勾股定理复习考点(全)-经典.doc
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勾股定理复习考点(全)-经典
一、知识要点:
1、勾股定理
勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说:
如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2。
公式的变形:
a2=c2-b2,b2=c2-a2。
2、勾股定理的逆定理
如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c,且满足a2+b2=c2,那么三角形ABC是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.
该定理在应用时,要注意处理好如下几个要点:
①已知的条件:
某三角形的三条边的长度.
②满足的条件:
最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.
③得到的结论:
这个三角形是直角三角形,并且最大边的对角是直角.
④如果不满足条件,就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数
满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数。
注意:
①勾股数必须是正整数,不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。
常见勾股数有:
(3,4,5 )(5,12,13 )( 6,8,10 ) ( 7,24,25 )( 8,15,17 )
(9,12,15 )
4、最短距离问题:
主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析
考点一:
利用勾股定理求面积
1、求阴影部分面积:
(1)阴影部分是正方形;
(2)阴影部分是长方形;(3)阴影部分是半圆.
2.如图,以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆,试探索三个半圆的面积之间的关系.
3、如图所示,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别是S1、S2、S3,则它们之间的关系是()
A.S1-S2=S3B.S1+S2=S3C.S2+S3 4、四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。 考点二: 在直角三角形中,已知两边求第三边 1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm,2cm,则斜边长为. 2.(易错题、注意分类的思想)已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长的平方是 3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12,求斜边上的高. 4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,则斜边扩大到原来的() A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍 5、在Rt△ABC中,∠C=90° ①若a=5,b=12,则c=___________;②若a=15,c=25,则b=___________; 6、如果直角三角形的两直角边长分别为,2n(n>1),那么它的斜边长是( ) A、2n B、n+1 C、n2-1 D、 7、在Rt△ABC中,a,b,c为三边长,则下列关系中正确的是() A.B.C.D.以上都有可能 8、已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是( ) A、24 B、36 C、48 D、60 9、已知x、y为正数,且│x2-4│+(y2-3)2=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为() A、5 B、25 C、7 D、15 考点三: 应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 例、如图1所示,等腰中,,是底边上的高,若,求①AD的长;②ΔABC的面积. 考点四: 勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题 1、下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是() A.4,5,6B.2,3,4C.11,12,13D.8,15,17 2、若线段a,b,c组成直角三角形,则它们的比为( ) A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7 3、下面的三角形中: ①△ABC中,∠C=∠A-∠B;②△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1: 2: 3; ③△ABC中,a: b: c=3: 4: 5;④△ABC中,三边长分别为8,15,17. 其中是直角三角形的个数有(). A.1个B.2个C.3个D.4个 4、若三角形的三边之比为,则这个三角形一定是() A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.不等边三角形 5、已知a,b,c为△ABC三边,且满足(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,则它的形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是() A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形 7、若△ABC的三边长a,b,c满足试判断△ABC的形状。 8、△ABC的两边分别为5,12,另一边为奇数,且a+b+c是3的倍数,则c应为,此三角形为。 例3: 求 (1)若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是度。 (2)已知三角形三边的比为1: : 2,则其最小角为。 考点五: 应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题 某楼梯的侧面视图如图3所示,其中米,,,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 . 考点七: 折叠问题 1、如图所示,已知△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交BC于M,交AB于N,若AC=4,MB=2MC,求AB的长. 3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF和EC。 A B C E F D 4、如图,在长方形ABCD中,将ABC沿AC对折至AEC位置,CE与AD交于点F。 (1)试说明: AF=FC; (2)如果AB=3,BC=4,求AF的长 5、如图2-3,把矩形ABCD沿直线BD向上折叠,使点C落在C′的位置上,已知AB=3,BC=7,重合部分△EBD的面积为________. 2-5 12、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。 考点八: 应用勾股定理解决勾股树问题 已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是. 考点九、图形问题 1、如图2,已知,在△ABC中,∠A=45°,AC=,AB=+1,则边BC的长为. 2、某公司的大门如图所示,其中四边形ABCD是长方形,上部是以AD为直径的半圆,其中AB=2.3m,BC=2m,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5m,宽为1.6m,问这辆卡车能否通过公司的大门? 并说明你的理由 . 考点十: 其他图形与直角三角形 如图是一块地,已知AD=8m,CD=6m,∠D=90°,AB=26m,BC=24m,求这块地的面积。 考点十一: 与展开图有关的计算 1、如图,在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上,求从顶点A到顶点C’的最短距离. 2、如图一个圆柱,底圆周长6cm,高4cm,一只蚂蚁沿外壁爬行,要从A点爬到B点,则最少要爬行cm 考点十二、航海问题 1、一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行,另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行,经过1.5小时后,它们相距________海里. 2、如图,某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处,在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。 该货船航行30分钟到达B处,此时又测得该岛在北偏东30°的方向上,已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁,若继续向正东方向航行,该货船有无暗礁危险? 试说明理由。 考点十三、网格问题 1、如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC中,边长为无理数的边数是() A.0B.1C.2D.3 2、如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是() A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对 3、如图,小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是() A.25B.12.5C.9D.8.5 (图1)(图2)(图3) 4、如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形: ①使三角形的三边长分别为3、、(在图甲中画一个即可); ②使三角形为钝角三角形且面积为4(在图乙中画一个即可). 9 第9页—总9页
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