北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题.doc
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八下·实数
实数
知识点一、【平方根】如果一个数x的平方等于a,那么,这个数x就叫做a的平方根;也即,当时,我们称x是a的平方根,记做:
。
因此:
1、当a=0时,它的平方根只有一个,也就是0本身;
2、当a>0时,也就是a为正数时,它有两个平方根,且它们是互为相反数,通常记做:
。
3、当a<0时,也即a为负数时,它不存在平方根。
例1.
(1)的平方是64,所以64的平方根是;
(2)的平方根是它本身。
(3)若的平方根是±2,则x= ;的平方根是
(4)当x时,有意义。
(5)一个正数的平方根分别是m和m-4,则m的值是多少?
这个正数是多少?
知识点二、【算术平方根】:
1、如果一个正数x的平方等于a,即,那么,这个正数x就叫做a的算术平方根,记为:
“”,读作,“根号a”,其中,a称为被开方数。
特别规定:
0的算术平方根仍然为0。
2、算术平方根的性质:
具有双重非负性,即:
。
3、算术平方根与平方根的关系:
算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。
因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:
;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为:
。
例2.
(1)下列说法正确的是()
A.1的立方根是;B.;(C)、的平方根是;(D)、0没有平方根;
(2)下列各式正确的是()
A、B、C、D、
(3)的算术平方根是。
(4)若有意义,则___________。
(5)已知△ABC的三边分别是且满足,求c的取值范围。
(7)如果x、y分别是4-的整数部分和小数部分。
求x-y的值.
(8)求下列各数的平方根和算术平方根.
64;;0.0004;(-25)2;11.
1.44,0,8,,441,196,10-4
(9)()2等于多少?
()2等于多少?
(10)()2等于多少?
(11)对于正数a,()2等于多少?
我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算,乘与除互为逆运算,乘方与开方互为逆运算.
知识点三、【开平方性质】
(1)=_________,=_________;
(2)
(2)=_________,=_________;
(3)=_________,=_________;
(4)(4)_________,=_________.
知识点四、【立方根】:
1、如果x的立方等于a,那么,就称x是a的立方根,或者三次方根。
记做:
,读作,3次根号a。
注意:
这里的3表示的是根指数。
一般的,平方根可以省写根指数,但是,当根指数在两次以上的时候,则不能省略。
2、平方根与立方根:
每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根;但是,并不是每个数都有平方根,只有非负数才能有平方根。
例3.
(1)64的立方根是
(2)若,则b等于()
A.1000000 B.1000 C.10 D.10000
(3)下列说法中:
①都是27的立方根,②,③的立方根是2,④。
其中正确的有()
A、1个B、2个C、3个D、4个
知识点五、【无理数】:
1、无限不循环小数叫做无理数;它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
在初中阶段,无理数的表现形式主要包含下列几种:
(1)特殊意义的数,如:
圆周率以及含有的一些数,如:
2-,3等;
(2)开方开不尽的数,如:
等;(3)特殊结构的数:
如:
2.01001000100001…(两个1之间依次多1个0)等。
应当要注意的是:
带根号的数不一定是无理数,如:
等;无理数也不一定带根号,如:
2、有理数与无理数的区别:
(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数;
(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。
例4.
(1)下列各数:
①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003……(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、其中是有理数的有_______;是无理数的有_______。
(填序号)
(2)有五个数:
0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有()个
A2B3C4D5
知识点六、【实数】:
1、有理数与无理数统称为实数。
在实数中,没有最大的实数,也没有最小的实数;绝对值最小的实数是0,最大的负整数是-1,最小的正整数是1.
2、实数的性质:
实数a的相反数是-a;实数a的倒数是(a≠0);实数a的绝对值|a|=,它的几何意义是:
在数轴上的点到原点的距离。
3、实数的大小比较法则:
实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同:
即正数大于0,0大于负数;正数大于负数;两个正数,绝对值大的就大,两个负数,绝对值大的反而小。
(在数轴上,右边的数总是大于左边的数)。
对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
4、实数的运算:
在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。
运算法则和运算顺序与有理数的一致。
例5.
