Koch分形雪花图的面积计算Word格式文档下载.docx
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(1)Q1P1+(P2-P1)/3;
Q3P1+2(P2-P1)/3;
(2)Q2:
_Q1+(Q3-Q1)AT;
(3)P5,_P2;
P2_Q1;
P3_Q2;
P4_Q3。
在算法中,用正交矩阵A构造正交变换,其功能作用是对向量作旋转,使之成为长度不变的
另一向量。
在绘制Koch曲线的过程中,取旋转的角度为一,则正交矩阵A应取为:
1.
Koch分形雪花的描述
Koch分形雪花的原始图形是等边三角形,它是由三条相等的线段围成的三角形。
根据
前面介绍的一条线段的Koch分形的原理可知,Koch分形雪花的形成是对等边三角形的三条
边进行Koch分形,随着迭代次数的增加,即可形成Koch分形雪花图。
n
Ln=34n1
证:
对于一条线段,第1次迭代生成的图形包含4条线段,第2次迭代后生成的共有
16条线段,第3次迭代后共有64条线段,以此类推,第n次迭代后共有4n条线段。
所以,第n个图形(即第n-1次迭代)共有4n=条线段。
对于该等边三角形,三条线段都进行Koch分形,进行n-1次迭代,生成的雪花图Kn的的直线段数为34n^,也即雪花图Kn边数为:
n=
。
3.求Koch分形雪花图的面积
(1)递推法
首先,假设要进行分形的正三角形的边长为a,面积为S,则S」a2。
设第一个图形为K1,
面积为可,则^=S;
第二个图形为K2,面积为S2,则S2=S1+340
(1)2S;
第三个图形为K3,
3
面积为乌,则S3=S2+341(丄)22S,以此类推,第n个图形为Kn,面积为Sn,贝V
S二S「34n_2
(1)(n^l)2S(n-2),依次迭代,将Sn最终表示成可的形式为:
nnV'
Sn令+34°
』)2S+341(丄)22S+lll+34n_2(丄冋-1)2S
333
括号内的和式为等比数列首项为◎
,公比为4£
,一共(n-1)项,所以
2+41(严+牡(yj严吟“]=
12n
3)2
n—1
ij
1-x5
卜紂]
因此,
Sn卅+|
=*5卜叭其中n"
2。
所以,当迭代次数趋于无穷大时,
2,a是正三角形的边长)
limArea(Kn)=limSn=1.6S(其中s^3a
ng:
ng:
4
结论:
当n_,:
:
:
时,Koch分形雪花图的面积为初始正三角形面积的1.6倍。
(2)格林公式法计算多边形面积法
QP(x,y)dxQ(x,y)dy
;
Q:
卩
..()dxdy二
dx:
y
令Q二x,P二-y可得区域D的面积计算公式为:
$「妒2[-曲dy,其中:
是围绕多边形D的逆时针方向的闭合曲线。
对】进行划分,「:
(为,比)》(Xj3,yji)(j=i,2,…,n)
t(0,1)
[x=Xj丸(Xj+1-Xj)参数方程:
y=yjt(yj1-yj)
=-区i
1__
..xdy=他1—yj0||Xj(x一xjtdt
-ydxxdy-_区1—Xj)yj(y」i—yj)Xj
Xjyj
=为比卅一yjXj*=
Xj卅yj*
所以,多边形面积公式为:
顶点按逆时针排列,且焉彳,yn=X-],y1°
根据上述原理,我们用MATLABT先编写Koch分形雪花图形生成程序的编写,然后将生成的所有的点的横纵坐标放在一个数组中(第一列代表点的横坐标,第二列代表点的纵坐标),
应用多边形面积算法求解Koch分形雪花的面积。
最后验证随着迭代次数的增加,Koch分形
雪花的面积是否收敛于1.6S(S代表原始正三角形的面积)。
三、MATLA实验程序及注释
程序一:
%Koch函数实现一条线段Koch分形
function[p1h1]=Koch(a,b,c,f,h)
%(a,b),(c,f)表示初始线段的两个端点;
h表示迭代次数
%p1表示迭代h次后,所有点的坐标;
h1表示迭代h次后节点的个数
p=[ab;
cf];
n=2;
%与x轴平行的那一条线段顺时针转转60度,其他两条逆时针旋转60度
if(a==0)&
&
(c==10)
A=[cos(pi⑶sin(pi/3);
-sin(pi⑶cos(pi/3)];
else
A=[cos(pii/3)-sin(pi/3);
sin(pii/3)cos(pi/3)];
