初中数学经典几何难题及答案.doc
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初中数学经典几何难题及答案.doc
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经典难题
(一)
1、已知:
如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO.
求证:
CD=GF.(初二)
A
F
G
C
E
B
O
D
A
P
C
D
B
第1题图
第2题图
2、已知:
如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=150.
求证:
△PBC是正三角形.(初二)
3、如图,已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点.求证:
四边形A2B2C2D2是正方形.(初二)
D2
C2
B2
A2
D1
C1
B1
C
B
D
A
A1
A
N
F
E
C
D
M
B
第3题图
第4题图
4、已知:
如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F.求证:
∠DEN=∠F.
经典难题
(二)
1、已知:
△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心,且OM⊥BC于M.
(1)求证:
AH=2OM;
(2)若∠BAC=600,求证:
AH=AO.(初二)
·
A
D
H
E
M
C
B
O
·
G
A
O
D
B
E
C
Q
P
N
M
第1题图
第2题图
2、设MN是圆O外一直线,过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条直线,交圆于B、C及D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q.求证:
AP=AQ.(初二)
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:
设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN于P、Q.
求证:
AP=AQ.(初二)
·
O
Q
P
B
D
E
C
N
M
·
A
P
C
G
F
B
Q
A
D
E
第3题图
第4题图
4、如图,分别以△ABC的AC和BC为一边,在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点.
求证:
点P到边AB的距离等于AB的一半.(初二)
经典难题(三)
1、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F.
求证:
CE=CF.(初二)
A
F
D
E
C
B
E
D
A
C
B
F
第1题图
第2题图
2、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F.
求证:
AE=AF.(初二)
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF⊥AP,CF平分∠DCE.
求证:
PA=PF.(初二)
D
F
E
P
C
B
A
O
D
B
F
A
E
C
P
第3题图
第4题图
4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于B、D.
求证:
AB=DC,BC=AD.(初三)
经典难题(四)
1、已知:
△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,PC=5.
求:
∠APB的度数.(初二)
A
P
C
B
P
A
D
C
B
第1题图
第2题图
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA.求证:
∠PAB=∠PCB.(初二)
3、设ABCD为圆内接凸四边形,求证:
AB·CD+AD·BC=AC·BD.(初三)
C
B
D
A
F
P
D
E
C
B
A
第3题图
第4题图
4、平行四边形ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且
AE=CF.求证:
∠DPA=∠DPC.(初二)
经典难题(五)
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点,L=PA+PB+PC,求证:
≤L<2.
A
P
C
B
A
C
B
P
D
第1题图
第2题图
2、P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC的最小值.
E
D
C
B
A
3、P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长.
A
C
B
P
D
第3题图
第4题图
4、如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB=800,D、E分别是AB、AC上的点,∠DCA=300,
∠EBA=200,求∠BED的度数.
经典难题
(一)
1、已知:
如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO.
求证:
CD=GF。
(初二)
证一:
连接OE。
∵EG⊥CO,EF⊥AB,
∴O、G、E、F四点共圆,且OE为直径。
∴GF=OE·sin∠GOF。
又△OCD中,CD=OC·sin∠COD。
∵∠GOF+∠COD=180°,
OC=OE为⊙O半径,
∴CD=GF。
证二:
连接OE,过G作GH⊥AB于H。
∵EG⊥CO,EF⊥AB,
∴O、G、E、F四点共圆,且OE为直径。
∴∠GEO=∠HFG。
又∠EGO=∠FHG=Rt∠,
∴△GEO∽△HFG。
∴GF:
OE=GH:
OG。
又GH∥CD,∴GH:
CD=OG:
OC,
即GH:
OG=CD:
OC,∴GF:
OE=CD:
OC,
而OE=OC,∴CD=GF。
A
F
G
C
E
B
O
D
H
H
A
F
G
C
E
B
O
D
2、已知:
如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=150.
求证:
△PBC是正三角形.(初二)
A
P
C
D
B
E
证明:
3、如图,已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点.求证:
四边形A2B2C2D2是正方形.(初二)
D2
C2
B2
A2
D1
C1
B1
C
B
D
A
A1
4、已知:
如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F.求证:
∠DEN=∠F.
A
N
F
E
C
D
M
B
经典难题
(二)
1、已知:
△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心,且OM⊥BC于M.
(1)求证:
AH=2OM;
(2)若∠BAC=600,求证:
AH=AO.(初二)
·
A
D
H
E
M
C
B
O
2、设MN是圆O外一直线,过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条直线,交圆于B、C及D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q.求证:
AP=AQ.(初二)
·
G
A
O
D
B
E
C
Q
P
N
M
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:
设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN于P、Q.
求证:
AP=AQ.(初二)
·
O
Q
P
B
D
E
C
N
M
·
A
4、如图,分别以△ABC的AC和BC为一边,在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点.
求证:
点P到边AB的距离等于AB的一半.(初二)
P
C
G
F
B
Q
A
D
E
经典难题(三)
1、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F.
求证:
CE=CF.(初二)
A
F
D
E
C
B
2、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F.
求证:
AE=AF.(初二)
E
D
A
C
B
F
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF⊥AP,CF平分∠DCE.
D
求证:
PA=PF.(初二)
F
E
P
C
B
A
4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于B、D.
求证:
AB=DC,BC=AD.(初三)
O
D
B
F
A
E
C
P
经典难题(四)
1、已知:
△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,PC=5.
求:
∠APB的度数.(初二)
A
P
C
B
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA.
求证:
∠PAB=∠PCB.(初二)
P
A
D
C
B
3、设ABCD为圆内接凸四边形,求证:
AB·CD+AD·BC=AC·BD.(初三)
C
B
D
A
4、平行四边形ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且
AE=CF.求证:
∠DPA=∠DPC.(初二)
F
P
D
E
C
B
A
经典难题(五)
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点,L=PA+PB+PC,求证:
≤L<2.
A
P
C
B
2、已知:
P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC的最小值.
A
C
B
P
D
3、P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长.
A
C
B
P
D
4、如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB=800,D、E分别是AB、AC上的点,∠DCA=300,
∠EBA=200,求∠BED的度数.
E
D
C
B
A
经典难题
(一)
1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆,所以∠GFH=∠OEG,
即△GHF∽△OGE,可得==,又CO=EO,所以CD=GF得证。
2.如下图做△DGC使与△ADP全等,可得△PDG为等边△,从而可得
△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG=150
所以∠DCP=300,从而得出△PBC是正三角形
3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点,
连接EB2并延长交C2Q于H点,连接FB2并延长交A2Q于G点,
由A2E=A1B1=B1C1=FB2,EB2=AB=BC=FC1,又∠GFQ+∠Q=900和
∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2,
可得△B2FC2≌△A2EB2,所以A2B2=B2C2,
又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2,
从而可得∠A2B2C2=900,
同理可得其他边垂直且相等,
从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。
4.如下图连接AC并取其中点Q,连接QN和QM,所以可得∠QMF=∠F,∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM,从而得出∠DEN=∠F。
经典难题
(二)
1.
(1)延长AD到F连BF,做OG⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD,
可得BH=BF,从而可得HD=DF,
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接OB,OC,既得∠BOC=1200,
从而可得∠BOM=600,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。
3.作OF⊥CD,OG⊥BE,连接OP,OA,OF
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