数学必修2全册同步检测222.docx
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数学必修2全册同步检测222
2-2-2平面与平面平行的判定
一、选择题
1.如果两个平面分别经过两条平行线中的一条,那么这两个平面( )
A.平行B.相交
C.垂直D.都可能
2.直线l∥平面α,直线m∥平面α,直线l与m相交于点P,且l与m确定的平面为β,则α与β的位置关系是( )
A.相交B.平行
C.异面D.不确定
3.在长方体ABCD-A′B′C′D′中,下列正确的是( )
A.平面ABCD∥平面ABB′A′
B.平面ABCD∥平面ADD′A′
C.平面ABCD∥平面CDD′C′
D.平面ABCD∥平面A′B′C′D′
4.如图所示,设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点,则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是( )
A.平行B.相交
C.异面D.不确定
5.经过平面α外两点,作与α平行的平面,则这样的平面可以作( )
A.1个或2个B.0个或1个
C.1个D.0个
6.已知直线l,m,平面α,β,下列命题正确的是( )
A.l∥β,l⊂α⇒α∥β
B.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α⇒α∥β
C.l∥m,l⊂α,m⊂β⇒α∥β
D.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,l∩m=M⇒α∥β
7.下列结论中:
(1)过不在平面内的一点,有且只有一个平面与这个平面平行;
(2)过不在平面内的一条直线,有且只有一个平面与这个平面平行;
(3)过不在直线上的一点,有且只有一条直线与这条直线平行;
(4)过不在直线上的一点,有且仅有一个平面与这条直线平行.
正确的序号为( )
A.
(1)
(2)B.(3)(4)
C.
(1)(3)D.
(2)(4)
8.若平面α∥平面β,直线a∥α,点B∈β,则在平面β内过点B的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一一条与a平行的直线
9.a、b、c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合平面,现给出六个命题
①
⇒a∥b;②
⇒a∥b;
③
⇒α∥β;④
⇒α∥β;
⑤
⇒α∥a;⑥
⇒a∥α.
其中正确的命题是( )
A.①②③B.①④⑤
C.①④D.①③④
10.如图是四棱锥的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:
①平面EFGH∥平面ABCD;
②平面PAD∥BC;
③平面PCD∥AB;
④平面PAD∥平面PAB.
其中正确的有( )
A.①③B.①④
C.①②③D.②③
二、填空题
11.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面的位置关系是________.
12.平面α内任意一条直线均平行于平面β,则平面α与平面β的位置关系是________.
13.已知平面α和β,在平面α内任取一条直线a,在β内总存在直线b∥a,则α与β的位置关系是________(填“平行”或“相交”).
14.如下图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,
①BM∥平面DE;
②CN∥平面AF;
③平面BDM∥平面AFN;
④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中,正确命题的序号是________.
三、解答题
15.在三棱锥P-ABC中,E、F、G分别在侧棱PA、PB、PC上,且
=
=
=
,求证平面EFG∥平面ABC.
[分析] 要证平面EFG∥平面ABC,依据判定定理需在平面EFG内寻找两条相交直线分别与平面ABC平行,考虑已知条件的比例关系可产生平行线,故应从比例关系入手先找线线平行关系.
16.如下图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC和SC的中点.求证:
平面EFG∥平面BDD1B1.
[分析] 证明平面与平面平行转化为证明线面平行,即转化为证明直线FG∥平面BDD1B1,EG∥平面BDD1B1.
17.已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点,且SA=SB=SC,SG为△SAB边AB上的高,D、E、F分别是AC、BC、SC的中点,试判断SG与平面DEF的位置关系,并给予证明.
[分析1] 观察图形容易看出SG∥平面DEF.要证明此结论成立,只须证明SG与平面DEF内的一条直线平行.考虑到题设条件中众多的中点,可应用三角形中位线性质.
观察图形可以看出:
连接CG与DE相交于H,连接FH,FH就是适合题意的直线.
怎样证明SG∥FH?
只需证明H是CG的中点.
18.如下图,F,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1,AA1的中点,求证:
平面BDF∥平面B1D1H.
详解答案
1[答案] D
[解析] 过直线的平面有无数个,考虑两个面的位置要全面.
2[答案] B
3[答案] D
4[答案] A
[解析] ∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点,
∴A1D1∥E1F1,又A1D1⊄平面BCF1E1,E1F1⊂平面BCF1E1,
∴A1D1∥平面BCF1E1.
又E1和E分别是A1B1和AB的中点,
∴A1E1綊BE,∴四边形A1EBE1是平行四边形,
∴A1E∥BE1,
又A1E⊄平面BCF1E1,BE1⊂平面BCF1E1,
∴A1E∥平面BCF1E1,
又A1E⊂平面EFD1A1,A1D1⊂平面EFD1A1,A1E∩A1D1=A1,
∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
5[答案] B
[解析] 当两点确定的直线与α平行时,可作一个平面与α平行;当过两点的直线与α相交时,不能作与α平行的平面.
