勾股定理知识点与题型总结大全.doc
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勾股定理全章类题总结
类型一:
等面积法求高
【例题】如图,△ABC中,∠ACB=900,AC=7,BC=24,CD⊥AB于D。
(1)求AB的长;
(2)求CD的长。
类型二:
面积问题
【例题】如下左图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___________cm2。
A
B
C
D
7cmmmmmmmm
【练习1】如上右图,每个小方格都是边长为1的正方形,
(1)求图中格点四边形ABCD的面积和周长。
(2)求∠ADC的度数。
【练习2】如图,四边形是正方形,⊥,且=3,=4,阴影部分的面积是______.
【练习3】如图字母B所代表的正方形的面积是()
A.12B.13C.144D.194
类型三:
距离最短问题
【例题】如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万,请你在河流CD上选择水厂的位置M,使铺A
B
C
D
L
设水管的费用最节省,并求出总费用是多少?
【练习1】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.
【练习2】如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?
小河
A
B
东
北
牧童
小屋
类型四:
判断三角形的形状
【例题】如果ΔABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ΔABC的形状。
【练习1】已知△ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n),判断△ABC是否为直角三角形.
【练习2】若△ABC的三边a、b、c满足条件
a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断△ABC的形状.
【练习3】.已知a,b,c为△ABC三边,且满足
(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,则它的形状为( )三角形
A.直角 B.等腰C.等腰直角D.等腰或直角
【练习4】三角形的三边长为,则这个三角形是()三角形
(A)等边(B)钝角(C)直角(D)锐角
类型五:
直接考查勾股定理
【例题】在Rt△ABC中,∠C=90°
(1)已知a=6,c=10,求b;
(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a.。
【练习】:
如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?
类型六:
构造应用勾股定理
【例题】如图,已知:
在中,,,.求:
BC的长.
【练习】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。
类型七:
利用勾股定理作长为的线段
例1在数轴上表示的点。
作法:
如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,
以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为。
【练习】在数轴上表示的点。
类型八:
勾股定理及其逆定理的一般用法
【例题】若直角三角形两直角边的比是3:
4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。
【练习1】等边三角形的边长为2,求它的面积。
【练习2】以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是()A、8,15,17
B、4,5,6C、5,8,10D、8,39,40
类型九:
生活问题
【例题】如下左图,在高2米,坡角为30°的楼梯表面铺地毯,地毯的长至少需________米.
【练习1】种盛饮料的圆柱形杯(如上右图),测得内部底面半径为2.5㎝,高为12㎝,吸管放进杯里,杯口外面至少要露出4.6㎝,问吸管要做㎝。
【练习2】如下左图学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条“路”。
他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1m),却踩伤了花草。
【练习3】如上右图,校园内有两棵树,相距12米,一棵树高13米,另一棵树高8米,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞___________米.
类型十:
翻折问题
【例题】如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗?
【练习1】如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EF的长。
【练习2】如图,△ABC中,∠C=90°,AB垂直平分线交BC于D若BC=8,AD=5,求AC的长。
勾股定理的逆定理
1.有五组数:
①25,7,24;②16,20,12;③9,40,41;④4,6,8;⑤32,42,52,以各组数为边长,能组成直角三角形的个数为().
A.1B.2C.3D.4
2.三角形的三边长分别为6,8,10,它的最短边上的高为()
A.6B.4.5C.2.4D.8
3.下列各组线段中的三个长度①9、12、15;②7、24、25;③32、42、52;④3a、4a、5a(a>0);⑤m2-n2、2mn、m2+n2(m、n为正整数,且m>n)其中可以构成直角三角形的有()
A、5组;B、4组;C、3组;D、2组
4.在同一平面上把三边BC=3,AC=4、AB=5的三角形沿最长边AB翻折后得到△ABC′,则CC′的长等于()
A、;B、;C、;D、
5.下列说法中,不正确的是()
A.三个角的度数之比为1:
3:
4的三角形是直角三角形
B.三个角的度数之比为3:
4:
5的三角形是直角三角形
C.三边长度之比为3:
4:
5的三角形是直角三角形
D.三边长度之比为5:
12:
13的三角形是直角三角形
6(呼和浩特)如图,在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是()
A.CD、EF、GH B.AB、EF、GH
C.AB、CD、GH D.AB、CD、EF
7.如图4所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积的和是_______cm2.
8.已知2条线段的长分别为3cm和4cm,当第三条线段的长为_______cm时,这3条线段能组成一个直角三角形.
9、在△ABC中,若其三条边的长度分别为9、12、15,则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是________.
10.传说,古埃及人曾用"拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________
11.小芳家门前有一个花圃,呈三角形状,小芳想知道该三角形是不是一个直角三角形,请问她可以用什么办法来作出判断?
你能帮她设计一种方法吗?
12.给出一组式子:
32+42=52,82+62=102,152+82=172,242+102=262……
(1)你能发现上式中的规律吗?
(2)请你接着写出第五个式子.
13.观察下列各式,你有什么发现?
32=4+5,52=12+13,72=24+25,92=40+41……
这到底是巧合,还是有什么规律蕴涵其中呢?
请你结合有关知识进行研究.如果132=b+c,则b、c的值可能是多少
14.如图,是一块由边长为20cm的正方形地砖铺设的广场,一只鸽子落在点A处,它想先后吃到小朋友撒在B、C处的鸟食,则鸽子至少需要走多远的路程?
15.如图,在△ABC中,AB=AC=13,点D在BC上,AD=12,BD=5,试问AD平分∠BAC吗?
为什么?
16.如图,是一个四边形的边角料,东东通过测量,获得了如下数据:
AB=3cm,BC=12cm,CD=13cm,AD=4cm,东东由此认为这个四边形中∠A恰好是直角,你认为东东的判断正确吗?
如果你认为他正确,请说明其中的理由;如果你认为他不正确,那你认为需要什么条件,才可以判断∠A是直角?
D
B
C
A
17.[来源:
在一棵树的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。
另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高______米
W.ZK5U.COM]
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