初中数学旋转平移对称知识点总结.doc
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初中数学旋转平移对称知识点总结.doc
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2018年初中数学旋转、平移、对称知识点总结
1.旋转:
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,叫做图形的旋转,这个定点叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角。
(旋转角小于0°,大于360°)。
2.旋转三要素:
旋转中心、旋转方向、旋转角。
旋转中心可在图形上,也可以在图形外部或内部,始终保持不动的那个点就是旋转中心,旋转中心就是两组对应点连线的垂直平分线的交点。
3.旋转中心的确定方法:
(1)首先找出旋转前后两个图形上的两组对应点;
(2)然后分别连接这两组对应点得到两条线段;
(3)分别作这两条线段的垂直平分线,这两条垂直平分线的交点即为旋转中心。
4.旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等。
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
即图形上每一点都绕转中心按相同的方向和角度旋转。
(3)旋转前后的图形全等:
对应边相等、对应角相等、图形的形状大小不改变。
如下图所示:
5.旋转作图的具体步骤:
找转截连写
(1)找:
找准图形中的关键点,并将每个关键点与旋转中心连结;
(2)转:
把连线围绕定点转过一定角度(画旋转角的另一边)
(3)截:
在旋转角的另一边上截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段,得到各关键点的对应点;
(4)连:
连结所得到的各对应点;
(5)写:
写出结论,说明作出的图形;
即先找出关键点,然后连接关键点与旋转中心,将这些线段按同一方向旋转同一角度,标出对应点,连接对应点。
6.平移:
在平面内,将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置,图形的这种移动,叫做平移变换,简称平移。
7.平移三要素:
图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。
8.平移的性质
(1)对应点的连线平行(或共线)且相等
(2)对应线段平行(或共线)且相等;
(3)对应角相等,对应角两边分别平行,且方向一致。
9.平移作图的步骤和方法:
平行线法、对应点连线法、全等图形法
(1)找关键点;
(2)过每个关键点作平移方向的平行线,截取与之相等的距离,标出对应点
(3)连接对应点。
将原图形的各个特征点按规定的方向平移,得到相应的对称点,再将各对称点进行相应连接,即得到平移后的图形。
用坐标表示平移:
如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a,纵坐标不变,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长;如果把一个图形各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a,横坐标不变,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长。
10.轴对称和中心对称定义:
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够和另一个图形重合,那么这两个图形关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
对称轴是直线而不是线段;
把一个图形绕着某一点旋转180,如果它能够和另一个图形重合,那么这两个图形关于这点对称,这点叫做对称中心。
11.轴对称图形和中心对称图形的定义:
如果一个图形沿着某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形中叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴。
一个图形绕着某一点旋转180度,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。
12.轴对称和中心对称的性质:
(1)轴对称的性质:
1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;
2)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;
3)两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上;
4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
(2)中心对称的性质:
1)关于中心对称的两个图形是全等形。
2)关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。
3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或者在同一直线上)且相等。
即①成轴对称或中心对称的两个图形是全等形;②对称轴是对称点连线的中垂线;对称中心是对称点连线的中点;③两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上。
13.轴对称和中心对称的区别
轴对称
有一条对称轴直线
图形沿对称轴对折(翻折180)后重合
对称点的连线被对称轴垂直平分
中心对称
有一个对称中心点
图形绕对称中心旋转180后重合
对称点连线经过对称中心,且被对称中心平分
14.几种常见的轴对称图形和中心对称图形:
(1)轴对称图形:
线段、角、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、正多边形等。
对称轴的条数:
角有一条对称轴,即该角的角平分线;等腰三角形有一条对称轴,是底边的垂直平分线;等边三角形有三条对称轴,分别是三边上的垂直平分线;菱形有两条对称轴,分别是两条对角线所在的直线,矩形有两条对称轴分别是两组对边中点的直线;正方形有四条对称轴,分别是两条对角线所在的直线和两组对边中点的直线;等腰梯形有1条对称轴是上下底的中点连线所在的直线;圆有无数条对称轴,分别是过圆心的无数条直线;一个正n边形有n条对称轴。
(2)中心对称图形:
线段、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆、边数为偶数的正多边形。
对称中心:
线段的对称中心是线段的中点;平行四边形、菱形、矩形、正方形的对称中心是对角线的交点,圆的对称中心是圆心。
说明:
线段、菱形、矩形、正方形以及圆它们即是轴对称图形又是中心对称图形。
15.旋转对称中心:
把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角。
16.中心对称图形与中心对称:
中心对称图形:
如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合,那么我们就说,这个图形成中心对称图形。
中心对称图形具有如下特征:
①中心对称图形上的对称点的连线都经过对称中心,且被对称中心平分;②过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分全等。
中心对称:
如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合,那么我们就说,这两个图形成中心对称。
17.中心对称和中心对称图形的区别
(1)区别:
中心对称是针对两个图形而言的,是指两个图形的位置关系,且对称点在两个图形上,对称中心在两个图形之间;而中心对称图形是针对一个图形面言的,是指具有某种性质的一个图形,对称点在一个图形上,对称中心在图形本身内部。
(2)联系:
如果把成中心对称的两个图形看成一个整体(一个图形),那么“这个图形”就是中心对称图形;反过来,如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形,那么这两个图形成中心对称。
18.中心对称图形的判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称。
19.坐标系中对称点的特征:
关于谁轴对称,谁不变;关于原点对称两个变;变化者均乘-1
关于X轴对称时,横坐标不变、纵坐标相反;点P(x,y)关于x轴的对称点为P2(x,-y)
关于Y轴对称时,纵坐标不变、横坐标相反;点P(x,y)关于y轴的对称点为P3(-x,y)
关于原点对称时:
横、纵坐标都是原坐标的相反数。
点P(x,y)关于原点的对称点为P1(-x,-y)
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