北师大版初一(上)数学讲义第四章:基本平面图形.doc
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◆初一(上)数学讲义
第四章:
基本平面图形
◆4.1线段、射线、直线
1.线段、射线、直线的概念
(1)线段
概念:
铅笔、人行横道线和路旁的电线杆都可以近似地看做线段,下图就是一条线段.
线段的特征:
①线段是直的;②线段有2个端点;③线段的长度是有限的,可度量.
线段可以向两方无限延长;线段是没有粗细之分的.
(2)射线
概念:
射线可以看做由线段向一个方向无限延长形成的图形.如图,把线段AB向一个方向无限延伸,
就是一条射线.
射线的特征:
①射线是直的;②射线有一个端点;③因射线向一个方向无限延长,所以射线没有长短,
不可测量.
射线可以反向延长;射线没有粗细之分.
(3)直线
概念:
直线可以看做由线段向两个方向无限延长形成的.
直线的特征:
①直线是直的;②直线没有端点;③向两个方向无限延长,没有长短,不可测量.
因为直线是线段向两个方向无限延长形成的,所以我们不能说延长某条直线,即直线不能延长.
【例1】下列说法正确的有().
①画一条射线等于5cm;②线段AB为直线AB的一部分;③在直线、射线、线段中,线段最短;④射线与其反向延长线形成一条直线.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.线段、射线、直线的表示方法
(1)线段的表示方法
①用两个表示端点的大写字母来表示.如图,以A,B为端点的线段,可记作“线段AB”或“线段BA”.
②用一个小写字母来表示.如线段AB也可记作“线段a”.
(2)射线的表示方法
用两个大写字母表示.一条射线可用它的端点和射线上的另一点来表示,如图中的射线,可记作“射线AB”(端点必须在前面).
射线的识别:
判断两条射线是否是同一条射线,首先看端点是否相同,再看延伸方向是否相同,如果这两点都符合,那么这两条射线是同一条射线.
①端点相同,延伸方向也相同的射线是同一条射线,如图射线MB,MC,MN都表示同一条射线.
②端点相同,但延伸方向不相同的射线不是同一条射线,如图中射线AB,AC就不是同一条射线.
③端点不同的射线不是同一条射线,如图中的射线BN,CN的延伸方向一致,但端点不同,所以不是同一条射线.
【例2-1】射线OA,OB表示同一条射线,下面的图形正确的是().
(3)直线的表示方法
直线有两种表示方法:
①可以用表示这条直线上任意两个点的大写字母来表示,注意表示直线上任意两个点的字母没有顺序性.如图甲中的直线可记作“直线AB”或“直线BA”;②可用一个小写字母来表示,如图乙中的直线可记作“直线l”.
图甲
图乙
辨误区线段、射线、直线的联系
①表示线段、射线、直线时,都要在字母前面注明“线段、射线或直线”;②用两个大写字母表示线段和直线时,两个字母没有顺序性,可以交换位置,如“线段BA”和“线段AB”表示同一条线段,“直线AB”和“直线BA”表示同一条直线;③表示射线的两个大写字母有一定的顺序,表示端点的字母必须写在前面.
【例2-2】如图所示,下列说法().
A.都错误 B.都正确C.只有一个正确D.有两个正确
3.直线的性质
(1)经过两点有且只有一条直线.
①它包含两层含义:
一是“肯定有”,二是“只有一条”,不会有两条、三条……;
②它可简单地说成“两点确定一条直线”.
(2)直线的其他性质:
①经过一点的直线有无数条;②不同的两条直线最多有一个交点.
【例3】工人师傅要将一块长条钢板固定在机器上,则至少要用__________个螺钉.
4.射线、线段的计数方法
射线和线段可以看做直线的一部分,因此在一条直线上,取一些点时,会出现射线和线段.
(1)点数与射线的条数
射线向一方无限延伸,因此射线的条数是由端点的个数决定的.在直线上,以一个点为端点的射线有2条,若直线上有n个点,则共有2n条射线.
(2)点数与线段的条数
线段有两个端点,直线上每两个点之间的部分就是一条线段.因此,数线段时,只要判断这些点共有多少种组合即可.
析规律数线段条数的方法
确定线段的条数时,可以先固定第一个点为一个端点,再以其余的点为另一个端点组成线段,然后固定第二个点为一个端点,与其余的点(第一个点除外)组成线段……,依此类推,直到找出最后的线段为止.
【例4】画出线段AB:
(1)如图
(1),在线段AB上画出1个点,这时图中共有几条线段?
(2)如图
(2),在线段AB上画出2个点,这时图中共有几条线段?
(3)如图(3),在线段AB上画出3个点,这时图中共有几条线段?
(4)如图(4),在线段AB上画出n个点时,猜一猜:
图中共有几条线段?
5.直线性质的应用
生活中的很多实际问题要用到直线的性质,如木工师傅在锯木料之前,先在木板上画出两个点,然后过这两个点弹条墨线,就是利用了直线的“两点确定一条直线”的性质,沿着这条线能锯成直的,而不会歪斜.
【例5】建房屋垒墙时,建筑工人都要在墙的两端固定绳子,请利用所学的知识,说明其中道理.
6.与直线有关的规律探究
(1)两点确定一条直线,在同一平面内,不同的点可以确定不同的直线.当任意三点均不在同一直线上时,点数与直线条数的关系见下表:
点的个数
最多直线条数
2
1
3
3
4
6
…
…
n(n>1)
(2)平面上若有n(n>1)条直线两两相交,则交点个数最多有n(n-1)个.
【例6】平面上有五个点,过其中任意两点画一条直线,最多能得到多少条直线?