end
fork=1:
h%对指定线段的进行h次迭代
d=diff(p)/3;
m=4*n-3;
q=p(1:
n-1,:
);
p(5:
4:
m,:
)=p(2:
n,:
p(2:
)=q+d;
p(3:
)=q+d+d*A'
;
p(4:
)=q+2*d;
n=m;
p1=p;
h1=m;
plot(p(:
1),p(:
2),'
b'
holdon
程序二:
%Koch分形雪花图的生成程序
function[s,s1,s3,t,h0]=tol(n)
%$表示迭代次数趋于无穷大时,Koch分形雪花图的面积
%s1表示用格林公式求多边形的面积法,求得n次迭代后,Koch分形雪花图的面积
%s3表示用迭代法,求得n次迭代后,Koch分形雪花图的面积
%t表示s-s1的面积差值
%h0表示第n次迭代后,Koch分形雪花图的节点个数
%对正三角形的三边进行Koch分形
[p1h1]=Koch(0,0,10,0,n);
[p2h2]=Koch(5,5*sqrt(3),10,0,n);
[p3h3]=Koch(0,0,5,5*sqrt(3),n);
%构造数组p,表示迭代n次后,所有节点点的坐标;
p=p1;
p(h2+1:
1:
2*h2-1,:
)=p2(h2-1:
-1:
1,:
p(2*h3:
3*h3-2,:
)=p3(h3-1:
fill(p(:
s1=0;
%格林公式求Koch分形雪花图的面积法
forj=1:
3*h1-3
s2=p(j,1)*p(j+1,2)-p(j+1,1)*p(j,2);
s1=s1+s2;
s1=s1/2;
s=1.6*(1.0/4)*sqrt(3)*100;
s4=(1.0/4)*sqrt(3)*100;
和=1-(4.0/9)人n;
s3=(1+3*t1/5)*s4;
%用迭代法求Koch分形雪花图的面积法
t=s-s1;
%计算随着迭代次数的增加,Koch分形雪花图的面积距离极限的逼近程度h0=3*h1-3;
%计算n次迭代后,Koch分形雪花图的节点个数
四、实验图形及数据
10。
在本次实验中,我们采用由(0,0),(5,53),(10,0)三个点构成的正三角形作为Koch分
形雪花图的原始图形,该正三角形的边长为
I.Koch分形雪花图
U
第5次迭代
第4次迭代
第8次迭代第9次迭代
经过9次迭代,Koch分形的雪花图的绘制基本完成。
2.实验数据结果及分析
用上述编写的MATLAB^序,算出第n次迭代后,用迭代法和格林公式法计算多边形面积法计算出此时图形的面积,并和迭代次数趋于无穷大时的面积比较,比较结果如下表所示。
s1
s3
s
t
h0
s1/s
43.3013
69.2820
25.9808
0.6250
1
57.7350
11.5470
12
0.8333
2
64.1500
5.1320
48
0.9259
67.0011
2.2809
192
0.9671
4
68.2683
1.0137
768
0.9854
5
68.8315
0.4505
3072
0.9935
6
69.0818
0.2002
12288
0.9971
7
69.1930
0.0890
49152
0.9987
8
69.2425
0.0396
196608
0.9994
9
69.2645
0.0176
786432
0.9997
10
69.2742
0.0078
3145728
0.9999
其中,n为迭代次数;
si是用格林公式求多边形的面积法,求得的n次迭代后Koch分形雪花
图的面积;
S3表示用迭代法,求得n次迭代后,Koch分形雪花图的面积;
s表示迭代次数趋于无穷大时,Koch分形雪花图的面积;
t是s-s1的差,表示n次迭代后,Koch分形雪花图对它的极限面积的逼近程度;
h0是n迭代后Koch,分形雪花的节点数。
下图为n次迭代后,Koch分形雪花图对它的极限面积的逼近程度。
Koch分形雪花图对它的极限面积的逼近程度
迭代次数
对以上表格分析可得,用迭代法和格林函数法求得的Koch分形雪花图的面积是一致。
迭代到第10次时,Koch分形雪花图已经达到极限面积的99.99%,求得的面积已非常接近极
限条件下的面积。
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