初二数学动点问题归类复习(含例题、练习及答案).doc
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初二数学动点问题归类复习(含例题、练习及答案)
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:
动中求静.
数学思想:
分类思想数形结合思想转化思想
本文将初一至二学习过的有关知识,结合动点问题进行归类复习,希望对同学们能有所帮助。
一、等腰三角形类:
因动点产生的等腰三角形问题
例1:
(2013年上海市虹口区中考模拟第25题)如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,且∠PDQ=90°.
(1)求ED、EC的长;
(2)若BP=2,求CQ的长;
(3)记线段PQ与线段DE的交点为F,若△PDF为等腰三角形,求BP的长.
图1备用图
思路点拨
1.第
(2)题BP=2分两种情况.
2.解第
(2)题时,画准确的示意图有利于理解题意,观察线段之间的和差关系.
3.第(3)题探求等腰三角形PDF时,根据相似三角形的传递性,转化为探求等腰三角形CDQ.
解答:
(1)在Rt△ABC中,AB=6,AC=8,所以BC=10.
在Rt△CDE中,CD=5,所以,.
(2)如图2,过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M、N,那么DM、DN是
△ABC的两条中位线,DM=4,DN=3.
由∠PDQ=90°,∠MDN=90°,可得∠PDM=∠QDN.
因此△PDM∽△QDN.
所以.所以,.
图2图3图4
①如图3,当BP=2,P在BM上时,PM=1.
此时.所以.
②如图4,当BP=2,P在MB的延长线上时,PM=5.
此时.所以.
(3)如图5,如图2,在Rt△PDQ中,.
在Rt△ABC中,.所以∠QPD=∠C.
由∠PDQ=90°,∠CDE=90°,可得∠PDF=∠CDQ.
因此△PDF∽△CDQ.
当△PDF是等腰三角形时,△CDQ也是等腰三角形.
①如图5,当CQ=CD=5时,QN=CQ-CN=5-4=1(如图3所示).
此时.所以.
②如图6,当QC=QD时,由,可得.
所以QN=CN-CQ=(如图2所示).
此时.所以.
③不存在DP=DF的情况.这是因为∠DFP≥∠DQP>∠DPQ(如图5,图6所示).
图5图6
考点伸展:
如图6,当△CDQ是等腰三角形时,根据等角的余角相等,可以得到△BDP也是等腰三角形,PB=PD.在△BDP中可以直接求解.
二、直角三角形:
因动点产生的直角三角形问题
例2:
(2008年河南省中考第23题)如图1,直线和x轴、y轴的交点分别为B、C,点A的坐标是(-2,0).
(1)试说明△ABC是等腰三角形;
(2)动点M从A出发沿x轴向点B运动,同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动,运动的速度均为每秒1个单位长度.当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动.设M运动t秒时,△MON的面积为S.①求S与t的函数关系式;
②设点M在线段OB上运动时,是否存在S=4的情形?
若存在,求出对应的t值;若不存在请说明理由;
③在运动过程中,当△MON为直角三角形时,求t的值.
图1
思路点拨:
1.第
(1)题说明△ABC是等腰三角形,暗示了两个动点M、N同时出发,同时到达终点.
2.不论M在AO上还是在OB上,用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的,用含有t的式子表示OM要分类讨论.
3.将S=4代入对应的函数解析式,解关于t的方程.
4.分类讨论△MON为直角三角形,不存在∠ONM=90°的可能.
解答:
(1)直线与x轴的交点为B(3,0)、与y轴的交点C(0,4).
Rt△BOC中,OB=3,OC=4,所以BC=5.点A的坐标是(-2,0),所以BA=5.
因此BC=BA,所以△ABC是等腰三角形.
(2)①如图2,图3,过点N作NH⊥AB,垂足为H.
在Rt△BNH中,BN=t,,所以.
如图2,当M在AO上时,OM=2-t,此时
.定义域为0<t≤2.
如图3,当M在OB上时,OM=t-2,此时
.定义域为2<t≤5.
图2图3
②把S=4代入,得.
解得,(舍去负值).
因此,当点M在线段OB上运动时,存在S=4的情形,此时.
③如图4,当∠OMN=90°时,在Rt△BNM中,BN=t,BM,,
所以.解得.
如图5,当∠OMN=90°时,N与C重合,.
不存在∠ONM=90°的可能.
所以,当或者时,△MON为直角三角形.
图4图5
考点伸展:
在本题情景下,如果△MON的边与AC平行,求t的值.如图6,当ON//AC时,t=3;如图7,当MN//AC时,t=2.5.
图6图7
三、平行四边形问题:
因动点产生的平行四边形问题
例3:
(2010年山西省中考第26题)在直角梯形OABC中,CB//OA,∠COA=90°,CB=3,OA=6,BA=.分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.
