勾股定理竞赛培优.doc
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第一章勾股定理培优专题
专题一
一、内容提要
1.勾股定理及逆定理:
△ABC中 ∠C=Rt∠a2+b2=c2
2.勾股定理及逆定理的应用
①作已知线段a的,,……倍
②计算图形的长度,面积,并用计算方法解几何题
③证明线段的平方关系等。
3.勾股数的定义:
如果三个正整数a,b,c满足等式a2+b2=c2,那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.
4.勾股数的推算公式
①罗士琳法则(罗士琳是我国清代的数学家1789――1853)
任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2,2mn, m2+n2是一组勾股数。
②如果a,b,c是勾股数,那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数。
5.熟悉勾股数可提高计算速度,顺利地判定直角三角形。
简单的勾股数有:
3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 9,40,41。
1.常用勾股数口诀记忆常见勾股数
3,4,5:
勾三股四弦五
5,12,13:
5·12记一生
6,8,10:
连续的偶数
7,24,25:
企鹅是二百五
8,15,17:
八月十五在一起
特殊勾股数
连续的勾股数只有3,4,5
连续的偶数勾股数只有6,8,10
2.100以内的勾股数
开头数字为20以内
6. 345;51213;6810;72425;81517;91215;94041;102426;116061;121620;123537;138485;144850;152025;153639;163034;166365;182430;188082
二、例题
例1.已知线段a a a 2a 3aa
求作线段a a
分析一:
a==2a
∴a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。
分析二:
a=
∴a是以3a为斜边,以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。
作图(略)
例2.四边形ABCD中∠DAB=60,∠B=∠D=Rt∠,BC=1,CD=2
求对角线AC的长
例3.已知△ABC中,AB=AC,∠B=2∠A
求证:
AB2-BC2=AB×BC
例4.如图已知△ABC中,AD⊥BC,AB+CD=AC+BD
求证:
AB=AC
例5.已知梯形ABCD中,AB∥CD,AD>BC
求证:
AC>BD
证明:
作DE∥AC,DF∥BC,交BA或延长线于点E、F
ACDE和BCDF都是平行四边形
∴DE=AC,DF=BC,AE=CD=BF
作DH⊥AB于H,根据勾股定理
AH=,FH=
∵AD>BC,AD>DF
∴AH>FH,EH>BH
DE=,BD=
∴DE>BD
即AC>BD
例6.已知:
正方形ABCD的边长为1,正方形EFGH内接于ABCD,AE=a,AF=b,且SEFGH=
求:
的值
三、练习
1.以下列数字为一边,写出一组勾股数:
①7,__,__ ②8,__,__ ③9,__,__
④10,__,__ ⑤11,__,__ ⑥12,__,__
2.根据勾股数的规律直接写出下列各式的值:
①252-242=__, ②52+122=__,
③=___,④=___
3.△ABC中,AB=25,BC=20,CA=15,CM和CH分别是中线和高。
那么S△ABC=__,CH=__,MH=___
4. 梯形两底长分别是3和7,两对角线长分别是6和8,则S梯形=___
5.已知:
△ABC中,AD是高,BE⊥AB,BE=CD,CF⊥AC,CF=BD
求证:
AE=AF
6.已知:
M是△ABC内的一点,MD⊥BC,ME⊥AC,MF⊥AB,
且BD=BF,CD=CE
求证:
AE=AF
7.在△ABC中,∠C是钝角,a2-b2=bc 求证∠A=2∠B
8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。
(用反证法)
9.已知直角三角形三边长均为整数,且周长和面积的数值相等,求各边长
10等腰直角三角形ABC斜边上一点P,求证:
AP2+BP2=2CP2
11.已知△ABC中,∠A=Rt∠,M是BC的中点,E,F分别在AB,AC
ME⊥MF
求证:
EF2=BE2+CF2
12.Rt△ABC中,∠ABC=90,∠C=60,BC=2,D是AC的中点,从D作DE⊥AC与CB的延长线交于点E,以AB、BE为邻边作矩形ABEF,连结DF,则DF的长是____。
(2002年希望杯数学邀请赛,初二试题)
13.△ABC中,AB=AC=2,BC边上有100个不同的点p1,p2,p3,…p100,
记mi=APi2+BPi×PiC(I=1,2……,100),则m1+m2+…+m100=____
7.知识点一:
勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为:
a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.
要点诠释:
(1)勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
(2)勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角。
(3)理解勾股定理的一些变式:
c2=a2+b2,a2=c2-b2,b2=c2-a2, c2=(a+b)2-2ab
知识点二:
用面积证明勾股定理
方法一:
将四个全等的直角三角形拼成如图
(1)所示的正方形。
图
(1)中,所以。
方法二:
将四个全等的直角三角形拼成如图
(2)所示的正方形。
图
(2)中,所以。
方法三:
将四个全等的直角三角形分别拼成如图(3)—1和(3)—2所示的两个形状相同的正方形。
在(3)—1中,甲的面积=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积),
在(3)—2中,乙和丙的面积和=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积),
所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即:
.
方法四:
如图(4)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形。
,所以。
经典例题透析类型一:
勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中,∠C=90°
(1)已知a=6,c=10,求b,
(2)已知a=40,b=9,求c; (3)已知c=25,b=15,求a.
思路点拨:
写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。
解析:
(1)在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b=
(2)在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c=
(3)在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a=
举一反三
【变式】:
如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?
类型二:
勾股定理的构造应用
2、如图,已知:
在中,,,.求:
BC的长.
总结升华:
利用勾股定理计算线段的长,是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时,也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.
举一反三【变式1】如图,已知:
,,于P.求证:
.
【变式2】已知:
如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。
求:
四边形ABCD的面积。
类型三:
勾股定理的实际应用
(一)用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
(1)求A、C两点之间的距离。
(2)确定目的地C在营地A的什么方向。
总结升华:
本题是一道实际问题,从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形是解决问题的关键。
本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。
举一反三
【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
(二)用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线.
举一反三
【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.
一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点,那么它所爬行的最短路线的长是___________
类型四:
利用勾股定理作长为的线段
5、作长为、、的线段。
举一反三【变式】在数轴上表示的点。
类型五:
逆命题与勾股定理逆定理
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ΔABC的形状。
举一反三【变式1】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。
【变式2】已知:
△ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n),判断△ABC是否为直角三角形.
【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=A
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- 勾股定理 竞赛