北师大版七年级下全等三角形压轴题分类解析.doc
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七年级下三角形综合题归类
一、双等边三角形模型
1.
(1)如图7,点O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连结AC和BD,相交于点E,连结BC.求∠AEB的大小;
(2)如图8,ΔOAB固定不动,保持ΔOCD的形状和大小不变,将ΔOCD绕着点O旋转(ΔOAB和ΔOCD不能重叠),求∠AEB的大小.
C
B
O
D
图7
A
E
B
A
O
D
C
E
图8
2.已知:
点C为线段AB上一点,△ACM,△CBN都是等边三角形,且AN、BM相交于O.
①求证:
AN=BM
②求∠AOB的度数。
③若AN、MC相交于点P,BM、NC交于点Q,求证:
PQ∥AB。
(湘潭·中考题)A
B
C
M
N
O
P
Q
同类变式:
如图a,△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF和BE.
(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?
请证明你的结论;
(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度,得到图b,
(1)中的结论还成立吗?
作出判断并说明理由;
(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度,请你画出一个变换后的图形c(草图即可),
(1)中的结论还成立吗?
作出判断不必说明理由.
图c
3.如图9,若△和△为等边三角形,分别为的中点,易证:
,△是等边三角形.
(1)当把△绕点旋转到图10的位置时,是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(2)当△绕点旋转到图11的位置时,△是否还是等边三角形?
若是,请给出证明,若不是,请说明理由.
图9 图10图11
图8
同类变式:
已知,如图①所示,在和中,,,,且点在一条直线上,连接分别为的中点.
(1)求证:
①;②;
C
E
N
D
A
B
M
图①
C
A
E
M
B
D
N
图②
(2)在图①的基础上,将绕点按顺时针方向旋转,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出
(1)中的两个结论是否仍然成立.
4.如图,四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形,连接BG与DE相交于点H.
(1)证明:
△ABG△ADE;
(2)试猜想BHD的度数,并说明理由;
(3)将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转(0°<BAE<180°),设△ABE的面积
C
F
G
E
D
B
A
H
为,△ADG的面积为,判断与的大小关系,并给予证明.
5.已知:
如图,是等边三角形,过边上的点作,交于点,在的延长线上取点,使,连接.
(1)求证:
;
(2)过点作,交于点,请你连接,并判断是怎样的三角形,试证明你的结论.
二、垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容)
考点1:
利用垂直证明角相等
1.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE,垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.
求证:
(1)AE=CD;
(2)若AC=12cm,求BD的长.
2.(西安中考)如图
(1),已知△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、C在A、E的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E。
图
(1)图
(2)图(3)
(1)试说明:
BD=DE+CE.
(2)若直线AE绕A点旋转到图
(2)位置时(BD 写结论,并说明理由。 (3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE),其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何? 写出结论,可不说明理由。 3.直线CD经过的顶点C,CA=CB.E、F分别是直线CD上两点,且. (1)若直线CD经过的内部,且E、F在射线CD上,请解决下面两个问题: ①如图1,若,则(填“”,“”或“”号); ②如图2,若,若使①中的结论仍然成立,则与应满足的关系是; (2)如图3,若直线CD经过的外部,,请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系,并给予证明. A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图1 图2 图3 考点2: 利用角相等证明垂直 1.已知BE,CF是△ABC的高,且BP=AC,CQ=AB,试确定AP与AQ的数量关系和位置关系 2.如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF. (1)求证: CD=BF; (2)求证: AD⊥CF; (3)连接AF,试判断△ACF的形状. 拓展巩固: 如图9所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证: ∠ADC=∠BDE. A B C D E F 图9 (提示: 对比此题的条件和上面那题的条件,对比此题的图形和上题的图像,有什么区别和联系? ) 3.