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第一节首先简要回顾一下Muckenhoupt权和Duoandikoetxea径向权的定义及性质,然后介绍Muckenhoupt权在乘积空间R~n×
R~m上的几个等价定义和性质,最后在空间R~n×
R~m上引入一类径向权,并进一步讨论它的性质。
第二节主要阐述下文中需要的一些基本函数空间及其性质。
第二章主要讨论粗糙的强奇异积分T_(Ω,α,β)(α,β≥0),分数次积分算子和Littlewood-Paley函数在乘积Triebel-Lizorkin空间上的有界性。
首先设S~(N-1)(N=n或者m)是R~N(N≥2)中的单位球面,其上测度为dσ=dσ(·
)。
对于任意非零的z∈R~N,我们定义z'
=(?
粗糙的强奇异积分算子T_(Ω,α)及其极大算子T_(Ω,α)~*定义为对于所有的f∈S(R~n)(速降函数空间)。
其中b是一径向的L~∞函数,Ω∈L~1(S~(n-1))是零次齐次函数,且满足消失性条件其中Y_k是次数k≤[α]的球面调和多项式。
1969年,Wheeden[90]首先研究得到0<α<2,b≡1,Ω∈L~1(S~(n-1))∩(0.0.3)时,T_(Ω,α)是((?
),L~p)和弱((?
),L~1)有界的,其中(?
)是齐次Sobolev空间。
2003年,Chen,Fan和Ying[19]考虑T_(Ω,α),T_(Ω,l)~*(l是整数)在α>0的情形,证明了下述定理:
定理0.0.1设1<p<∞,(?
)=max{p,p/(p-1)}。
若Ω∈H~r(S~(n-1)),r=(n-1)/(n-1+α)且满足消失性条件(0.0.3),其中Y_k的次数k≤N,2(N+1)>α(?
),则存在与f无关的常数C>0,使得
随后,文献[11,25]的作者都去掉了α=l的限制,并减弱了定理0.0.1中Ω的消失性,只要求Ω的消失性满足条件(0.0.3)。
[24]中进一步讨论了此算子的加权有界性。
与此同时在文献[18]中,Chen,Fan和Ying还研究了算子T_(Ω,α)在齐次Triebel-Lizorkin空间上的有界性,得到如下定理:
定理0.0.2设1<q,p<∞,(?
)=max{p,p/(p-1)),(?
)=max{q,q/(q-1)},α>0。
若Ω∈H~r(S~(n-1)),r=(n-1)/(n-1+α)且满足消失性条件(0.0.3),其中Y_k的次数k≤N,4(N+1)>α(?
则存在与f无关的常数C>0,使得
粗糙的强奇异积分算子T_(Ω,α,β)(α,β≥0)在乘积空间R~n×
R~m上定义为对于所有的f∈S(R~n×
R~m),其中b是一径向的L~∞函数,Ω∈L~1(S~(n-1)×
S~(m-1))且满足这里γ_1,γ_2是多重指标,K和J是某个整数。
特别地,当α=0(β=0)时,K=0(J=0)。
当α=β=0时,我们把T_(Ω,α,β)简记为T_Ω,即为通常乘积空间上的奇异积分算子。
1982年,Fefferman和Stein[51]用平方函数的方法证明当b≡1,核Ω满足一定光滑性和消失性时,T_Ω在L~p(R~n×
R~m)上有界,其中1<p<∞。
1986年,Duoandikoetea和RubioDeFrancia[43]用Fourier估计结合Littlewood-Paley理论的方法证明在b∈△_2,Ω∈L~r(S~(n-1)×
S~(m-1))∩(0.0.5),r>1的条件下上述结论成立。
2002年,Chen[13]用旋转法将核条件减弱为Ω∈L(log~+L)~2(S~(n-1)×
S~(m-1))。
2006年,Al-Salman等在[4]中用不同的方法得到此结果。
期间,许多作者都深入研究了这一问题,改进推广了核的条件,可以参考文献[22,34,35,92,97,99]等。
Wang[86]则将Chen的结果推广到齐次的乘积Triebel-Lizorkin空间(?
对于α,β≥0的情况,Chen在其博士论文[24]中研究得到了如下定理:
定理0.0.3设1<p<∞,(?
