高考数学第一讲选择题填空题的解题策略Word格式.docx
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[方法点津] 直接法是解答选择题最常用的基本方法.直接法适用的范围很广,只要运算正确必能得出正确的答案.平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力,准确把握题目的特点.用简便的方法巧解选择题,是建立在扎实掌握“三基”的基础上的,否则一味求快则会快中出错.
[对点演练]
1.(2015·
洛阳模拟)若直线l:
ax+by+1=0(a≥0,b≥0)始终平分圆M:
x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则a2+b2-2a-2b+3的最小值为( )
A.B.C.2D.
选B 因为直线ax+by+1=0始终平分圆x2+y2+4x+2y+1=0的周长,所以圆心(-2,-1)在直线ax+by+1=0上,从而2a+b-1=0.a2+b2-2a-2b+3=(a-1)2+(b-1)2+1,而(a-1)2+(b-1)2表示点(1,1)与直线2a+b-1=0上任一点距离的平方,其最小值d==,所以a2+b2-2a-2b+3的最小值为+1=.
2.(2015·
宝鸡模拟)已知直线l:
x-y-m=0经过抛物线C:
y2=2px(p>
0)的焦点,l与C交于A、B两点.若|AB|=6,则p的值为( )
A.B.C.1D.2
选B 因为直线l过抛物线的焦点,所以m=.联立得x2-3px+=0.设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=3p,故|AB|=x1+x2+p=4p=6,p=.
排除法也叫筛选法或淘汰法,使用排除法的前提条件是答案唯一,具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”,将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除,从而获得正确结论.
这种方法适用于直接法解决问题很困难或者计算较繁琐的情况.
[典例2]
(1)(2015·
福建高考)下列函数为奇函数的是( )
A.y= B.y=ex
C.y=cosxD.y=ex-e-x
选D 对于A,定义域不关于原点对称,故不符合要求;
对于B,f(-x)≠-f(x),故不符合要求;
对于C,满足f(-x)=f(x),故不符合要求;
对于D,∵f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),∴y=ex-e-x为奇函数.
(2)函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的图象大致为( )
选C 由函数f(x)为奇函数,排除B;
当0≤x≤π时,f(x)≥0,排除A;
又f′(x)=
-2cos2x+cosx+1,f′(x)=0,则cosx=1或cosx=-,结合x∈[-π,π],求得f(x)在(0,π]上的极大值点为,靠近π,排除D.
[方法点津] 排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时,先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的,予以否定,再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾,这样逐步筛选,直到得到正确的答案.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法.
贵阳模拟)设m,n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,下列命题正确的是( )
A.m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n
B.m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n
C.m⊥α,m⊥n,n⊂β,则α⊥β
D.m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β
选B A:
m与n的位置关系为平行,异面或相交,∴A错误;
B:
根据面面垂直的性质可知正确;
C:
由题中的条件无法推出α⊥β,∴C错误;
D:
只有当m与n相交时,结论才成立,∴D错误.
2.(2014·
浙江高考)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>
0),g(x)=logax的图象可能是( )
选D 根据对数函数的图象特点知函数图象一定过点(1,0),确定四个图象中的对数函数曲线,从图象上知只有C中对数函数单调递增,由此判断a>
1,不妨取a=2,此时幂函数为f(x)=x2,其图象为开口向上的抛物线,在[0,+∞)上的曲线不是C中的图象,排除C.由于A,B,D中对数函数单调递减,所以0<
a<
1,不妨取a=,此时幂函数为f(x)=x,其图象形状为D中形状,排除A,B,选择D.
从题干(或选项)出发,通过选取特殊情况代入,将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置,进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略,要注意在怎样的情况下才可使用,特殊情况可能是:
特殊函数、特殊数列、特殊值、特殊点、特殊位置、特殊图形等.
适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题.
[典例3]
(1)设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,有( )
A.[-x]=-[x]B.=[x]
C.[2x]=2[x]D.[x]+=[2x]
选D 当x=时,可排除A,B,C.
