初中数学最值问题典型例题(含答案分析).doc
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中考数学最值问题总结
考查知识点:
1、“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”。
(2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题)
问题原型:
饮马问题造桥选址问题(完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点)
出题背景变式:
角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路:
找点关于线的对称点实现“折”转“直”
A
B
′
P
l
几何基本模型:
条件:
如下左图,、是直线同旁的两个定点.
问题:
在直线上确定一点,使的值最小.
方法:
作点关于直线的对称点,连结交于
点,则的值最小
例1、如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.
(1)求证:
△AMB≌△ENB;
(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
(3)当AM+BM+CM的最小值为时,求正方形的边长。
例2、如图13,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(1,4),交x轴于A、B,交y轴于D,其中B点的坐标为(3,0)
(1)求抛物线的解析式
(2)如图14,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为PQ上一动点,则x轴上是否存在一点H,使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在,求出这个最小值及G、H的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x的垂线,垂足为M,过点M作直线MN∥BD,交线段AD于点N,连接MD,使△DNM∽△BMD,若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由.
例3、如图1,四边形AEFG与ABCD都是正方形,它们的边长分别为a,b(b≥2a),且点F在AD上(以下问题的结果可用a,b表示)
(1)求S△DBF;
(2)把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2中的S△DBF;
(3)把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,S△DBF是否存在最大值,最小值?
如果存在,试求出最大值、最小值;如果不存在,请说明理由。
例4、如图,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于A,B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3。
点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A,B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB与点C,作PD⊥AB于点D
(1)求a,b及的值
(2)设点P的横坐标为
①用含的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;
②连接PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的值,使这两个三角形的面积之比为9:
10?
若存在,直接写出值;若不存在,说明理由.
例5、如图,⊙C的内接△AOB中,AB=AO=4,tan∠AOB=,抛物线经过点A(4,0)与点(-2,6).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)直线m与⊙C相切于点A,交y于点D.动点P在线段OB上,从点O出发向点B运动;同时动点Q在线段DA上,从点D出发向点A运动;点P的速度为每秒1个单位长,点Q的速度为每秒2个单位长,当PQ⊥AD时,求运动时间t的值;
(3)点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上,当△ROB面积最大时,求点R的坐标.
例1、证明:
(1)∵△ABE是等边三角形,
∴BA=BE,∠ABE=60°.
∵∠MBN=60°,∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN.即∠MBA=∠NBE.
又∵MB=NB,∴△AMB≌△ENB(SAS).(5分)
解:
(2)①当M点落在BD的中点时,A、M、C三点共线,AM+CM的值最小.(7分)
②如图,连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,
AM+BM+CM的值最小.(9分)
理由如下:
连接MN,由
(1)知,△AMB≌△ENB,∴AM=EN,
∵∠MBN=60°,MB=NB,∴△BMN是等边三角形.∴BM=MN.