)=max{p,p/(p-1)},b∈L~∞(R_+~1×
R_+~1)。
设Ω∈L(log~+L)~2(S~(n-1)×
S~(m-1))且满足条件(0.0.5),其中4(K+1)>α(?
),4(J+1)>β(?
本章还将研究两类算子。
设0<α<n,0<β<m,粗糙的分数次积分算子F_(Ω,α,β)在乘积空间R~n×
R~m),其中b∈L~∞(R_+~1×
R_+~1),Ω∈L~1(S~(n-1)×
设σ∈L~1(R~n×
R~m),可以定义σ_(s,t)(x,y)=2~(-sn-tm)σ(?
σ_(s,t)的Fourier变换表示为(?
)(ξ,η)=(?
)(2~sξ,2~tη)。
Littlewood-Paleyg函数g(f)在乘积空间上定义为对于所有的f∈S(R~n×
R~m),其中F_(s,t)(f)(x,y)=σ_(s,t)*f(x,y)。
对于任意实数α,β,我们定义
文献[18]证明了R~n中上述两类算子(单变量情形)在齐次的Triebel-Lizorkin空间上的有界性。
利用Fourier估计与Littlewood-Paley分解理论的相结合的方法,本章将把奇异积分算子T_(Ω,α,β)的有界性推广到齐次的乘积Triebel-Lizorkin空间中。
利用文献[12,96]中的思想,我们同时减弱了[24]中Ω的消失性条件。
使用同样的方法,也得到上述两类算子在此空间的有界性。
主要结果可以概括为
定理0.0.4设1<q,p<∞,b∈L~∞(R_+~1×
R_+~1),(?
)=(α_o,β_o)∈R×
R,(?
)=(α_o+α,β_o+β)。
若Ω满足条件(0.0.5),其中K≥[α],J≥[β]。
假设
当α,β>0时,Q∈L~1(S~(n-1)×
S~(m-1));
当αβ=0且α+β>0时,Ω∈L(log~+L)(S~(n-1)×
S~(m-1)).则存在与f无关的常数C>0,使得
定理0.0.5设1<q,p<∞,(?
)=max{p,p/(p-1)},(?
)=max{q,q/(q-1)},(?
)=(α_o,αβ_o)∈R×
)=(α_o-α,β_o-β)。
假设Ω∈L~r(S~(n-1)×
S~(m-1)),r>1。
若0<α,β<(?
定理0.0.6设1<q,p<∞,(?
)=(α,β)∈R×
R。
若α∈(-μ_2,μ_1),β∈(-v_2,v_1)且满足-(?
)<α<(?
),-(?
)<β<(?
),其中σ满足条件:
(i)‖(?
)|σ_(s,t)|*f‖_(L~p(R~n×
R~m))≤C‖f‖_(L~p(R~n×
R~m)),(?
)f∈S(R~n×
R~m),1<p<∞,
(ii)|(?
)(ξ,η)|≤Cmin{|ξ|~(μ_1)|η|~(v_1),|ξ|~(μ_1)|η|~(-v_2),|ξ|~(-μ_2)|η|~v_1,|ξ|~(-μ_2)|η|~(-v_2)},对某个μ_i,v_i>0,i=1,2.则存在与f无关的常数C>0,使得
给出定理0.0.6的一个应用。
设B(u,v)支集在[0,1]~2上且满足记和其中α,β∈R,Ω∈L~1(S~(n-1)×
S~(m-1))满足条件(0.0.5)。
我们很容易得到定理0.0.6的如下推论:
推论0.0.1设(?
)同定理0.0.6中所定义的。
S~(m-1)),r>1且满足(0.0.5)。
若α,β∈(?
