微分方程Word格式.docx
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symsu
f=u;
U=zeros(1,1/h);
U
(1)=1;
fork=1:
1/h
U(k+1)=U(k)+h*subs(f,u,U(k));
end
Un=U;
End
2.tixingfa.m
functionUn=tixingfa(h)
%Un=tixingfa(h)
U(k+1)=U(k)+h/2*(subs(f,u,U(k))+subs(f,u,U(k+1)));
3.RK.m
functionUn=RK(h)
%Un=RK(h)
K1=subs(f,u,U(k));
K2=subs(f,u,U(k)+1/2*h*K1);
K3=subs(f,u,U(k)+1/2*h*K2);
K4=subs(f,u,U(k)+h*K3);
U(k+1)=U(k)+1/6*h*(K1+2*K2+2*K3+K4);
图像结果显示:
编写a1.m用于画图显示Euler法不同步长计算结果比较,
t0=0:
0.001:
1;
t1=0:
0.1:
t2=0:
0.2:
t3=0:
0.5:
U0=exp(t0);
U1=Euler(0.1);
U2=Euler(0.2);
U3=Euler(0.5);
holdon
plot(t0,U0,'
k'
)
plot(t1,U1,'
b'
'
Marker'
x'
plot(t2,U2,'
--r'
+'
plot(t3,U3,'
:
r'
*'
legend('
Un=e^t'
buchang0.1'
buchang0.2'
buchang0.5'
Location'
NorthWest'
title('
'
Euler法不同步长计算结果比较'
gridon
xlable('
t'
ylable('
Un'
holdoff
运行结果如下;
图
由图可知对于Euler法步长取0.1计算结果最好。
编写a2.m用于画图显示梯形法不同步长计算结果比较,
U1=tixingfa(0.1);
U2=tixingfa(0.2);
U3=tixingfa(0.5);
梯形法不同步长计算结果比较'
运行结果如下:
图2
图上四条线比较接近,但还是可以看到红色虚线有所偏离,为更好的比较将其早末端放大得下图3
由图可知对于梯形法步长取0.1计算结果最好。
编写a3.m用于画图显示RK法不同步长计算结果比较,
U1=RK(0.1);
U2=RK(0.2);
U3=RK(0.5);
RK法不同步长计算结果比较'
图4
图上四条线比较接近,但还是可以看到红色虚线有所偏离,为更好的比较将其早末端放大得下图图5
由图可知对于RK法步长取0.1计算结果最好。
编写a4.m用于画图显示三种方法同一步长的精度比较,不妨取步长0.1
U2=tixingfa(0.1);
U3=RK(0.1);
plot(t1,U2,'
plot(t1,U3,'
Euler'
tixingfa'
RK'
取步长0.1比较三种方法的精度'
图6
很明显,Euler法精度不及另外两种方法,但梯形法与RK法都与真实结果比较接近,先做放大处理
选择一个节点如t=0.8放大图像如下图7
由图可知还是RK法的精度较好。
结论:
综上图形结果显示,同样的步长Eluer法精度不及RK法和梯形法,RK法与梯形法比较接近但还是RK法精度好一些。
同一种方法取不同步长计算,步长越小计算结果越好。
题目二:
对于初值问题u’=u-2t/u,u(0)=1,在单区间【0,1】上,用Adams四阶预估-校正算法的PECE模式求其数值解,取步长h=0.1利用计算结果估计数值解的局部误差主项。
(真解u(t)=sqrt(1+2t))
Adams四阶预估-校正(PECE)公式:
function[Un,e]=di13ti()
%[Un,e]=di13ti()
f0=u-2*t/u;
v=[t,u];
U=zeros(1,11);
T=0:
f=zeros(1,11);
h=0.1;
f
(1)=1;
3
K1=subs(f0,v,[(k-1)*h,U(k)]);
K2=subs(f0,v,[(k-1)*h+1/2*h,U(k)+1/2*h*K1]);
K3=subs(f0,v,[(k-1)*h+1/2*h,U(k)+1/2*h*K2]);
K4=subs(f0,v,[(k-1)*h+h,U(k)+h*K3]);
f(k+1)=U(k+1)-2*T(k+1)/U(k+1);
fork=5:
11
U(k)=U(k-1)+h/24*(55*f(k-1)-59*f(k-2)+37*f(k-3)-9*f(k-4));
f(k)=U(k)-2*T(k)/U(k);
U(k)=U(k-1)+h/24*(9*f(k)+19*f(k-1)-5*f(k-2)+f(k-3));
zz(k)=sqrt(1+2*T(k));
e=U-zz;
运行结果及图形显示:
运行得:
>
[Un,e]=di13ti()
Un=
Columns1through8
1.00001.09541.18321.26491.34161.41421.48321.5492
Columns9through11
1.61251.67331.7321
e=
1.0e-05*
00.04170.07890.11640.05710.02710.01270.0042
-0.0013-0.0054-0.0088
编写a5.m用于画图显示计算结果,
U0=sqrt(1+2*t0);
U1=di13ti();
U=sqrt(1+2*t)'
U1'
图8
放大如下图9
由图可知Adams四阶预估-校正算法的PECE模式求其数值解精度相当好
结果:
表格一Adams四阶预估-校正算法的PECE模式数值解及其局部误差项
数值解
T0
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T9
T10
1.0000
1.1094
1.1832
1.2649
1.3416
1.4142
1.4832
1.5492
1.6125
1.6733
1.7321
误差项
0.000000417
0.000000789
0.000001161
0.000000571
0.000000271
0.000000127
0.000000042
-0.000000013
-0.000000054
-0.000000088
综上图形结果及表格显示,Adams四阶预估-校正算法的PECE模式数值解与精确解相当接近。
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