请画出另外三种不同情
况的图形.
………………………………………………………………………………………………………………………
◆4.2比较线段的长短
1.线段的性质
(1)两点之间的距离:
两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离。
(2)线段的性质
两点之间的所有连线中,线段最短。
简述为:
两点之间,线段最短。
◇延伸拓展
①距离是指两点之间线段的长度,是一个非负数,而不是线段本身。
比如两点之间的距离不能说成是线段,而应说成线段的长度。
②连接两点的线有无数条,线段的长度最短。
连线是指以两个点为端点的任意线,包括线段,折线和曲线。
连接是指画线段。
【例1-1】已知线段,在线段上截取,则
【例1-2】如图是两地之间的公路,在公路工程改造时,为使两地行程最短,请在图中画出改造后的公路,并说明你的理由。
2.线段的画法
(1)尺规作图法
用直尺和圆规作一条线段等于已知线段。
如图,其作法是:
①画射线;②在射线上用圆规截取线段,则线段就是所求
作的线段。
上面作法中的“截取”是指以点为圆心,以的长度为半径画弧,角射线于点;尺规作图要保留作图痕迹,最后要指出所求作的图形;注意画线段时,不要向任何一方延伸。
(2)度量法
用刻度尺画一条线段等于已知线段。
画法是:
先用刻度尺量出已知线段的长度,再画一条线段,使其长度等于线段的长度。
◇延伸拓展线段和差的画法
已知两条线段。
这两条线段和的画法是:
①先画线段;②在线段的延长线上截取,则线段就是线段的和,即,如图1.
两条线段差的画法:
①先画线段;②再在线段上截取,则线段就是线段的差,即,如图2.
【例2】已知线段,用直尺和圆规作一条线段,使这条线段等于。
3.线段的中点
线段的中点:
把线段分成相等的两条线段的点叫做线段的中点。
如图,为线段的中点,则或。
◇延伸拓展
类似的,还有线段的三等分点、四等分点等。
三等分点,把线段分成相等的三条线段叫做线段的三等分点;
四等分点,把线段分成相等的四条线段叫做线段的四等分点;
………
四等分点,把线段分成相等的四条线段叫做线段的四等分点;
【例3】若是线段的中点,则()
A.B.C.D.
4.线段长短的比较
借助不同的方法比较两条线段的长短。
【例4-1】如图,若,则与的大小关系是()
【例4-2】已知三角形,试比较与的大小关系。
5.线段的有关计算
线段的有关计算是以后学习几何知识的前提。
【例5-1】如图所示,已知,分别是的中点,且,求的长。
【例5-2】如图,已知点在线段上,线段,点分别是的中点。
(1)求线段的长度;
(2)根据第
(1)题的计算过程和结果,设,其他条件不变,你能猜出的长度吗?
请表述你
发现的规律。
6.线段性质的应用
线段的性质在生活和生产中应用非常广泛,可以根据“两点之间,线段最短”确定位置。
【例6-1】某地区有四个村庄如图所示,为了解决当地的缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池,不考虑其他因素,请你帮忙画出蓄水池的位置,使它与四个村庄的距离之和最小。
【例6-2】如图所示,有一个正方体纸盒,在点处有一只小虫,它要爬到点处吃食物,应该沿着怎样的路线,才能使行程最短?
你能设计出这条路线吗?
7.易错辨析
【例7-1】若,则点是线段的中点,这种说法正确吗?
为什么?
【例7-2】已知线段,点在直线上,且,点为线段的中点,求线段
的长度。
………………………………………………………………………………………………………………………
◆4.3角
1.角的定义
(1)静态定义:
由两条具有公共端点的射线组成的几何图形叫做角.如图甲.
角的有关概念:
顶点:
两条射线的公共端点.
边:
组成角的两条射线.
(2)动态定义:
角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转所形成的几何图形.如图乙.
谈重点角的理解
(1)角有两个特征:
①角是由两条射线组成的;②这两条射线有公共的端点.
(2)角的大小与角的两边的长短无关:
由于角的两边是射线,而射线是向一方无限延伸的,所以角的大小与角的两边的长短无关,只与两条射线张开的程度有关.
【例1】下列说法错误的有().
①有公共点的两条射线形成的图形是角②从一点引出的两条射线形成的图形是角
③角的大小与两边所画的长度有关④线段绕着一个端点旋转也可以形成角
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.角的表示方法及画法
角的表示方法有四种.
(1)三个大写英文字母表示法:
用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角,如图
(1)中的角,可记为∠AOB,注意顶点的字母写在中间,每条边上的一点A,B写在两旁.
(2)顶点字母表示法:
当角的顶点处只有一个角时,也可以只用顶点的字母表示角,如图
(1)中的∠AOB也可记为∠O.
(3)阿拉伯数字表示法:
在角的顶点处加上弧线标上数字,就可以用这个数字来表示角,如图
(2)中的∠AOB可记为∠1.
(4)希腊字母表示法:
在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母(α,β,γ等),就可以用这个小写希腊字母来表示角,如图
(2)中的∠BOC可记为∠α.这种方法与数字表示法实际上是一样的.
释疑点表示角时的注意事项
①以上四种表示方法的前面必须加上角的符号“∠”.
②表示角所用的符号“∠”,不能写成小于号“<”.
③当一个顶点处有两个以上的角时,不能用顶点字母表示法来表示角,如图
(2)中以O为顶点的角有∠1,∠α,∠AOC,就不能用∠O来表示了.否则,就会产生混乱.
3.平
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- 北师大 初一 数学 讲义 第四 基本 平面 图形
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