),则有其中C>0是与函数,无关的常数。
特别地,令B(u,v)=b(2~su,2~tv)_(χI)(u,v),其中I=[0,1]~2。
令M_(s,t)(f)(x,y)=σ_(s,t)*f(x,y),则就是我们所熟知的乘积空间上的Marcinkiewicz积分算子。
推论0.0.2设函数b满足(0.0.9),其它条件同推论0.0.1,则有其中C>0是与函数f无关的常数。
第三章主要研究粗糙的极大强奇异积分算子T_(Ω,α,β)~*(α,β≥0)在乘积空间上的有界性。
首先给出它的定义:
对于所有的f∈S(R~n×
R~m),其中b_1,b_2是径向的L~∞函数,Ω∈L~1(S~(n-1)×
S~(m-1))且满足条件(0.0.5)。
当α=β=0时,我们把T_(Ω,α,β)~*简记为T_Ω~*,即为通常乘积空间上的极大奇异积分算子。
我们简单回顾下其研究历史。
1982年,Fefferman和Stein[51]用平方函数的方法证明当b_1≡b_2≡1,核Ω满足一定光滑性和消失性时,T_Ω~*在L~p(R~n×
1988年,Krug[60]用旋转法得到若b_1≡b_2≡1,Ω∈L~1(S~(n-1)×
S~(m-1)),且Ω(-x'
y'
)=-Ω(x'
)=Ω(x'
),则T_Ω~*是L~p有界的。
2002年,Wang在其博士论文[86]中证明在b_1,b_2∈L~∞,Ω∈L~r(S~(n-1)×
S~(m-1))∩(0.0.5),r>1的条件下上述结论成立,以及当b_1≡b_2≡1,核Ω满足某类Grafakos和Stefanov核条件GS_3~*(γ)∩(0.0.5),γ>0时,对于p∈(?
),T_Ω~*是L~p有界的。
2006年,Al-Salman,Al-Qassem和Pan[4]将核条件减弱为Ω∈L(log~+L)~2(S~(n-1)×
本章进一步推广了上述结果,得到下述主要定理:
定理0.0.7设1<p<∞,α,β≥0,b_1,b_2∈L~∞(R_+~1)。
当α,β>0时,Ω∈L~1(S~(n-1)×
S~(m-1)).则有其中C>0是与函数f无关的常数。
第四章考虑一类广义的Marcinkiewicz积分在乘积空间上的加权有界性。
1958年,Stein[76]首先在高维空间上定义Marcinkiewicz积分算子μ_Ω为其中Ω∈L~1(S~(n-1))是零次齐次函数且满足消失性条件
他同时讨论了此算子的L~p有界性的。
而后许多作者深入研究了这一问题。
1990年,Torchinsky和Wang[81]证明如果Ω∈Lip_γ,0<γ≤1,b≡1,则对于1<p<∞,μ_Ω是L~p(w)有界的,其中w∈A_p(Muckenhoupt权类)。
1998年,Sato[75]将核条件减弱为Ω∈L~∞(S~(n-1))。
1999年,Ding等[38]证明如果Ω∈L~r(S~(n-1)),r>1,且满足下列任一条件:
对于r'
<p<∞,w∈A_(p/r'
);
对于1<p<r,w~(1-p'
)∈A_(p'
/r'
对于1<p<∞,w~(r'
)∈A_p,则上述结论成立。
2002年,Duoandikoetea和Seijo[44]分别用不同的方法得到此结论。
2004年,文献[62]的作者们证明若Ω∈H~1(S~(n-1)),则μ_Ω是加权有界的对于Duoandikoetxea[42]中引进的径向权RA_p(R~n)交上方体权A_p~I(R~n)。
2008年,Zhang[102]引进一类新的径向权(?
)(R~n)(RA_p(?
)A_p~I),并证明用(?
)取代RA_p∩A_p~I结论仍然成立。
本章我们将研究的一类广义的Marcinkiewicz积分算子μ_(Ω,α,β)(α,β≥0)定义为其中b∈L~∞(R_+~1×
当α=β=0时,我们把μ_(Ω,α,β)简记为μ_Ω,这就是乘积空间上的经典Marcinkiewicz积分算子。
2000年,Chen,Ding和Fan[14]在Ω∈L~r(S~(n-1)×
S~(m-1))∩(0.0.5),r>1的条件下证明了μ_Ω的L~p(1<p<∞)有界性。
2001年,Chen等[17]将核条件减弱为Ω∈L(log~+L)~2(S~(n-1)×
2002年,他们在[18]中又改进了核条件。
2005年,Al-Salman等[3],Wang等[87]和Li[65]都证明Ω∈L(log~+L)(S~(n-1)×
S~(m-1))∩(0.0.5)时,结论成立。
还有一些不同于上述核空间的研究结果。
可以参看文献[1,64,100]。
关于单变量算子μ_(Ω,α)(α≥0)在齐次Sobolev空间上的有界性可以参考文献[91,58]。
2005年,Jiang[56]继续研究,μ_(Ω,α,β)(α,β≥0)的有界性,结果如下:
定理0.0.8设1<p<∞,(?