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.(10分)
根据“两点之间线段最短”,得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长.(11分)
例2、解:
(1)设所求抛物线的解析式为:
,依题意,将点B(3,0)代入,得:
解得:
a=-1∴所求抛物线的解析式为:
(2)如图6,在y轴的负半轴上取一点I,使得点F与点I关于x轴对称,
在x轴上取一点H,连接HF、HI、HG、GD、GE,则HF=HI…………………①
设过A、E两点的一次函数解析式为:
y=kx+b(k≠0),
∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2,将x=2代入抛物线,得
∴点E坐标为(2,3)
又∵抛物线图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D
∴当y=0时,,∴x=-1或x=3
当x=0时,y=-1+4=3,
∴点A(-1,0),点B(3,0),点D(0,3)
又∵抛物线的对称轴为:
直线x=1,
∴点D与点E关于PQ对称,GD=GE…………………②
分别将点A(-1,0)、点E(2,3)代入y=kx+b,得:
解得:
过A、E两点的一次函数解析式为:
y=x+1
∴当x=0时,y=1∴点F坐标为(0,1)
∴=2………………………………………③
又∵点F与点I关于x轴对称,
∴点I坐标为(0,-1)
∴………④
又∵要使四边形DFHG的周长最小,由于DF是一个定值,
∴只要使DG+GH+HI最小即可
由图形的对称性和①、②、③,可知,
DG+GH+HF=EG+GH+HI
只有当EI为一条直线时,EG+GH+HI最小
设过E(2,3)、I(0,-1)两点的函数解析式为:
,
分别将点E(2,3)、点I(0,-1)代入,得:
解得:
过A、E两点的一次函数解析式为:
y=2x-1
∴当x=1时,y=1;当y=0时,x=;
∴点G坐标为(1,1),点H坐标为(,0)
∴四边形DFHG的周长最小为:
DF+DG+GH+HF=DF+EI
由③和④,可知:
DF+EI=
∴四边形DFHG的周长最小为。
(3)如图7,由题意可知,∠NMD=∠MDB,
要使,△DNM∽△BMD,只要使即可,
即:
………………………………⑤
设点M的坐标为(a,0),由MN∥BD,可得
△AMN∽△ABD,
∴
再由
(1)、
(2)可知,AM=1+a,BD=,AB=4
∴
∵,
∴⑤式可写成:
解得:
或(不合题意,舍去)
∴点M的坐标为(,0)
又∵点T在抛物线图像上,
∴当x=时,y=
∴点T的坐标为(,).
例3、
解:
(1)∵点F在AD上,∴AF2=a2+a2,即AF=。
∴。
∴。
(2)连接DF,AF,由题意易知AF∥BD,
∴四边形AFDB是梯形。
∴△DBF与△ABD等高同底,即BD为两三角形的底。
由AF∥BD,得到平行线间的距离相等,即高相等,
∴。
(3)正方形AEFG在绕A点旋转的过程中,F点的轨迹是以点A为圆心,AF为半径的圆。
第一种情况:
当b>2a时,存在最大值及最小值,
∵△BFD的边BD=,
∴当F点到BD的距离取得最大、最小值时,S△BFD取得最大、最小值。
如图,当DF⊥BD时,S△BFD的最大值=,
S△BFD的最小值=。
第二种情况:
当b=2a时,存在最大值,不存在最小值,
S△BFD的最大值=。
例4、解:
(1)由,得到x=-2,∴A(-2,0)。
由,得到x=4,∴B(4,3)。
∵经过A、B两点,
∴,解得。
设直线AB与y轴交于点E,则E(0,1)。
∴根据勾股定理,得AE=。
∵PC∥y轴,∴∠ACP=∠AEO。
∴。
(2)①由
(1)可知抛物线的解析式为。
由点P的横坐标为,得P,C。
∴PC=。
在Rt△PCD中,,
∵,∴当m=1时,PD有最大值。
②存在满足条件的值,。
例5、解:
(1)将点A(4,0)和点(-2,6)的坐标代入中,得方程组,
解之,得.∴抛物线的解析式为.
(2)连接AC交OB于E.
∵直线m切⊙C于A∴AC⊥m,∵弦AB=AO,∴.∴AC⊥OB,∴m∥OB.
∴∠OAD=∠AOB,∵OA=4tan∠AOB=,∴OD=OA·tan∠OAD=4×=3.
作OF⊥AD于F.则OF=OA·sin∠OAD=4×=2.4.
t秒时,OP=t,DQ=2t,若PQ⊥AD,则FQ=OP=t.DF=DQ-FQ=t.
⊿ODF中,t=DF==1.8秒.
(3)令R(x,x2-2x)(0<x<4).
作RG⊥y轴于G作RH⊥OB于H交y轴于I.则RG=x,OG=x2+2x.
Rt⊿RIG中,∵∠GIR=∠AOB,∴tan∠GIR=.∴IG=xIR=x,
Rt⊿OIH中,OI=IG-OG=x-(x2+2x)=x2-x.HI=(x2-x).
于是RH=IR-IH=x-(x2-x)=-x2+x=-x2+x=-(x-)2+
当x=时,RH最大.S⊿ROB最大.这时x2-2x=×()2-2×=-.∴点R(,-)
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