,顶点纵坐标是-2,且抛物线经过点(1,1),求这条抛物线的函数关系式.
解由题意可得,所求函数开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标为(0,-2),
因此所求函数关系式可看作,又抛物线经过点(1,1),
所以,,
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