(2)如图,在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P,Q满足A1P=BQ,过P,Q,C三点的截面把棱柱分成两部分,则其体积之比为( )
A.3∶1 B.2∶1
C.4∶1D.∶1
选B 将P,Q置于特殊位置:
P→A1,Q→B,此时仍满足条件A1P=BQ(=0),则有VCAA1B=VA1ABC=.
[方法点津] 特例法具有简化运算和推理的功效,比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题,但用特例法解选择题时,要注意以下两点:
第一,取特例尽可能简单,有利于计算和推理;
第二,若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符,则应选另一特例情况再检验,或改用其他方法求解.
南昌模拟)已知等比数列{an}满足an>
0,n=1,2,3,…,且a5·
a2n-5=22n(n≥3),当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=( )
A.n(2n-1)B.(n+1)2
C.n2D.(n-1)2
选C 因为a5·
a2n-5=22n(n≥3),所以令n=3,代入得a5·
a1=26,再令数列为常数列,得每一项为8,则log2a1+log2a3+log2a5=9=32.
2.如图,点P为椭圆+=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC,AC的平行线交AC于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1∶S2=( )
A.1B.2C.D.
选A 不妨取点P,则可计算S1=×
(5-4)=,S2=×
(4-2)×
=,所以S1∶S2=1.
根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形,利用函数图象或数学结果的几何意义,将数的问题(如解方程、解不等式、求最值、求取值范围等)与某些图形结合起来,利用直观性,再辅以简单计算,从而确定正确答案.
适用于求解问题中含有几何意义命题的题目.
[典例4]
(1)(2015·
北京高考)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是( )
A.{x|-1<
x≤0}
B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|-1<
x≤1}
D.{x|-1<
x≤2}
选C 令g(x)=y=log2(x+1),作出函数g(x)图象如图.
由得
∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<
x≤1}.
天津高考)已知函数f(x)=函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
选A 当x>
2时,g(x)=x-1,f(x)=(x-2)2;
当0≤x≤2时,g(x)=3-x,f(x)=2-x;
当x<
0时,g(x)=3-x2,f(x)=2+x.
由于函数y=f(x)-g(x)的零点个数就是方程f(x)-g(x)=0的根的个数.
x>
2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+5=0,其根为x=或x=(舍去);
当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x=3-x,无解;
0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x-1=0,其根为x=或x=(舍去).
所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2.
[方法点津] 严格地说,图解法并非属于选择题解题思路范畴,但它在解有关选择题时非常简便有效.运用图解法解题一定要对有关函数的图象、方程曲线、几何图形较熟悉,否则错误的图象反而会导致错误的选择,图解法实际上是一种数形结合的解题策略.
1.函数y=|logx|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度b-a的最小值是( )
A.2B.C.3D.
选D 作出函数y=|logx|的图象,如图所示,由y=0,解得x=1,由y=2,解得x=4或x=.所以区间[a,b]的长度b-a的最小值为1-=.
长春模拟)已知定义在R上的函数f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=8(1-|x-1|),且对于任意的实数x∈[2n-2,2n+1-2](n∈N*,且n≥2),都有f(x)=f,若函数g(x)=f(x)-logax有且只有三个零点,则a的取值范围为( )
A.[2,10]B.[,]
C.(2,10)D.(,)
选D f(x)的图象如图所示,易得a>
1,依题意得∴<
.
由于选择题提供了唯一正确的选项,解答又无需过程,因此,有些题目不必进行准确的计算,只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计,便能作出正确的判断,这就是估算法.估算法往往可以减少运算量,节省答题时间.
当题目从正面解析比较麻烦,特值法又无法确定正确的选项时,如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题,常用此种方法确定选项.
[典例5] 若M为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过M中的那部分区域的面积为( )
A. B.1 C.D.2
选C
如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形.
阴影部分面积比1大,比S△OAB=×
2×
2=2小.
[方法点津] “估算法”的关键是确定结果所在的大致范围,否则“估算”就没有意义.本题的关键在于所求值应该比△AOB的面积小且大于其面积的一半.
1.设a=log32,b=ln2,c=5
,则a,b,c的大小关系是( )
A.a<
b<
cB.c<
a
C.c<
bD.b<
c<
选C a=log32=>
=,且a=log32=
<
ln2=b,而c=5
=<
,所以c<
b.