(1)求点B的坐标;
(2)已知D、E分别为线段OC、OB上的点,OD=5,OE=2EB,直线DE交x轴于点F.求直线DE的解析式;
(3)点M是
(2)中直线DE上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一点N,使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形?
若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
图1图2
思路点拨:
1.第
(1)题和第
(2)题蕴含了OB与DF垂直的结论,为第(3)题讨论菱形提供了计算基础.
2.讨论菱形要进行两次(两级)分类,先按照DO为边和对角线分类,再进行二级分类,DO与DM、DO与DN为邻边.
解答:
(1)如图2,作BH⊥x轴,垂足为H,那么四边形BCOH为矩形,OH=CB=3.
在Rt△ABH中,AH=3,BA=,所以BH=6.因此点B的坐标为(3,6).
(2)因为OE=2EB,所以,,E(2,4).
设直线DE的解析式为y=kx+b,代入D(0,5),E(2,4),得解得,.所以直线DE的解析式为.
(3)由,知直线DE与x轴交于点F(10,0),OF=10,DF=.
①如图3,当DO为菱形的对角线时,MN与DO互相垂直平分,点M是DF的中点.此时点M的坐标为(5,),点N的坐标为(-5,).
②如图4,当DO、DN为菱形的邻边时,点N与点O关于点E对称,此时点N的坐标为(4,8).
③如图5,当DO、DM为菱形的邻边时,NO=5,延长MN交x轴于P.
由△NPO∽△DOF,得,即.解得,.此时点N的坐标为.
图3图4
考点伸展
如果第(3)题没有限定点N在x轴上方的平面内,那么菱形还有如图6的情形.
图5图6
四、相似三角形:
因动点产生的相似三角形问题
例4:
(2013年苏州中考28题)如图,点O为矩形ABCD的对称中心,AB=10cm,BC=12cm,点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点E的运动速度为1cm/s,点F的运动速度为3cm/s,点G的运动速度为1.5cm/s,当点F到达点C(即点F与点C重合)时,三个点随之停止运动.在运动过程中,△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F.设点E、F、G运动的时间为t(单位:
s).
(1)当t= s时,四边形EBFB′为正方形;
(2)若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似,求t的值;
(3)是否存在实数t,使得点B′与点O重合?
若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
思路点拨:
(1)利用正方形的性质,得到BE=BF,列一元一次方程求解即可;
(2)△EBF与△FCG相似,分两种情况,需要分类讨论,逐一分析计算;(3)本问为存在型问题.假设存在,则可以分别求出在不同条件下的t值,它们互相矛盾,所以不存在.
解答:
(1)若四边形EBFB′为正方形,则BE=BF,即:
10﹣t=3t,解得t=2.5;
(2)分两种情况,讨论如下:
①若△EBF∽△FCG,则有,即,解得:
t=2.8;
②若△EBF∽△GCF,则有,即,解得:
t=﹣14﹣2(不合题意,舍去)或t=﹣14+2.∴当t=2.8s或t=(﹣14+2)s时,以点E、B、F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似.
(3)假设存在实数t,使得点B′与点O重合.如图,过点O作OM⊥BC于点M,则在Rt△OFM中,OF=BF=3t,FM=BC﹣BF=6﹣3t,OM=5,由勾股定理得:
OM2+FM2=OF2,即:
52+(6﹣3t)2=(3t)2解得:
t=;
过点O作ON⊥AB于点N,则在Rt△OEN中,OE=BE=10﹣t,EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t,ON=6,
由勾股定理得:
ON2+EN2=OE2,即:
62+(5﹣t)2=(10﹣t)2解得:
t=3.9.∵≠3.9,∴不存在实数t,使得点B′与点O重合.
考点伸展:
本题为运动型综合题,考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点.题目并不复杂,但需要仔细分析题意,认真作答.第
(2)问中,需要分类讨论,避免漏解;第(3)问是存在型问题,可以先假设存在,然后通过推导出互相矛盾的结论,从而判定不存在.
拓展练习:
1、如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动,点Q从C开始沿CB向点B以2cm/秒的速度移动,如果P,Q分别从A,C同时出发,设移动时间为t秒。
当t=时,四边形是平行四边形;
当t=时,四边形是等腰梯形.
(1题图)备用图
2、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,且DM=1,N为对角线AC上任意一点,则DN+MN的最小值为。
(2题图)(3题图)
3、如图,在中,,.点是的中点,过点的直线从与重合的位置开始,绕点作逆时针旋转,交边于点.过点作交直线于点,设直线的旋转角为.
(1)①当度时,四边形是等腰梯形,此时的长为;
②当度时,四边形是直角梯形,此时的长为;
(2)当时,判断四边形是否为菱形,并说明理由.
A
C
B
E
D
N
M
图3
A
B
C
D
E
M
N
图2
4、在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
C
B
A
E
D
图1
N
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