(1)下列说法正确的是();
A、任何有理数均可用分数形式表示;B、数轴上的点与有理数一一对应;
C、1和2之间的无理数只有;D、不带根号的数都是有理数。
(2)①a,b在数轴上的位置如图所示,则下列各式有意义的是()
b
0
a
A、B、C、D、
(3)如右图所示的数轴上,点B与点C关于点A对称,A、B两点对应的实数是和-1,则点C所对应的实数是()
A.1+B.2+C.2-1D.2+1
(4)实数、在轴上的位置如图所示,且,则化简的结果为()
A.B.C.D.
(5)比较大小(填“>”或“<”).
3,,,,
(6)将下列各数:
,用“<”连接起来;______________________________________。
(7)若,且,则:
=。
(8)计算:
(9)已知:
,求代数式的值。
基础练习一
一、选择题
1.下列数中是无理数的是()A.0.12 B. C.0 D.
2.下列说法中正确的是()
A.不循环小数是无理数B.分数不是有理数C.有理数都是有限小数D.3.1415926是有理数
3.下列语句正确的是()
A.3.78788788878888是无理数B.无理数分正无理数、零、负无理数
C.无限小数不能化成分数D.无限不循环小数是无理数
4.在直角△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=2,则AB为()
A.整数 B.分数 C.无理数 D.不能确定
5.面积为6的长方形,长是宽的2倍,则宽为()A.小数 B.分数 C.无理数 D.不能确定
6.的化简结果是()A.2 B.-2C.2或-2 D.4
7.9的算术平方根是()A.±3B.3C.± D.
8.(-11)2的平方根是A.121B.11C.±11D.没有平方根
9.下列式子中,正确的是()
A. B.-=-0.6C.=13 D.=±6
10.7-2的算术平方根是()A. B.7C. D.4
11.16的平方根是()A.±4 B.24C.± D.±2
12.一个数的算术平方根为a,比这个数大2的数是()
A.a+2 B.-2C.+2D.a2+2
13.下列说法正确的是()
A.-2是-4的平方根B.2是(-2)2的算术平方根C.(-2)2的平方根是2D.8的平方根是4
14.的平方根是()A.4 B.-4C.±4 D.±2
15.的值是()A.7 B.-1C.1 D.-7
16.下列各数中没有平方根的数是()A.-(-2)3 B.3-3 C.a0 D.-(a2+1)
17.等于()A.a B.-a C.±a D.以上答案都不对
18.如果a(a>0)的平方根是±m,那么()
A.a2=±m B.a=±m2C.=±m D.±=±m
19.若正方形的边长是a,面积为S,那么()
A.S的平方根是a B.a是S的算术平方根C.a=± D.S=
二、填空题
1.在0.351,-,4.969696…,6.751755175551…,0,-5.2333,5.411010010001…中,无理数的个数有______.
2.______小数或______小数是有理数,______小数是无理数.
3.x2=8,则x______分数,______整数,______有理数.(填“是”或“不是”)
4.面积为3的正方形的边长______有理数;面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”)
5.的平方根是_________;6.(-)2的算术平方根是_________;
7.一个正数的平方根是2a-1与-a+2,则a=_________,这个正数是_________;
8.的算术平方根是_________;9.9-2的算术平方根是_________;
10.的值等于_____,的平方根为_____;11.(-4)2的平方根是____,算术平方根是_____.
三.判断题
1.-0.01是0.1的平方根.()
2.-52的平方根为-5.()
3.0和负数没有平方根.()
4.因为的平方根是±,所以=±.()
5.正数的平方根有两个,它们是互为相反数.()
四、解答题
1.已知:
在数-,-,π,3.1416,,0,4
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- 北师大 八年 级数 上册 第二 实数 知识点 习题
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