2.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球面面积是( )
A.πB.πC.4πD.π
选D 球的半径R不小于△ABC的外接圆半径r=,则S球=4πR2≥4πr2=π>
5π.
1.解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、验证法和数形结合法,但大部分选择题的解法是直接法,在解选择题时要根据题干和选项两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”,在“小题小做”、小题巧做“上做文章,切忌盲目采用直接法.
2.由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强,稍不留心就会误入“陷阱”,应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证,既谨慎选择,又大胆跳跃.
3.作为平时训练,解完一道题后,还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”,并注意及时总结,这样才能有效地提高解选择题的能力.
数学填空题只要求写出结果,不要求写出计算和推理过程,其结果必须是数值准确、形式规范、表达式(数)最简.填空题的类型一般可分为:
完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题.解题时,要有合理地分析和判断,要求推理、运算的每一步骤都正确无误,还要求将答案表达得准确、完整.合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.
数学填空题,绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题,应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断.求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫.常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等.
直接法就是从题设条件出发,运用定义、定理、公式、性质等,通过变形、推理、运算等过程,直接得出正确结论,使用此法时,要善于透过现象看本质,自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法.
对于计算型的试题,多通过计算求结果.
重庆高考)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC=-,3sinA=2sinB,则c=________.
∵3sinA=2sinB,∴3a=2b.
又a=2,∴b=3.
由余弦定理可知c2=a2+b2-2abcosC,
∴c2=22+32-2×
3×
=16,
∴c=4.
答案:
4
(2)已知F1,F2是椭圆C:
+=1(a>
b>
0)的左、右焦点,若点P在C上,且PF1⊥F1F2,|PF2|=2|PF1|,则C的离心率为________.
因为PF1⊥F1F2,|PF2|=2|PF1|,所以|PF1|=,|PF2|=,由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|==2a,即2a2=3(a2-c2),化简得a=c,故离心率e==.
[方法点津] 直接法是解决计算型填空题最常用的方法,在计算过程中,我们要根据题目的要求灵活处理,多角度思考问题,注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用,将计算过程简化从而得到结果,这是快速准确地求解填空题的关键.
兰州模拟)若函数f(x)=2sin(x+)(-2<
x<
14)的图象与x轴交于点A,过点A的直线l与函数f(x)的图象交于B、C两点,O为坐标原点,则(
+
)·
=________.
∵-2<
14,∴f(x)=0的解为x=6,即A(6,0),而A(6,0)恰为函数f(x)图象的一个对称中心,∴B、C关于A对称,∴(
=2
·
=2|
|2=2×
36=72.
72
长春模拟)若三棱锥PABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直且长都相等,其外接球半径为2,则三棱锥的表面积为________.
由三棱锥的外接球半径为2,可知PA=,从而三棱锥的表面积为8+.
8+
当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论.为保证答案的正确性,在利用此方法时,一般应多取几个特例.
求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法,但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题,对于开放性的问题或者有多种答案的填空题,则不能使用该种方法求解.
[典例2] 设坐标原点为O,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点,则
由题意知,
的值不受位置的限制,所以分别设通径的两个端点为A、B,则A,B,∴
=×
+1×
(-1)=-.
-
[方法点津] 填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值是适用此法的前提条件.
1.若函数f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-对称,则a=________.
由题意,对任意的x∈R,有f=f,取f(0)=f得a=-1.
-1
2.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则的值是________.
取特殊数列an=n满足题意.∴=.
对于一些含有几何背景的填空题,若能以数辅形,以形助数,则往往可以借助图形的直观性,迅速作出判断,简捷地解决问题,得出正确的结果,如Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线、函数的零点等.
图解法是研究求解问题中含有几何意义命题的主要方法,解题时既要考虑图形的直观,还要考虑数的运算.
[典例3]
(1)(2015·
安徽高考)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为________.
函数y=|x-a|-1的图象如图所示,因为直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,故2a=-1,解得a=-.