如图1,已知正方形的边在正方形的边上,连接,. (1)试猜想与有怎样的位置关系,并证明你的结论; (2)将正方形绕点按顺时针方向旋转,使点落在边上,如图2,连接和.你认为 (1)中的结论是否还成立? 若成立,给出证明;若不成立,请说明理由. 4.如图1,的边BC在直线上,且的边也 在直线上,边与边重合,且 (1)在图1中,请你通过观察、测量,猜想并写出与所满足的 数量关系和位置关系; (2)将沿直线向左平移到图2的位置时,交于点,连接 .猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想; (3)将沿直线向左平移到图3的位置时,的延长线交的延长 线于点Q,连结,你认为 (2)中所猜想的与的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗? 若成立,给出证明;若不成立,请说明理由. l (1) A B (F) (E) C P A B E C F P Q (2) l A B E C F P l (3) Q 三、等腰三角形(中考重难点之一) 考点1: 等腰三角形性质的应用 1.如图,中,,,是中点,,与交于,与交于.求证: ,. 2.两个全等的含,角的三角板和三角板,如图所示放置,三点在一条直线上,连结,取的中点,连结.试判断的形状,并说明理由. 压轴题拓展: (三线合一性质的应用)已知中,,,为边的中点,,绕点旋转,它的两边分别交、(或它们的延长线)于、. 当绕点旋转到于时(如图1),易证.当绕点旋转到和不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立? 若成立,请给予证明;若不成立,,,又有怎样的数量关系? 请写出你的猜想,不需证明. 提示: 此题为上面题目的综合应用,思路与第一题相似。 3.已知: 如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G。 (1)BF=AC (2)CE=BF(3)CE与BC的大小关系如何。 考点2: 等腰直角三角形(45度的联想) 1.如图1,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点。 直角三角尺的一条直角边 经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与∠CBM 的平分线BF相交于点F. ⑴如图14―1,当点E在AB边的中点位置时: ①通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是; ②连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是; ③请证明你的上述两猜想. ⑵如图14―2,当点E在AB边上的任意位置时,请你在AD边上找到一点N, 使得NE=BF,进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明 2.在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC的中点,DG⊥AC交AB于点G. (1)如图1,E为线段DC上任意一点,点F在线段DG上,且DE=DF,连结EF与CF,过点F作FH⊥FC,交直线AB于点H. ①求证: DG=DC ②判断FH与FC的数量关系并加以证明. 图1 图2 (2)若E为线段DC的延长线上任意一点,点F在射线DG上, (1)中的其他条件不变,借助图2画出图形。 在你所画图形中找出一对全等三角形,并判断你在 (1)中得出的结论是否发生改变.(本小题直接写出结论,不必证明) 同类变式: (期末考试原题哦)已知: △ABC为等边三角形,M是BC延长线上一点,直角三角尺的一条直角边经过点A,且60º角的顶点E在BC上滑动,(点E不与点B、C重合),斜边与∠ACM的平分线CF交于点F (1)如图 (1)当点E在BC边得中点位置时 猜想AE与EF满足的数量关系是. 连结点E与AB边得中点N,猜想BE和CF满足的数量关系是 . 请证明你的上述猜想; (2)如图(2)当点E在BC边得任意位置时,AE和EF有怎样的数量关系,并说明你的理由? E 四、角平分线问题 1.如图: E在线段CD上,EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA,∠AEB=90°,设AD=, BC=,且满足 (1)求AD和BC的长; (2)你认为AD和BC还有什么关系? 并验证你的结论; A C B D E (3)你能求出AB的长度吗? 若能,请写出推理过程;若不能,请说明理由. 2.如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。 请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题: (1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。 请你判断并写出FE与FD之间的数量关系; (第23题图) O P A M N E B C D F A C E F B D 图① 图② 图③ (2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而 (1)中的其它条件不变,请问,你在 (1)中所得结论是否仍然成立? 若成立,请证明;若不成立,请说明理由。 3.(北京市中考模拟题)如图,在四边形中,平分,过作,并且,则等于多少? 4.如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. (1)说明BE=CF的理由; (2)
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