若Ω∈L(log~+L)~2(S~(n-1)×
S~(m-1))且满足条件(0.0.5),其中K>[(?
)-1],J>[(?
)-1]。
本章仍采用Fourier估计与Littlewood-Paley分解理论相结合的方法,应用乘积空间上权(?
)(R~n×
R~m)的性质,研究了μ_(Ω,α,β)的加权有界性。
同时根据文献[12,96]中的思想,减弱了[56]中Ω的消失性条件。
主要结果可以概括如为:
定理0.0.9设1<p<∞,w∈(?
R~m)。
令α,β≥0,b∈L~∞(R_+~1×
Ω∈L~1(S~(n-1)×
S~(m-1)),当α,β>0时;
Ω∈L(log~+L)(S~(n-1)×
S~(m-1)),当αβ=0且α+β>0时;
Ω∈L(log~+L)~2(S~(n-1)×
S~(m-1)),当α=β=0时.则有其中C>0是与函数f无关的常数。
最后一章我们主要讨论变量核参数型Marcinkiewicz积分的有界性。
先给出一些定义。
我们称定义在R~n×
R~m上的函数Ω(x,y)属于L~∞(R~n)×
L~r(S~(n-1)),r≥1,如果Ω满足下列条件:
1.Ω(x,λy)=Ω(x,y),(?
)x,y∈R~n,λ>0,
2.‖Ω‖_(L~∞(R~n)×
L~r(S~(n-1)))=sup_(x∈R~n)((?
)(x,y'
)|~rdσ(y'
))~(1/r)<∞,其中y'
=y/|y|,(?
)y∈R~n\{0}。
又称Ω满足消失性条件
变量核奇异积分算子T_Ω定义为1948年,Mihlin在文献[69]中首先定义研究了这一算子,也可参看[70]。
1955年,Calderon和Zygmund[8]研究证明了T_Ω的L~2有界性。
1978年,他们又进一步研究了其L~p有界性。
这类算子可以应用于求解变系数的二阶线性椭圆型方程。
本章将研究变量核参数型Marcinkiewicz积分算子μ_Ω~ρ,定义为
若ρ=1,简记μ_Ω~ρ为μ_Ω,即为变量核Marcinkiewicz积分。
2004年,Ding,Lin和Shao[40]证明核Ω满足消失性条件(0.0.15),如果Ω∈L~∞(R~n)×
L~r(S~(n-1)),r>(?
),μ_Ω是L~2有界的,在L~1-Dini条件下是H~1(R~n)到L~1(R~n)有界的,在某类Dini条件下是弱(1,1)的,并且通过插值得到了μ_Ω的L~p(1<p<2)的有界性。
文献[95]中得到μ_Ω~ρ的L~2有界性,在0<ρ<n,Ω∈L~∞(R~n)×
L~r(S~(n-1))∩(0.0.15),r>(?
)的条件下。
Ding和Li[41]同样获得μ_Ω~ρ(0<ρ≤n/2)的L~2(R~n)有界性。
2007年,Li在[66]中研究得到μ_Ω~ρ(0<ρ<n)是L~p(1<p≤2)有界的,在Ω∈L~∞(R~n)×
L~∞(S~(n-1))且满足(0.0.15)和
本章将采用文献[27]的思想,获得向量值算子的混合模范数估计,从而得到μ_Ω~ρ的L~p有界性,其中Ω关于第二个变量是奇函数。
此外,也进一步推广和改进了文献[40]中的一些结果。
主要结果如下:
定理0.0.10设0<ρ<n,Ω∈L~∞(R~n)×
)且满足条件(0.0.15)。
如果Ω(x,y'
)关于第二个变量y'
是奇函数,则对于1<p≤max{(?
),2),存在不依赖于函数f的常数C>0,使得
定理0.0.11设O<ρ<n,Ω∈L~∞(R~n)×
)且满足条件(0.0.15)和L~1-Dini条件。
则对于1<p≤2,有其中常数C>0与函数f无关。
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