6[答案] D
[解析] 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB∥CD,则直线AB∥平面DC1,直线AB⊂平面AC,但是平面AC与平面DC1不平行,所以选项A错误;取BB1的中点E,CC1的中点F,则可证EF∥平面AC,B1C1∥平面AC.又EF⊂平面BC1,B1C1⊂平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行,所以选项B错误;直线AD∥B1C1,AD⊂平面AC,B1C1⊂平面BC1,但平面AC与平面BC1不平行,所以选项C错误;很明显选项D是两个平面平行的判定定理,所以选项D正确.
7[答案] C
8[答案] A
[解析] 当直线a⊂β,B∈a上时满足条件,此时过B不存在与a平行的直线,故选A.
9[答案] C
[解析] ①三线平行公理
②两直线同时平行于一平面,这二直线可相交,平行或异面,
③二平面同时平行于一直线,这两个平面相交或平行,
④面面平行传递性,
⑤一直线和一平面同时平行于另一直线,这条直线和平面平行或直线在平面内,
⑥一直线和一平面同时平行于另一平面,这直线和平面可能平行也可能直线在平面内,故①、④正确.
10[答案] C
[解析] 把平面展开图还原为四棱锥如图所示,则EH∥AB,所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD,所以平面EFGH∥平面ABCD;平面PAD,平面PBC,平面PAB,平面PDC均是四棱锥的四个侧面,则它们两两相交.
∵AB∥CD,
∴平面PCD∥AB.
同理平面PAD∥BC.
11[答案] 平行
12[答案] 平行
[解析] 由于平面α内任意一条直线均平行于平面β,则平面α内有两条相交直线平行于平面β,所以α∥β.
13[答案] 平行
[解析] 假若α∩β=l,则在平面α内,与l相交的直线a,设a∩l=A,对于β内的任意直线b,若b过点A,则a与b相交,若b不过点A,则a与b异面,即β内不存在直线b∥a.故α∥β.
14[答案] ①②③④
[解析] 展开图可以折成如图a所示的正方体.
在正方体中,连接AN,如图b所示.
∵AB∥MN,且AB=MN,
∴四边形ABMN是平行四边形.
∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF,∴①②正确;
如图c所示,连接NF,BE,BD,DM,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,则平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,所以③④正确.
15[证明] 在△PAB中,∵
=
,∴EF∥AB,
∵EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,
∴EF∥平面ABC,同理FG∥平面ABC,
∵EF∩FG=F,且FG⊂平面EFG,EF⊂平面EFG,
∴平面EFG∥平面ABC.
总结评述:
欲证“面面平行”,可证“线面平行”;证“线面平行”,可通过证“线线平行”来完成,这是立体几何最常用的化归与转化的思想.
16[证明] 如右图所示,连接SB,SD.
∵F,G分别是DC,SC的中点,∴FG∥SD.
又∵SD⊂平面BDD1B1,FG⊄平面BDD1B1,
∴直线FG∥平面BDD1B1.
同理可证EG∥平面BDD1B1.
又∵直线EG⊂平面EFG,直线FG⊂平面EFG,直线EG∩直线FG=G,
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
17[证法1] 连接CG交DE于点H,
∵DE是△ABC的中位线,
∴DE∥AB.
在△ACG中,D是AC的中点,且DH∥AG,∴H是CG的中点.
∴FH是△SCG的中位线,
∴FH∥SG.
又SG⊄平面DEF,FH⊂平面DEF,
∴SG∥平面DEF.
[分析2] 由题设条件中,D、E、F都是棱的中点,不难得出DE∥AB,DF∥SA,从而平面DEF∥平面SAB,
又SG⊂平面SAB,从而得出SG∥平面DEF.
[证法2] ∵EF为△SBC的中位线,
∴EF∥SB.
∵EF⊄平面SAB,SB⊂平面SAB,
∴EF∥平面SAB.
同理:
DF∥平面SAB,EF∩DF=F,
∴平面SAB∥平面DEF,
又∵SG⊂平面SAB,∴SG∥平面DEF.
[点评] 要证面面平行,应先证线线或线面平行,已知面面平行也可以得出线面平行,它们之间可以相互转化.
18[证明]
取DD1,中点E连AE、EF.
∵E、F为DD1、CC1
中点,∴EF綊CD.
∴EF綊AB
∴四边形EFBA为平行四边形.
∴AE∥BF.
又∵E、H分别为D1D、A1A中点,
∴D1E綊HA,∴四边形HADD1为平行四边形.
∴HD1∥AE
∴HD1∥BF
由正方体的性质易知B1D1∥BD,且已证BF∥D1H.
∵B1D1⊄平面BDF,BD⊂平面BDF,
∴B1D1∥平面BDF.连接HB,D1F,
∵HD1⊄平面BDF,BF⊂平面BDF,
∴HD1∥平面BDF.又∵B1D1∩HD1=D1,
∴平面BDF∥平面B1D1H.
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