(2)设函数f(x)的定义域为D,如果存在正实数k,使对任意x∈D,都有x+k∈D,且f(x+k)>
f(x)恒成立,则称函数f(x)为D上的“k型增函数”.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在x>
0时,f(x)=|x-a|-2a,若f(x)为R上的“2015型增函数”,则实数a的取值范围是________.
由题意得,当x>
0时,f(x)=
①当a≥0时,函数f(x)的图象如图
(1)所示,考虑极大值f(-a)=2a,令x-3a=2a,得x=5a.
所以只需满足5a-(-a)=6a<
2015,即0≤a<
②当a<
0时,函数f(x)的图象如图
(2)所示,且f(x)为增函数,因为x+2015>
x,所以满足f(x+2015)>
f(x).
综上可知,实数a的取值范围是.
[方法点津] 图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用,利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论,这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系,利用几何图形中的相关结论求出结果.
1.已知两个单位向量a,b的夹角为60°
,c=ta+(1-t)b,若b·
c=0,则t=________.
|a|=|b|=1,a,b=60°
∵c=ta+(1-t)b,
∴b·
c=ta·
b+(1-t)b2=t×
1×
+(1-t)×
1=+1-t=1-.
∵b·
c=0,∴1-=0,∴t=2.
2
太原模拟)已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1,x2,x3互不相等),且x1+x2+x3的取值范围为(1,8),则实数m的值为________.
作出f(x)的图象,如图所示,可令x1<
x2<
x3,则由图知点(x1,0),(x2,0)关于直线x=-对称,所以x1+x2=-1.又1<
x1+x2+x3<
8,所以2<
x3<
9.由f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1,x2,x3互不相等),结合图象可知点A的坐标为(9,3),代入函数解析式,得3=log2(9-m),解得m=1.
1
构造型填空题的求解,需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型(如构造函数、方程或图形),从而简化推理与计算过程,使较复杂的数学问题得到简捷的解决,它来源于对基础知识和基本方法的积累,需要从一般的方法原理中进行提炼概括,积极联想,横向类比,从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感,构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型,使问题快速解决.
[典例4]
(1)如图,已知球O的面上有四点A,B,C,D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=,则球O的体积等于________.
如图,以DA,AB,BC为棱长构造正方体,设正方体的外接球球O的半径为R,则正方体的体对角线长即为球O的直径,所以
CD==2R,
所以R=,故球O的体积V==π.
π
(2)a=ln-,b=ln-,c=ln-,则a,b,c的大小关系为______________.
令f(x)=lnx-x,则f′(x)=-1=.
当0<
1时,f′(x)>
0,即函数f(x)在(0,1)上是增函数.
∵1>
>
0,∴a>
c.
a>
c
[方法点津] 构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用,需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向,通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型,从而转化为自己熟悉的问题.本题巧妙地构造出正方体,而球的直径恰好为正方体的体对角线,问题很容易得到解决.
1.设a,b,c均为实数,且cos2x=acos2x+bcosx+c恒成立,则a2+b2+c2=________.
题设为恒成立,所以可取x的特值代入.
令x=0,,π,得解得a=2,b=0,c=-1.故a2+b2+c2=5.
5
2.若锐角α,β,γ满足cos2α+cos2β+cos2γ=1,那么tanα·
tanβ·
tanγ的最小值为________.
如图,构造长方体ABCDA1B1C1D1.设AB=a,AD=b,AA1=c,∠C1AB=α,∠C1AD=β,∠C1AA1=γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1.
从而有tanα·
tanγ=·
≥=2.当且仅当a=b=c时,tanα·
tanγ有最小值2.
选择题、填空题专项练
(一)
一、选择题
1.设集合A={x|1<
4},集合B={x|x2-2x-3≤0},则A∩(∁RB)=( )
A.(1,4)B.(3,4)
C.(1,3)D.(1,2)∪(3,4)
选B 因为∁RB={x|x>
3或x<
-1},所以A∩(∁RB)={x|3<
4}.
青岛模拟)已知=1-bi,其中a,b是实数,i是虚数单位,则|a-bi|=( )
A.3B.2C.5D.
选D =1-bi,可得a=1+b+(1-b)i,因为a,b是实数,所以解得a=2,b=1.
所以|a-bi
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